Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4606 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Тверской Государственный Университет
Предмет:
Теоретическая механика
Файл:

TM_Lectures_part_I_20

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
26.01.2024
Размер:
541.6 Кб
Скачать
☆

Лекция 20 (ТМ, часть I)

Динамика твердого тела

Рассмотрим вопрос как можно проводить описание движения абсолютно твердого тела.

Замечание: кинематика твердого тела была рассмотрена в Лекции 4.

Чтобы получить необходимые кинематические формулы для описания движения твердого тела необходимо вспомнить определение абсолютно твердого тела. Абсолютно твердым телом называется такое физическое тело если в нем расстояние между двумя любыми точками при любых процессах не изменяется.

i 1..A

Абсолютно твердое тело можно представить в виде совокупности A (число разбиений твердого тела) материальных точек.

Масса абсолютно твердого тела может быть представлена в виде суммы или интеграла, если задана плотность распределения массы.

M A mi r dv

i 1

Твердое тело обладает шестью степенями свободы: три линейных и три угловых координаты.

Линейные координаты задают координаты центра масс Ro’, или начало системы отсчета, связанной с телом, угловые координаты задают ориентацию твердого тела в пространстве.

Координата i-й точки определяются так

ri

r0

ri

 

 

 

 

(1)

i

 

 

 

 

 

vi

0 vi

v0 ri

(2)

Из (2) видно, что точки абсолютно твердого тела участвуют в 2х видах движения: поступательное и вращательное.

Вектор совпадает с линейной осью вращения твердого тела.

Рассмотрим как меняется при произвольном смещении центров Ox’y’z’.

Выберем точку O’’, которая находится на расстоянии a от O’, совпадающей с центром инерции.

Тогда мы получим следующие взаимосвязи для радиус векторов и скоростей:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ri

 

ri

a .

 

vi v0 a

r

 

 

 

 

vi

v0 r

 

 

 

 

 

 

v0 v0 r

Для кинетической энергии абсолютно твердого тела можно получить:

 

 

 

 

 

 

 

m

 

v

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

2

 

A

 

 

r

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

0

 

 

i

 

 

1

 

 

 

 

 

mi vi

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mi

vo 2 vo ri ri

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

1

 

A

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mvo vo

R

 

 

mi ri

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- центр масс твердого тела.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В случае, если центр масс находится в начале штриховой системы, тогда

имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

ri

2

 

2

 

 

 

ri

 

 

 

ri

 

 

 

 

В результате имеем:

 

 

 

 

 

1

 

2

1

 

A

2

2

 

2

 

T

 

Mvo

 

 

 

mi

ri

ri

(3)

2

 

 

 

 

 

 

 

2 i 1

 

 

 

 

 

Таким образом, кинетическая энергия твердого тела, когда система отсчета находится в центре его масс, равна сумме двух слагаемых, связанных с поступательным и вращательным движениями.

Рассмотрим подробнее второе слагаемое выражения (3).

Запишем его в тензорных соотношениях для анализа:

2 1 1 2 2 3 3 i i

ri r i - относится к элементарной ячейке.

 

2 r

t r t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

j

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ri

r

i j rj i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воспользуемся тензорными обозначениями:

 

 

 

 

 

2 2

 

 

 

2

 

t rj t k rk

 

 

 

 

i

ri

ri i i rj

i nrn i k n nk rj

i rj

i k rk

i nrn

Здесь:

2

1

2

22

3

32

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 12

2

2

k

n nk

 

 

 

 

 

 

 

 

1

A

 

1

 

Tв ращ

 

mi k n rj i rj i nk rk i rn i

Ink k n (4)

 

2

 

 

 

 

2 i 1

 

 

Здесь введено новое обозначение

 

 

 

1

 

A

rj i rj i nk rk i rn i

 

 

Ink

 

mi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 i 1

 

 

 

Это выражение по своему устройству является матрицей.

Рассмотрим структуру матрицы Ink .

r1 x ,r2 y ,r3 z

rj i rj i x 2 i y 2 i z 2 i r1 i r2 i x i y i

Подставим соответствующие индексы:

 

A

y 2 i z 2 i

 

mi

 

i 1

 

 

 

 

 

A

 

y 2

i x 2 i

 

 

Ink mi

 

i 1

 

 

 

 

 

A

 

 

 

i

 

 

2

2

 

mi z

i x

 

i 1

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

mi

x 2

i y 2 i

mi

x 2

i z 2 i

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

x

i z

 

i

 

 

m

y

 

i z

 

 

i

(5)

 

i

 

2

 

 

2

 

 

 

i

 

2

 

2

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

z

i y

 

i

A

 

 

i

y

i

 

mi

 

mi x

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

По своим свойствам Ink - матрица, симметричная относительно главной

диагонали.

Компоненты Ink , расположенные на диагонали, называются главными моментами.

Можно доказать, что при соответствующем выборе системы координат, Ink можно привести к диагональному виду.

При этом оси, соответствующие главным моментам, называются главными осями.

Если какие-то два главных момента равны, то тело обладает осевой симметрией (толчок) (если равны три - шар).

Если одна из них равна нулю, тело является стержнем. Две – тело представляет собой плоскость. Три – это просто точка.

Если центр подвижной системы отсчета не совпадает с центром инерции, то для получения Ink можно использовать формулу Ink Ink M a2 kn ak an , a -

это сдвиг.

Если тело можно охарактеризовать с помощью функции , описывающей распределение плотности вещества в пространстве

Ink r1r2r3 rj nk rnrk dr1dr2dr3 (6)

Для момента импульса можно сделать тоже самое:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

A

 

 

A

 

 

 

 

A

 

 

 

A

 

 

M mi

ri vi mi

r0 ri v0 ri mi

ri ri ri mi

r0 v0

 

i 1

 

 

i 1

 

 

 

 

i 1

 

 

 

i 1

 

 

(7)

Mk Imk m .

Отсюда видно, что вектора и угловой скорости не совпадают.

Соседние файлы в предмете Теоретическая механика
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности