1. Первообразная и неопределенный интеграл (определения, свойства)

Пусть функция f определена на промежутке <а, b> ( где “<,>” - это включая([,]) или не включая (,) промежутки)

Определение: Дифференцируемая на <a,b> функция F(x) называется первообразной функции f(x), если F՝(x) = f(x)

Пример: f(x) = xⁿ

F(x) =

F(x) = + C, где С-const.

Теорема:

1. Если F(x) - первообразная для f(x), то F(x)+C - также первообразная для f(x)

2. Любые две первообразные одной и той же функции отличаются на C-const

Определение: Множество всех первообразных функции f на <a, b> называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается (интеграл f(x) по dx)

Таким образом, , где

-)С - произвольная постоянная

-)dx - показывает по какой переменной берется интеграл

Пример:

Свойства интегралов:

1⁰ Производная интеграла равна подынтегральной функции

2⁰ Если функция дифференцируемая на <a, b>, то

3⁰

Замечание: при k=0 неверно

4⁰ Аддитивность

2. Интегрирование по частям и замена переменной. Теорема (Замена переменной):

Пусть

1. f(x) имеет первообразную на <a, b>

2. Функция x = определена и дифференцируема на < , > и < , >

Теорема (интегрирование по частям):

Пусть U, V дифференцируемы на <a, b>, а у функции V*U` имеется первообразная.

Тогда

Замечание: перепишем в виде

3. Интегрирование рациональных функций.

Функция называется интегрируемой в элементарных функциях, если её первообразная является элементарной функцией

Теорема: Рациональные функции (где многочлены в числителе и знаменателе) интегрируемы в элементарных функциях

Для интегрирования рац. функций пользуются следующим алгоритмом 1) Если дробь неправильная преобразовать ее в правильную(степень знаменателя больше числителя), выделив целое выражение;

2) Разложить знаменатель на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений

3) Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;

4) Вычислить интегралы от простейших дробей.

Вычисление сводится к вычислению интегралов от функций 4 типов

1. (А - константа, (х-а) - многочлен 1-ой степени; замена: t=x-a)

dx=dt => A =A ln|x-a|+C

2. (А - константа, (х-а) - многочлен 1-ой степени, k=2, 3;замена: t=x-a)

dx=dt => A =A = * +C

3. ((Вх+С) - многочлен 1-ой степени, (х²+рх+q) - квадратичный трехчлен(нельзя разложить на множители) Замена:t = x+ )

-)Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена, получится:(x+ +(q-

-)Введем замену x+p/2=t xt=dt

4. ((Вх+С) - многочлен 1-ой степени, (х²+рх+q) - квадратичный трехчлен(нельзя разложить на множители), k=2, 3; Замена:t = x+ )

Рассуждение полностью аналогично 3-ему

4. Интегрирование иррациональных функций(∫𝑅(𝑥, )𝑑𝑥, биномиальный дифференциал, подстановки Эйлера).

Интегрирование иррациональных функций происходит с помощью замены переменных и приведения к рациональной функции.