Билеты по алгебре
1. Элементарные преобразования матриц 2
2. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений 3
4. Однородная система двух линейных уравнений с тремя неизвестными 8
5. Система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Формулы Крамера 10
6. Определение определителя n-го порядка 12
8. Критерий единственности решения системы n уравнений с n неизвестными 14
14
13. Сложение матриц и умножение их на число 20
14. Умножение матриц 22
15. Транспонирование матрицы. Свойства операции транспонирование 22
16. Ранг матрицы 23
17. Теорема об определителе произведения 26
18. Обратная матрица 27
19. Решение матричных уравнений. Формулы Крамера 29
20. Алгебраическая форма комплексного числа 30
21. Тригонометрическая форма комплексного числа 30
22. Извлечение корня из комплексного числа 31
23. Корни n-ой степени из единицы 33
24. Построение кольца многочленов от одной переменной 35
25. Алгоритм деления с остатком 37
26. Алгоритм Евклида 38
27. Кольцо многочленов от n переменных 40
28. Симметрические многочлены 41
29. Основная теорема о симметрических многочленах 41
31. Рациональные дроби 43
32. Простейшие дроби 46
1. Элементарные преобразования матриц
Матрица - математический объект, представляемый в виде прямоугольной таблицы, состоящий из строк и столбцов, на пересечении которых находятся элементы.
Элементарным преобразованием первого типа называют перемножение всех элементов строки/столбца на одно и то же число, отличное от нуля.
Элементарным преобразованием второго типа называется прибавление к элементам другой строки/столбца, умноженной на заданное число.
Элементарным преобразованием третьего типа называют смену двух строк/столбцов местами.
Утверждение: преобразование третьего типа может быть заменено преобразованиями первого и второго типа, поэтому считается просто их следствием.
Доказательство утверждения:
Рассмотрим два элемента: две строки:
Назовем их a и b соответственно:
Прибавим к первой строке вторую:
Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-1).
Что эквивалентно:
Затем прибавим к первой строке вторую:
Умножим вторую строку на (-1):
Строки поменяны местами. Следственно, чтобы поменять строки местами (произвести элементарное преобразование третьего типа) будет достаточно лишь элементарных преобразований первого и второго типа.
Если длина строк матрицы равна высоте столбцов, то матрица называется квадратной.
Две матрицы называются эквивалентными, если их можно получить друг из друга за счет элементарных преобразований. Из этого следует, что если к системе применить элементарное преобразование, это создаст равносильную ей систему.
Применение элементарных преобразований позволяет решить систему уравнений или доказать, что решений нет, потому что появляется возможность изолировать группу переменных и выразить их.
2. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
Если система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, иначе - несовместной.
Если совместная система линейных уравнений имеет только одно решение, то она называется определенной.
Метод Гаусса: создание матрицы из системы линейных уравнений, затем использование элементарных преобразований для приведения этой матрицы к ступенчатому виду для решения изначальной системы.
Пусть задана следующая система уравнений:
Затем мы создаем матрицу из коэффициентов перед неизвестными и решений уравнений:
Затем, используя элементарные преобразования, создадим “ступенчатый вид”: матрица, в которой у строк с номером n первые n-1 элементов являются нулями.
Штрихи означают отличие от начального значения.
И так как элементарные преобразования создают из матрицы лишь ей эквивалентные, то мы можем подставить значение n-нной переменной из изначальной системы:
И выразить одно из неизвестных. Далее, подставить это значение в строку с номером n-1, и выразить значение переменной n-1.
Продолжая до самой первой строки, мы сможем выразить значение каждой переменной.
В случаях, когда невозможно выразить переменную через число, следует выразить ее через другую переменную:
