17

ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

26. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ СВОЙСТВА

Теорема о существовании тройного интеграла: Если подынтегральная функция непрерывна на области V, то она интегрируема по этой области.

] в некоторой замкнутой ограниченной области T трёхмерного пространства задана ограниченная функция трёх переменных f(x,y,z). Разобьём эту область на n произвольных частей с объёмами v_i. В каждой частичной области возьмём произвольную точку M(x_i,y_i,z_i) и составим сумму:

,

которая называется интегральной суммой для функции f(x,y,z) по области T. Если и интегральная сумма при n имеет предел, то такой предел называется тройным интегралом:

(2.1)

Свойства тройного интеграла: по смыслу и доказательству полностью аналогичны свойствам определённого и двойного интегралов.

1. Линейность. Если функции , интегрируемы по области V, то их линейная комбинация тоже интегрируема по , и:

2. Аддитивность. Если область является объединением двух областей и , не имеющих общих внутренних точек, то:

3. Интегрирование неравенств. Если в любой точке выполняется неравенство , и функции интегрируемы по области V, то:

27. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ

Допустим, что область T – простая в направлении оси Oz, т.е. любая прямая, проведённая параллельно оси Oz, пересекает границу области T не более чем в двух точках. Значит, область T ограничена снизу поверхностью z=z₁(x,y), сверху поверхностью z=z₂(x,y) и с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz. Тогда по аналогии с формулой вычисления объёмов цилиндрических тел при помощи двойных интегралов, можно получить:

(2.2)

Здесь D – проекция области T на плоскость xOy. Если область D является простой в направлении оси Oy, то можно написать, что:

(2.3)

Внешний интеграл обязательно (!) должен иметь постоянные пределы, а пределы второго интеграле зависит только от выбранной переменной, стоящей во внешнем.

Алгоритм вычисления тройных интегралов: 1) Сделать чертёж области интегрирования T; 2) Изобразить проекцию области T на выбранную координатную плоскость; 3) Расставить пределы интегрирования 4) Посчитать итог

Теорема о замене переменных в тройном интеграле:

] в пространстве Ouvw задана область G, и пусть отображение преобразует эту область в область V пространства Oxyz. Будем считать, что отображение F задаётся функциями . И пусть:

1) F взаимно однозначно отображает G на V;

2) Функции x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w) непрерывно дифференцируемы на G (имеют непрерывные частные производные);

3) Якобиан не обращается в нуль на G. Тогда .

28. Переход к сферическим и цилиндрическим координатам в тройном интеграле

Е

Рис. 2.5

Рис. 2.8

сли область интегрирования имеет осевую симметрию, то в таком случае удобно использовать цилиндрическую систему координат. В этой системе координат положение точки M определяется полярными координатами  и  проекции точки M на плоскость xOy и аппликатой z самой точки M. Из рис. 2.5, цилиндрические координаты , , z связаны с декартовыми координатами x,y,z соотношениями:

(2.11)

Причём 02, 0+, –<z<+.

Модуль якобиана, соответствующий переходу от декартовых координат к цилиндрическим, равен:

.

Т

Рис. 2.6

аким образом, формула перехода для тройных интегралов от декартовых координат к цилиндрическим имеет вид:

(2.12)

Вычисление тройных интегралов в цилиндрических координатах приводится к однократным повторным интегралам на основании тех же принципов, что и в случае декартовых координат. Обычно порядок интегрирования такой:

(2.13)

Сферическую систему координат удобнее использовать, если область интегрирования имеет центральную симметрию, т.к. тогда положение точки M определяется расстоянием  от начала координат O, углом  между осью Ox и проекцией радиус-вектора точки M на плоскость xOy, углом  между осью Oz и радиус-вектором точки M. Из рисунка видно, что сферические координаты , ,  связаны с декартовыми координатами x,y,z соотношениями:

(2.14)

Причём 02, 0, 0<+.

Модуль якобиана, соответствующий переходу от декартовых координат к сферическим, равен:

.

Таким образом, формула перехода для тройных интегралов от декартовых координат к сферическим имеет вид:

(2.15)

Вычисление тройных интегралов в сферических координатах приводится к однократным повторным интегралам на основании тех же принципов, что и в случае декартовых координат. Обычно порядок интегрирования следующий: , , . Тогда получаем:

(2.16)