План ответа Матан 3 семестр

План ответа Матанализ 3 сем:

1) Неявные f. Теорема о ∃ и ∂-емости неявной f. Формула для производной неявной f. Определение: Неявная функция Теорема о ∃ и ∂-емости неявной f Формула для производной по x,y (Вывести из определения) Формула для производной по x,y,z (Аналогично, но считать z=z(x,y))

2) ∫-вание рациональных функций. Определение: Частная производная Обозначение частной производной Определение: Смешанная производная Теорема о равенстве двух смешанных производных Определение: Дифференциал второго порядка Формула для дифференциала n порядка (Вывести)

3) Ряд Тейлора для f нескольких переменных. Формула Тейлора в дифференциальной форме Остаточный член в форме Лагранжа Формула Тейлора для f двух переменных (Вывести)

4) Необход. и достаточное усл. экстремума f нескольких переменных. Экстремум f двух переменных. Определения: Точка экстремума (Max, Min) Теорема о необход. усл. экстремума Определение: Стационарная точка Теорема о достаточных усл. экстремума (3 случая)

5) Числовые ряды: сх-сть, необходимый признак сх-сти ряда. Св-ва сходящихся рядов. Определение: Числовой ряд Определение: Частичная ∑ Определения: Сх/Рсх ряд Необходимый признак сх-сти (Док-во) Св-ва сх. рядов (3)

6) Ряды с неотрицательными членами: признаки сравнения, признаки Даламбера и Коши. Теорема о сх-сти при ограничении сверху Признаки сравнения (3) Признак Даламбера (Док-во) Признак Коши (Док-во)

7) Сх-сть обобщ. гармонического ряда. Определение: Обобщ. гармонический ряд Проверки на сх-сть (5 сл (0;+∞) Док-ва)

8) Знакопеременные ряды, признак Лейбница. Определение: Знакопеременный ряд Определение: Знакочередующийся ряд Определение: Ряд Лейбница Признак Лейбница (Док-во)

9) Преобразование и неравенство Абеля. Знакопеременные ряды: признаки Дирихле и Абеля. Определение: Преобразование Абеля Лемма: Неравенство Абеля (Вывести из определения) Признак Дирихле Признак Абеля

10) Абсолютная и условная сх-сть числового ряда. Перестановочные св-ва для абсолютно и условно сх-ся рядов. Определение: Абсолютно сх-ся ряд Определение: Условно сх-ся ряд Определение: Ряд, получ. перестановкой Признак Коши Теорема Римана

11) Равномерная сх-сть ной послед-ности. Теорема о непр. предельной f. Теорема БК. Определение: Функциональная последовательность Определение: Предельная функция Определение: Поточечная сх-сть Теорема о непр. предельной f (Док-во) Теорема БК (Док-во)

12) Равномерная сх-сть ряда. Признаки равномерной сх-сти рядов. Определение: ряд Определение: Область сх-сти Определение: Множество поточечной сх-сти Определение: Равномерная сх-сть Теорема о непр. ∑ ряда (Док-во) Критерий БК Признак сравнения ряда Признак Дирихле для ряда Признак Абеля для ряда

13) Почленный lim переход, ∂-рование и ∫-вание в функц. ряде. Теорема о почленном lim переходе в ряде(Док-во) Теорема о ∂-вании в ряде Теорема об ∫-вании в ряде

14) Степенные ряды: теоремы Абеля и Коши-Адамара. Радиус сх-сти степенного ряда. Определение: Степенной ряд Теорема Абеля о степенном ряде (Док-во) Определение: Радиус сх-сти Теорема Коши-Адамара (Док-во) Примечание: Иная формула для R Теорема о равномерной сх-сти степенного ряда (Док-во)

15) Функциональные св-ва ∑ степенного ряда: непрерывность, почленное ∂-рование и ∫-вание степенного ряда.

Рассмотрим вещественный степенной ряд Функциональные св-ва (3, последние 2 почленно) Теорема о непр. (Док-во) Теорема о почленной ∂-руемости Теорема о почленном ∫-вании

16) Ряд Тейлора. Усл. разложимости f в ряд Тейлора. Пример Коши. Единственность разложения f в ряд Тейлора.

Определение: Ряд Тейлора Формы остаточных членов (Пеано, Лагранжа, Коши) Определение: Разложимость в ряд Тейлора по степеням. Теорема о необх. и дост. условии разложения f в ряд Тейлора (Док-во) Пример Коши Теорема о единственности разложения в ряд Тейлора (Док-во)

17) Разлож. Элем. функций в ряд Тейлора.

Пример разложения Таблица прочих разложений (

18) Ортогон. тригоном. система функций.

– совокупность всех период. функций Определение: Тригоном. система функций Определения: Ортогон. f, Ортогон. ∑ функций

19) Определение ряда Фурье. Теорема Дирихле. Ряд Фурье для чёт. и нечёт. функций

Определение: Тригонометрический ряд Фурье Теорема Дирихле Ряд Фурье для чёт. и нечёт. функций (3 случ.)

20) Определение несобств. ∫а, основные св-ва, простейшие признаки сх-сти.

Определение: Несобств. ∫ Сх-сть несобств. ∫а Св-ва (Непрерывность, Аддитивность, Линейность) Признаки сх-сти (Критерий БК, Абсолютная сх-сть, Случай «+» f, Признак сравнения)

21) ∫-вание по частям в несобственном ∫е.

Формула

22) Замена переменной в несобственном ∫е.

Формула (+усл.)

23) Двойные ∫ы и их св-ва.

Теорема о ∃ двойного ∫а Определение: 2ой ∫ Теорема о непр. двойного ∫а Теорема об огран. двойного ∫а Геометр. смысл Определение: ∫ная ∑

Св-ва (Аддитивность, Линейность, Теорема о среднем)

24) Вычисление 2ых ∫ов.

Определение: Повторный ∫ Расстановка пределов ∫вания (прямоугольная область, произвольная)

25) Замена переменных в 2ом ∫е.

Определение: Якобиан Формула (+усл.)

26) Тройные ∫ы и их св-ва.

Теорема о ∃ тройного ∫а Св-ва (Аддитивность, Линейность, ∫-вание неравенств)

27) Вычисление 3ых ∫-ов. Замена переменных в 3ом ∫е.

Алгоритм вычисления (+Формула) Теорема о замене переменных в 3ом ∫е (3 усл.)

28) Переход к сфер. и цилиндр. коорд. в 3ом ∫е.

Усл. удобства цилиндр. коорд. Модуль Якобиана при переходе от декарт. коорд. к цилиндр. Формула перехода для 3ых ∫-ов от декарт. коорд. к цилиндр. (+Разлож.) Усл. удобства сфер. коорд. Модуль Якобиана при переходе от декарт. коорд. к сфер. Формула перехода для 3ых ∫-ов от декарт. коорд. к сфер. (+Разлож.)

29) Криволин. ∫ы 1 типа (по длине дуги): Определение, вычисление.

Определение: Криволин. ∫ 1 типа (по длине дуги) Св-ва (Линейность, Умножение на число, Аддитивность) Формула (корень от ∑ квадратов)

30) Криволин. ∫ы 2 типа (по коорд.ам): Определение, вычисление.

Определение: Криволин. ∫ 2 типа (по коорд.ам) Формула общего вида (∑ ∫-ов) Св-ва (Линейность, Умножение на число, Аддитивность, Зависимость от направления обхода)

31) Формула Грина.

Определение: «+», «-» Ориентация Определение: Криволин. трапеция Формула Грина (Док-во)

32) Независимость криволин. ∫а 2-го рода от пути ∫вания.

Теорема (