План ответа Матанализ 1 курс 2 сем

План ответа Матанализ 1 курс 2 семестр:

1) Первообразная, неопределенный интеграл. Замена переменной и интегрирование по частям. Определение: Первообразная Теорема о непрерывности Общий вид первообразных (Док-во) Определение: Неопределённый интеграл Свойства неопределённого интеграла (3) Теорема: Замена переменной (2 способа + Док-во) Интегрирование по частям

2) Интегрирование рациональных функций. Определение: Рациональная функция Метод внесения под дифференциал Метод неопределённых коэффициентов

3) Интегрирование некоторых иррациональных функций. Метод замены переменной Метод подстановками Эйлера Метод биноминального дифференциала

4) Интегрирование тригонометрических функций. Метод универсальной замены Частные случаи (2+1)

5) Суммы Дарбу. Интеграл Римана. Критерий интегрируемости. Обозначение: Разбиение Обозначение: Ранг разбиения Сумма Дарбу (Нижняя + Верхняя) Свойства разбиений (2) Интегралы Римана (Нижний + Верхний) Определение: Определённый интеграл Теорема о интегрируемости (Док-во)

6) Достаточные условия интегрируемости по Риману. Теорема о непрерывности (Док-во) Теорема о монотонности (Док-во) Теорема о конечном числе точек разрыва

7) Суммы Римана и их предел. Определение: Сумма Римана Свойства сумм Римана (2) Определение: Предел суммы Римана Теорема об интегрируемости по Риману через предел (Док-во)

8) Свойства интеграла Римана. F(x)=const Линейность Аддитивность Положительность Монотонность Оценка интегрирования Интегрирование с Модулем Теорема о среднем значении интеграла

9) Существование первообразной у непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема о существовании F'(x0)=f(x0) (Док-во) Следствие Формула Ньютона-Лейбница (Вывести через x=a и x=b)

10) Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Интеграл \int_0^{π/2}{sin^n{x}dx.} Теорема о замене переменной (Док-во) Формула интегрирования по частям в определённом интеграле (Док-во) Пример (Формула, для Чётных и Нечётных элементов)

11) Площадь криволинейной трапеции. Определение: Измеримые множества Обозначение: Мера множества (5 условий) Свойства монотонности меры Определение: Подграфик Теорема о измеримости криволинейной трапеции (Док-во)

12) Площадь криволинейного сектора. Определение: Криволинейный сектор Теорема о мере криволинейного сектора (Док-во)

13) Длина плоского пути (определение, аддитивность, длины). Определение: Плоский путь + Начало и конец пути Определения: Длина пути, Спрямляемый путь Лемма о расстоянии между точками Теорема о сужении

14) Длина гладкого пути. Определение: Гладкий путь Теорема о спрямлении гладкого пути Определение: Носитель пути, Простой путь, Кривая Жордана

15) Евклидово m-мерное пространство (расстояние, норма, сходимость, окрестности).

Определение: R^m

Определение: Норма

Свойства нормы (3)

Определение: Евклидово пространство

Определение: Расстояние

Свойства расстояний (3)

Определение: Сходимость

Покоординатная сходимость и свойство непрерывности (Док-во)

Определение: Шаровая окрестность

Утверждение о шаровой окрестности

16) Замкнутые и открытые множества в R^m. Замыкание множества. Связь замкнутых и открытых множеств.

Определение: Замкнутое множество

Теорема об объединении замкнутых множеств (Док-во при n=2)

Теорема о пересечении совокупных множеств (Док-во)

Определение: Замыкание множества

Свойства замыкания (3)

Теорема о замыкании E (Док-во)

Определение: Открытое множество

Теорема о дополнениях открытого множества (Док-во)

Теорема о пересечении открытых множеств (Док-во)

Теорема об объединении открытых множеств

17) Компакты в R^m.

Определение: Компакт

Теорема об убывающей последовательности компактов (Док-во)

Определение: Диаметр множества

Определение: Покрытие в-целом и открытое покрытие

Теорема Бореля (Переход открытого подпокрытия)

18) Непрерывные отображения в евклидовых пространствах, непрерывность по части аргумента.

Определение: Непрерывное отображение

Определение: Непрерывность отображения в x0

Определение: Непрерывность отображения на множестве

Свойства непрерывности отображений (4)

Предложение о непрерывности в x0 (Док-во)

19) Условия непрерывности отображения в евклидовых пространствах (общее, непрерывность отображений на замкнутых и открытых множествах).

Определение: Замкнутое множество F относительно E

Замечание об относительной замкнутости

Замечание о простом замкнутом множестве

Замечание о совпадении замкнутости и относительной замкнутости

Теорема о непрерывности f на E (Док-во)

Следствие из теоремы

Лемма о относительной замкнутости множества F, образованного отсутствием пересечения с G (Док-во)

20) Непрерывные отображения и функции на компактах.

Определение: Компакт

Теорема о непрерывности образа компакта

Теорема Вейерштрасса (Док-во)

Определение: Равномерно-непрерывное отображение

Теорема Кантора

21) Связные множества и теорема Коши о промежуточных значениях функции.

Определение: Связное множество

Теорема о связном множестве в R^1 (Док-во от противного)

Теорема Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции на связном множестве (Док-во от противного)

22) Двойные пределы.

Определение: Предел функции f(x,y)

Теорема о двойном пределе

23) Частные производные, их геометрический смысл. Полное приращение функции.

Определение: Вектор приращения

Определение: Частное приращение

Определение: Частная производная

24) Дифференцируемые функции нескольких переменных. Дифференциал. Связь дифференцируемости и существования частных производных.

Определение: Дифференцируемая функция

Утверждения (3)

Определение: Дифференциал функции в точке x0

25) Производные и дифференциал суперпозиции функций. Инвариантность дифференциала первого порядка. Признак постоянства функции.

Выведение формулы суперпозиции

Замечание: Дифференциал в точке

Определение: Полный дифференциал

Определение: Инвариантность

Признак постоянства функции нескольких переменных (Док-во)

Замечания (2)

26) Производная по направлению и градиент функции.

Определение: Направление

Определение: Производная по направлению

Определение: Градиент

Max и Min значение градиента