1. Общие понятия теории о.Д.У., примеры моделей динамических процессов Общие понятия:

Обыкновенное диф ур-ие имеет вид F (x,y,y′,…., )) = 0. Здесь x — независимая переменная, y – функция и  y′,…., – частные производные, а y = y(x) — искомая функция. Порядок старшей производной (n) называется порядком уравнения.

ДУ в частных производных – ДУ, которое имеет 2 и более независимых переменных.

Обычно функция F (F: G -> R) рассматривается в некоторой области G ⊆ Rⁿ⁺² - открытом связном множестве: каждая точка принадлежит множеству вместе с некоторой E окрестностью, и любые две точки можно соединить ломаной (не выходя за пределы множества).

Для открытого множества в R^m связность влечет линейную связность, причем достаточно ограничиться ломаными (с конечным числом звеньев).

Решение ОДУ: Функция y = φ(x), φ : ⟨a, b⟩ → R, называется решением (ОДУ F = 0 ), если выполняются условия: 1) производная φ⁽ⁿ⁾ существует на ⟨a, b⟩; 2) (x, φ(x), . . . , φ⁽ⁿ⁾(x)) ∈ G, ∀ x ∈ ⟨a, b⟩; - не покидает область 3) F (x, φ(x), . . . , φ⁽ⁿ⁾(x)) ≡ 0, x ∈ ⟨a, b⟩ - подстановка функ. в ур-ие дает тождество.

При этом говорят об интегрируемости в квадратурах, если все решения ур-ия можно представить конечной композицией арифметич операций, элементарных функций, операций дифф-ия и интег-ия (даже если интегралы «не берутся» в элементарных фун-ях).

Интегральная кривая – график решения ДУ

Фазовая кривая - это проекция интегральной кривой на фаз прост-во, где кривая в каждый момент времени описывает состояние системы.

Примеры задач:

1. Тело массой m падает вниз. Сила вязкого трения пропорционально скорости. Определить зависимость скорости от времени.

2. В результате химической реакции между веществами А и В образуется вещество С. Требуется установить зависимость вещества С от времени. Если в начале реакции количество веществ было а и б

3. Зеркало отражает все лучи, выходящие из заданной точки, параллельно заданному направлению. Определить форму зеркала.

4. Про бактерии:   В благоприятных для размножения условиях находится некоторое количество бактерий N₀. Из опыта известно, что скорость размножения бактерий прямо пропорциональна их количеству. Найти зависимость роста числа бактерий с течением времени.

2. Уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах

С разделяющимися переменными:

y′ = f (x)g(y), f ∈ C(I) и g ∈ C(J) (непрерывные функции), I = (a, b), J = (c, d), g(y) ≠ 0

или эквивалентная форма: M₁(x)M₂(y)dx + N₁(x)N₂(y)dy = 0

Если N2(y) ≠ 0 и M1(y) ≠ 0 для ∀ x∈[a, b] , ∀ y∈[c, d] получаем

интегрируем обе части

Однородные:

Пусть правая часть уравнения в нормальной форме представима функцией от дроби : y′ = f (x, y) = g( ), Признак: если домножить на одно и тоже число обе части, то ничего не изменится, т.е правая часть удовл этому соотношению

y′ = F( ) y = zx => y’ = z’x + z => z’ =

z’x + z = f(z)

|*

=> обр замена

ln|x| + C

x = ψ(z, c) z = => y =z(x)*x