Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4606 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Тверской Государственный Университет
Предмет:
Теоретическая механика
Файл:

TM_Lectures_part_I_17

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
26.01.2024
Размер:
367.54 Кб
Скачать
☆

Лекция 17 (ТМ, часть I)

Упругое столкновение частиц.

Столкновение называется упругим, если полный импульс и полная энергия системы сохраняются.

При столкновении частицы могут контактировать друг с другом, но при этом состав системы не изменяется. Это означает, что тип частиц на “входе” и на “выходе” этого процесса не изменяется.

Рассмотрим задачу об упругом рассеянии заряженных частиц A на неподвижном центре B. Рассеянием называется вид процесса, в ходе которого столкновение происходит столкновение происходит бесконтактным образом. Как это может быть возможно будет пояснено ниже. Т.к. столкновение упругое то этот процесс можно изобразить так

A B A B

Заметим, что в случае неупругого столкновения энергия системы изменяется, также может изменяться состав системы на “выходе” этого процесса, что можно изобразить так

A B A* D E

В физике элементарных частиц, состав системы на выходе может принимать только определенное число значений, каждый фиксированный состав называется каналом.

Будем полагать, что рассматриваемой задаче о рассеянии двух частиц нам

известны массы этих частиц

m

и m , потенциальная энергия взаимодействия

 

 

 

 

 

 

1

2

U r , их скорости до рассеяния, что мы обозначаем как t = -

 

 

 

 

 

 

 

 

v1

v1 t

t

,

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

,

 

 

v2

v2

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

относительно лабораторной системы отсчета, угол , определяющий ориентацию плоскости движения относительно системы отсчета, а так же прицельное расстояние , которое характеризует относительное расположение точек до рассеяния в системе центра масс.

Схематически изучаемый процесс в системе центра масс можно изобразить так, как показано ниже на рисунке:

1

Поставим себе задачу определить скорости после столкновения:

v1

v2

 

t

 

 

,

v1

 

t

 

t

,

 

v

 

2

 

 

t

 

 

 

 

По сути рассматриваемая задача является задачей 2х тел. Чтобы воспользоваться результатами решения этой задачи (рассмотренной нами ранее) введем обозначения:

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

v

 

 

 

 

v1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

v

 

 

 

 

v2

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где v1

 

и

 

v2

 

- скорости частиц после рассеяния относительно системы

 

 

 

 

 

центра масс;

 

- скорость частицы с приведенной массы

после рассеяния:

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

v

v

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

2

 

 

 

 

 

v

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

ц.м.

 

 

m1 m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

v

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

v .

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ц.м.

 

 

m1 m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

Таким образом нам надо найти v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

Поскольку у нас упругое столкновение, и выполняется закон сохранения полной энергии мы можем написать:

E+ (+ ) =

 

 

2

U

 

 

2

2

v

 

2

v

 

 

 

 

 

 

 

При упругом столкновении одинаковой

U = E-(- ) > 0.

потенциальная энергия на |r| = - и |r| = + будет

U

 

U

 

 

 

= 0.

Траекторией движения, т.к. E+ = E- >0 будет гипербола или парабола (траектория в виде окружности и эллипса может возникнуть при захвате налетающей частицы).

Используя решения задачи 2х тем (квадратуры) мы можем

рассеяния m

- угол рассеяния в системе центра масс. Угол между

 

 

 

 

 

). При этом

что то же самое, между v2

 

и v2

 

найти

 

 

v1

и v1

угол (или,

m 2 m .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из задачи 2х тел выпишем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

r

 

 

 

 

 

2

 

 

E U

eff

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rmin

:

 

E0

U

eff

 

в системе центра масс.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

v2

 

 

 

 

 

 

na

 

, здесь na

- единичный вектор, направленный по вектору v

 

 

 

v1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или по вектору v2 .

 

 

 

 

m

- угол между асимптотами траекторий и абсциссой.

 

 

 

- определяется углами и Rm .

 

n

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nz - единичный вектор, перпендикулярный плоскости движения

 

относительно центра масс.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nxy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nxy v

 

 

 

 

 

 

 

o xy ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лежит в плоскости движения частиц относительно центра масс.

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v2

v1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

r sin r,v

t

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r sin r,v

 

t

v

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

,

 

E

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

v

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

v

t

 

 

 

асимптоты.

Итак, имеем решение задачи об упругом рассеянии двух частиц.

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

v

na

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

na

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v2

 

 

 

m

m

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m m

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

v

na

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

v

na

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v1

vц.м.

m

m

 

 

 

 

 

 

v2

vц.м.

m

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

m v

m v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ц.м.

 

m

m

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

v

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В итоге имеем следующее решение задачи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr

 

 

 

 

m 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

2U r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

 

 

 

 

 

 

2

 

v

 

 

 

 

U r

 

 

 

 

v

 

 

 

 

min

r

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2 r

 

 

 

 

 

 

v

 

 

r

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rmin

является точкой поворота, которая является решение уравнения.

 

2U r

 

 

 

2

 

1

 

 

 

0

v

2

r

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом при столкновении 2х заряженных частиц, им можно сопоставить движение частицы с приведенной массой, движущуюся с поле центральной силы. При своем движении эта частица сталкивается с кинетическим барьером в точке с rmin, так, что угол падения равен углу отражения 1= 2 .

Теперь рассмотрим задачу о захвате налетающей частицы или их “падение” друг на друга ( r 0 при t ).

В этом случае имеем

E0 U r

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

2mr 2

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

2

 

U r

 

2

 

 

r

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim v 2 r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

U r r2

r 0

2

 

 

 

 

r 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v 2 2

2

4

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

v

 

 

2

 

0 r U r

 

2

 

 

 

r 0

 

 

Для сил отталкивания это невозможно, ни при каких не потеряет часть своей энергии.

5

 

 

 

если одна из частиц

Соседние файлы в предмете Теоретическая механика
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности