21.11 Матан

Примечание: 00 - бесконечность

Параграф 3. Интегрирование по частям в несобственном интеграле.
Признаки сходимости Дирихле и Абеля.

] u(x), U(x), u'(x), U'(x) - непрерывны на [a,b)

Теорема 1:
] 1) Существует конечный предел ( u(x)*v(x) ) при (x -> b - 0)
2) Сход. какой-нибудь из двух интегралов:
Интеграл (a)(->b) (uv' dx) или (a)(->b) (u'v dx)
Тогда сходится и второй интеграл и справедлива формула:
интеграл (a)(->b) (uv' dx) = uv|(a)(->b) - интеграл (a)(->b) (u'v dx) (*)
Док-во:
] интеграл (a)(->b) (uv' dx) сходится.
Докажем, что сходится интеграл (a)(->b) (uv' dx):
Если a < B < b, то
интеграл (uv' dx) = uv|(a)(B) - интеграл (a)(B) (u'v dx)
(B -> b - 0) => интеграл (a)(->b) (uv' dx) сходится и справедлива формула (*). ЧТД

] g,q',h непрерывны на [a,b)
H(x) = интеграл ( h(t) dt ) при x из [a,b) =>
=> H'(x) = h и H - непрерывна на [a,b)
Рассмотрим интеграл (a)(->b) ( g(x)h(x) dx ) (**)

Теорема 2 (Признак Дирихле):
// Здесь и далее M - конечное
] 1) H ограничена на [a,b), т.е. |H(x)| <= M, где x из [a,b)
2) g монотонна на [a,b)
3) g(x) -> 0 при (x -> b - 0)
Тогда (**) сходится.
Док-во:
Применим формулу интегрирования по частям к (**):
интеграл (a)(->b) ( g(x)h(x) dx ) = интеграл (a)(->b) ( q(x)H'(x) dx ) =
= g(x)H(x)|(a)(->b) - интеграл (a)(->b) ( g'(x)H(x) dx )
Для обоснования равенства нужно доказать:
1) Что существует конечный предел ( g(x)H(x) ) при (x -> b - 0)
2) интеграл (a)(->b) ( g'(x)H(x) dx ) сходится

Действительно,
1) |g(x)H(x)| <= M * |g(x)| -> 0 при (x -> b - 0)
2) Будем считать, что g(x) возрастает и тогда g'(x) >= 0
Рассмотрим интеграл (a)(->b) ( |q'(x)H(x)| dx ) <= M * интеграл (a)(->b) ( |g'(x)| dx ) =
= M * интеграл (a)(->b) ( g'(x) dx ) = ( M * g(x) )|(a)(->b) =
= M * ( ( предел g(x) при (x -> b - 0) ) - g(a) ) = -M * g(a) < 00
ЧТД

Пример:
Y = интеграл (a)(->b) ( sin(ax) / x^p ) при a != 0; p > 0;
g(x) = 1 / x^p -> 0 при (x -> 00), и монотонно убывает => 2,3 призники Дирихле доказаны
h(x) = sin(ax)
H(x) = интеграл (1)(x) (sin(at) dt) = (-cos(at) / a)|(1)(x) = ( -cos(ax) + cos(a) ) / a
|H(x)| = |( -cos(ax) + cos(a) ) / a| <= 2 / |a| => 1 призник Дирихле доказан
Следовательно, искомый интеграл сходится: ЧТД

Теорема 3 (Признак Абеля):
] 1) интеграл (a)(->b) ( h(x) dx ) сходится
2) g монотонна на [a,b)
3) g(x) -> 0 при (x -> b - 0)
Тогда (**) сходится.
Док-во:
] g1(x) = g(x) - C и обладает свойствами из признаков Дирихле, т.е. g1(x) удовлетворяет условиям признаков Дирихле:
H(x) = интеграл (a)(x) ( h(x) dt ) -> конечный интеграл (a)(->b) ( h(t) dt ) при (x -> b - 0)
Т.к. H(x) непрерывен на [a,b) и предел H(x) конечный при (x -> b - 0), то H ограничена на [a,b).
Т.о. к g1(x) и h(x) можно применить признаки Дирихле и интеграл (a)(->b) ( g1(x)h(x) dx ) сходится.
Рассмотрим интеграл (a)(->b) ( g(x)h(x) dx ) = интеграл (a)(->b) ( (g1(x) + C)h(x) dx ) =
= интеграл (a)(->b) ( g1(x)h(x) + C*h(x) dx ) = интеграл (a)(->b) ( g1(x)h(x) dx) + C * интеграл (a)(->b) (h(x) dx ) =>
=> (**) сходится. ЧТД

Параграф 4. Замена переменной в несобсвенном интеграле.
] f(x) непрерывна на [a,b); ч(t), ч'(t) непрерывны на [alpha, beta).
1) интеграл (a)(->b) ( f(x) dx )
2) интеграл (a)(->b) ( f(ч(t)) * ч'(t) dt )
Теорема:
] 1) ч лежит в [a,b)
2) ч(alpha) = a, предел ч(t) = b при (t -> beta - 0)
3) ч строго монотонна на [alpha, beta). Тогда (1),(2) сходятся или расходятся одновременно.
Если (1),(2) сходятся, то:
интеграл (a)(->b) ( f(x) dx ) = интеграл (a)(->b) ( f(ч(t)) * ч'(t) dt )
Док-во:
] I) (1) сходится при (alpha < Тау < beta)
// Pic1
Тогда интеграл (a)( ч(t) ) ( f(x) dx ) = интеграл (alpha)(Тау) ( f(ч(t)) * ч'(t) dt )
(Тау -> beta - 0) => ч(Тау) -> b, и при этом интеграл (a)(->b) ( f(x) dx ) сходится =>
=> Сходится и (2)
] II) (1) сходится и (a < B < b)
Из условия для ч вытекает, что существует обратная функция Пси = ч^(-1) и t = Пси(x) <=> ч(t) = x