лабки / 5 / 3вар / числ-мед-5лаб-3вар(1)

Міністерство освіти і науки

Машинобудівний коледж СумДУ

Звіт до лабораторної роботи№5

з предмету

«Чисельні методи»

на тему:

«Розглянути основні чотирьох метода розвязку визначеного інтегралу: метод трапецій, прямокутників, Сімпсона, метод Монте-Карло. Навчитися визначити наближене значення визначено інтергалу, і знайти найбільш точний метод розвязку»

Варiант №3

Підготував:

студент групи 310-і

Бойко Є.А.

Суми 2020

Розв'язок задачі

Метод Сімпсона:

Метод трапецій:

Метод прямокутників:

Метод Монте-Карло:

Інтеграл	Методи
	Сімпсона	Трапецій	Лівих прямокутників	Правих прямокутників	Середніх прямокутників	Монте-Карло	Точне значення
	-0,11209	-0,51457	-0,446696	-0,58244	1,902918	-0,35948
Абсолютна п охибка	0,3391	0,7416	0,67373	0,8095	1,676	1,6191	0.22703340514
Відносна похибка	1,493733	3,266491	2,967534	3,565449	7,38167	7,131727
	-0,41725	-0,25498	-0,2873599	-0,22261	0,664458	5,295924
Абсолютна п охибка	0,59353	0,431258	0,463635	0,39888	0,488183	5,119648	0,176275137894138
Відносна похибка	3,367066	2,446503	2,6301782	2,262827	2,769438	29,04351

Висновок:

У даній лабораторній роботі було виконано знаходження інтегралу методами Сімпсона, Монте-Карло, прямокутників та трапеції.

Виходячи можна зробити висновок що найточнышою э форммула сімпсона та метод трапецій

Контрольні питання:

1. Опишіть метод трапеції, геометричний зміст цього метода?

У загальному вигляді формула парабол на відрізку [x0;xn] виглядає наступним чином :

2. 

У цій формулі x0=a, xn=b, так як будь-інтеграл в загальному вигляді виглядає:

3. 

h можна обчислити за h=(b-a)/n, y0, y1,..., yn - це значення функції f(x) в точках x0, x1,..., xn (xi=xi-1+h)

На практиці даний спосіб реалізується наступним чином:

Обчислити інтеграл

за формулою трапецій при n=10, використовуючи:

У методі трапецій під інтегральну функцію   на проміжку  замінюють лінійною функцією, графік якої – пряма, що проходить через точки

Рис. 6.3. Геометрична інтерпретація методу трапецій.

Тобто виконують лінійну інтерполяцію функції  . Площу криволінійної трапеції замінюють площею трапеції з основою і висотою . Тоді

Якщо відрізки  ,і = 0,1,..., n – 1 однакові, то введемо змінну  , і тоді інтеграл

2. Опишіть метод прямокутників, геометричний зміст цього метода?

Існує кілька видів формул прямокутників:

1. Формула лівих прямокутників.

У загальному вигляді формула лівих прямокутників на відрізку [x0;xn] виглядає наступним чином:

У цій формулі x0=a, xn=b, так як будь-інтеграл в загальному вигляді виглядає:

h можна обчислити за h=(b-a)/n, y0, y1,..., yn - це значення функції f(x) в точках x0, x1,..., xn (xi=xi-1+h)

2. Формулу правих прямокутників.

У загальному вигляді формула лівих прямокутників на відрізку [x0;xn] виглядає наступним чином:

У цій формулі x0=a, xn=b, так як будь-інтеграл в загальному вигляді виглядає:

h можна обчислити за h=(b-a)/n, y0, y1,..., yn - це значення функції f(x) в точках x0, x1,..., xn (xi=xi-1+h)

3. Формула середніх прямокутників.

де x_i=x_i-1+h.

В даній формулі, як і в попередніх, потрібно h помножити суму значень функції f(x), але вже не просто підставляючи відповідні значення x0,x1,...,xn-1 в функцію f(x), а додаючи до кожного з цих значень h/2 (x0+h/2, x1+h/2,..., xn-1+h/2), а потім тільки підставляючи їх у задану функцію.

h можна обчислити за h=(b-a)/n.

На практиці даний спосіб реалізується наступним чином:

Обчислити інтеграл

за формулою прямокутників при n=10

Інтервал  розділимо нап відрізків  . На кожному відрізку функція  замінюється сталою  . Це означає, що площа криволінійної трапеції замінювана площею прямокутника з основою  і висотою (рис. 6.2). Тоді

Рис. 6.2. Геометрична інтерпретація методу прямокутників

Якщо відрізки  однакові, то введемо змінну,  , тоді

3. Опишіть метод Сімпсона, геометричний зміст цього метода?

У загальному вигляді формула парабол на відрізку [x0;xn] виглядає наступним чином :

У цій формулі x0=a, xn=b, так як будь-інтеграл в загальному вигляді виглядає:

h можна обчислити за h=(b-a)/n, y0, y1,…, yn – це значення функції f(x) в точках x0, x1,…, xn (xi=xi-1+h)

На практиці даний спосіб реалізується наступним чином:

Обчислити інтеграл

за формулою парабол при n=10

У цьому методі під інтегральну функцію   на проміжку  замінюють квадратичною параболою, графік якої – парабола, що проходить через точки

Рис. 6.4. Геометрична інтерпретація методу Сімпсона.

Тобто виконують квадратичну інтерполяцію функції  . Застосуємо інтерполяційний многочлен Лагранжа для побудови рівняння параболи, що проходить через ці точки:

Тоді

Розділимо інтервал   на парну кількість   однакових відрізків  і позначимо . Тоді наближене значення інтеграла

4. Опишіть метод Монте-Карло, геометричний зміст цього метода?

Метод Монте-Карло, або метод статистичних випробувань, - це чисельний метод, заснований на моделюванні випадкових величин і побудові статистичних оцінок для шуканих величин.

Суть методу полягає в наступному. Для обчислення площі деякої фігури, проведемо експеримент: помістимо дану фігуру в квадрат і будемо навмання кидати точки в цей квадрат. Природно припускати, що чим більше площа фігури, тим частіше в неї будуть потрапляти точки. Таким чином, можна зробити припущення: при великій кількості точок, навмання обраних всередині квадрата, частка точок, що містяться в даній фігурі, наближено дорівнює відношенню площі цієї фігури і площі квадрата.

Такий метод наближеного знаходження площ фігур і носить назву методу Монте-Карло.

5. Як знаходиться наближене значення визначеного інтеграла?

Найбільш часто використовують три методи – метод прямокутників, метод трапецій, метод парабол (метод Сімпсона)