Ал.занятие2. Базис и размерность линейного пространства

Базис и размерность линейного пространства.

Опр.: Пусть линейное пространство V содержит набор из n линейно независимых векторов, а любой набор из (n +1) –го вектора этого пространства линейно зависим.

Тогда говорят, что размерность пространства V равна n.

Обозначают dimV=n и называют пространство n – мерным.

Опр.: Пусть линейное пространство V имеет размерность n.

Пусть - упорядоченная система n линейно независимых векторов из V. Тогда система векторов называется базисом пространства V.

Теорема: Каждый вектор х линейного пространства V можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса.

Если - базис пространства V и х = , х ,

то числа - координаты вектора х в базисе .

Пример: Даны векторы . Покажем, что векторы образуют базис , и найдем координаты вектора в этом базисе.

Составим матрицу из векторов и найдем ее определитель, (можно рассматривать ранг этой матрицы).

detА= , следовательно, rangA=3, а значит, векторы линейно независимы и, т.к. dim =3, то образуют базис.

Или

Для нахождения координат вектора в базисе рассмотрим равенство

= .

Итак, Имеем = ,

т.е. (2,1,2) координаты вектора в базисе .

Переход к новому базису

Базис в пространстве определен неоднозначно. Рассмотрим, как изменяются координаты вектора при переходе от одного базиса к другому.

Пусть в линейном пространстве V имеются два базиса: старый и новый . Каждый из векторов нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

Полученная система означает, что переход от старого базиса к новому задается матрицей перехода Т= , в которой по столбцам стоят координаты новых базисных векторов в старом базисе. Причем,

Пусть произвольный вектор х имеет координаты в старом базисе и координаты в новом базисе, тогда

=Т или = .

Пример: Найдем координаты вектора х = в базисе , если

Матрица перехода Т= , найдем .

=7, , тогда

= . Имеем, = = .

Таким образом, (2,-2,1) - координаты вектора х в базисе .