TM_Lectures_part_I_18
.pdf
Лекция 18 (ТМ, часть I)
Принцип относительности Галилея
Рассмотрим механическую систему из N тел – материальных точек движущуюся относительно 2х инерциальных систем отсчета.
Кратко, принцип относительности Галилея сводится к следующему утверждению: все инерциальные системы отсчета равноправны.
Это означает, что все законы механики установлены для одной замкнутой механической системы в некоторой инерциальной системе отсчета не изменяются при переходе в другую инерциальную систему отсчета.
Поскольку инерциальные системы отсчета могут быть расположены произвольным образом друг относительно друга и так же они могут двигаться относительно друг друга для выполнения принципа относительности существуют ограничения на возможные виды движения.
Исходя из этого распишем взаимосвязи между абсолютным ( ̅),
относительным (̅′ ) и переносным ( ̅) движением материальной точки i |
|
|
′ |
относительно лабораторной системы отсчета S и подвижной системы отсчета
S’.
1
Первое, что мы должны отметить, поскольку речь идет об инерциальных системах отсчета, это сразу запрещает системам отсчета двигаться с ускорением. Это, в свою очередь означает, что системы отсчета не могут участвовать во вращательном движении.
Исходя из сказанного выше имеем:
|
|
|
|
r |
r |
r |
|
|
o |
|
|
|
̅ |
|
̅ |
(здесь и далее будем подразумевать, что ̅≡ ̅ и ′ |
|
≡ ′ .) |
|
|
|
|
|
Так как S и S/ инерциальны, то их взаимное ускорение равно нулю. Это дает, что
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
r |
||
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
||
|
|
|
|
Отсюда для уравнений движения материальной точки ( ≡ ) имеем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mr |
F |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
mr |
|
|
||
|
|
|
|
|
Принцип относительности Галилея можно сформулировать и по-другому. Переход от одной системы отсчета к другой производится помощью преобразования координат (что вы изучали в курсе линейной алгебры и векторного и тензорного анализа).
Иными словами, принцип относительности Галилея вводит группу преобразований систем координат
|
|
|
|
|
|
r |
Ar |
Vt a |
, |
||
|
t |
|
|
||
t |
|
|
|
||
относительно которых основное уравнение механики
|
|
F |
mw |
не изменятся.
Рассмотрим это подробнее.
I. Преобразование, сдвиг в пространстве
|
|
a |
r |
r |
t=t’
Вектор a'- некоторый постоянный сдвиг в пространстве (параллельный перенос). Подстановка этих взаимосвязей в уравнение движения дает:
2
|
d |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
2 (r1 |
a) F ( r1 |
r2 ) , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
здесь | ̅− ̅| - т.е. сила (любая потенциальная сила) зависит от относительного положения взаимодействующих тел. Примером такой силы может служить сила тяготения:
|
|
m m |
|
||
F |
1 |
|
2 |
r |
|
|
|
|
|
||
|
|
r |
3 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
r |
r a |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
r |
r |
a |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
F( r r |
) F( r |
r |
|||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
d |
2 |
|
|
|
|
d |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
(r |
a) |
|
|
2 |
r |
|
||
dt |
|
1 |
|
dt |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Т.е. ускорения точки относительно рассмотренного преобразования не изменяется, силы тоже, следовательно, уравнение и, как следствие, закон движения не меняются.
II. Преобразование, поворот в пространстве
|
|
r |
Ar |
t=t’
A – матрица, задающая поворот.
cos |
sin |
0 |
||
|
|
|
|
|
A |
sin |
cos |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|||
В этом случае имеем
̈̅′ = ∑ ̅ ( |̅′ − ̅′ |) ,
III. Преобразование, связанное с преобразованием времени (сдвиг по времени).
Имеем следующую взаимосвязь
|
|
r |
r |
t t ,
Для dt запишем
3
dt d (t )
Т.к. дифференциал от константы равен нулю, уравнение Ньютона не меняется.
IV. Трансляция в пространстве.
̅ = ̅′ |
− ̅ |
t=t/
Здесь v – постоянная скорость.
Тогда:
|
|
|
r1 |
r1 Vt |
|
|
|
|
r2 |
r2 Vt |
|
|
d |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
m |
|
|
2 |
(r |
Vt) F ( r |
r |
) |
||
|
dt |
1 |
|
1 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d |
2 |
|
|
d |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
(r |
Vt) |
|
|
2 |
r |
dt |
1 |
dt |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
Примечание: в пунктах 1. и 4. у нас подразумеваются линейные преобразования.
Таким образом мы можем подытожить, что ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ (в широком смысле ЗАКОНЫ ПРИРОДЫ) установленные относительно одной инерциальной системы отсчета будут справедливы относительно любой другой инерциальной системы отсчета.
4