Задачи к экзамену по МА
.pdf
Практические задания к экзамену по дисциплине «Математический анализ»
1. Исследовать сходимость интеграла
|
|
. |
|
|
2. Представьте двойной интеграл
f x, y dxdy
D
в виде повторного интеграла с внешним интегрированием по x и внешним интегрированием по y, если область D есть внутренность треугольника с вершинами A(2,0), B(5,0), C(5, 6).
3. Вычислите двойной интеграл
xy2dxdy,
D
где область D ограничена линиями
x3, y x,xy 1.
4.Вычислите интеграл методом замены переменных
cos x y dxdy,
D
где область D : x y 1, x y 1, y x 1, y x 1. 5. Вычислить тройной интеграл
,
где область определяется неравенствами
|
1 |
|
|
|
|
0 ≤ ≤ 2; ≤ ≤ 2 ;0 ≤ ≤ |
1 − − . |
||
6. |
Перейдя к сферическим координатам, вычислить интеграл |
|||
|
, |
|||
|
где – шар + + ≤ . |
|
|
|
7. |
Перейдя к цилиндрическим координатам, вычислить интеграл |
|||
|
( + |
+ |
) |
, |
|
где область ограничена цилиндром |
+ |
= 1 и плоскостями = 0, = 1. |
|
8.Используя формулу для задания кривой L в явном виде, вычислите криволинейный интеграл 1 рода
|
|
x5 8xy dl , |
|
|
L |
где L – дуга кривой y |
x4 |
между точками, для которых х=0 и х=2. |
|
||
4 |
|
|
9.Используя формулу для задания кривой L параметрическими уравнениями, вычислите криволинейный интеграл 1 рода
xy2dl,
L
где L – часть окружности |
x Rcost, |
y Rsint, |
располагающейся |
в первой |
четверти координатной плоскости. |
|
|
|
|
10. Используя формулу для |
задания |
кривой L в |
явном виде, |
вычислите |
криволинейный интеграл 2 рода |
|
|
|
|
y dx dy,
L x
где L – дуга кривой y ln x между точками, для которых х = 1 и х = е.
11. Используя формулу для задания кривой L параметрическими уравнениями, вычислите криволинейный интеграл 2 рода
x2dx 3ydy,
L
где L – часть кривой x 2t 1, y lnt, 1 t e.
12. Вычислите криволинейный интеграл 2 рода с помощью формулы Грина
xy 1 dx 1 x dy,
L
где L – окружность x2 y2 1, пробегаемая против часовой стрелки. 13. Вычислить
( , )
2 + |
|
( , )
(см. последний пример последней лекции).