TM_Lectures_part_I_14

Лекция 14 (ТМ, часть I)

Движение в центрально-симметричном поле

В этом случае сила и потенциальная энергия (r ) и сила

зависят от положения тела |r| в пространстве и следовательно поле и сила будут потенциальными.

Примерами таких полей являются гравитационное и электростаческое поле.

Потенциал этих полей может быть записан в общем виде

v r

r

Рассмотрим движение тела под действием потенциальной силы вида (1), в случае отсутствия диссипативных сил.

Поскольку сила (1) не зависит от времени и является потенциальной, то для рассматриваемого случая выполняется закон сохранения полной энергии

При этом сама полная энергия E – интеграл движения.

Поскольку сила центральная, то для рассматриваемого случая существует второй первый интеграл движения.

Действительно

Сохранение момента импульса означает, что движение происходит в всегда одной плоскости.

Т.е. радиус вектор и скорость тела всегда будет локализованы в одной плоскости.

Рассмотрим движение тела под действием центральной силы.

Чтобы полностью описать движение в рассматриваемом случае достаточно найти две скалярные функции, определяющие положение тела на плоскости поскольку система обладает всего двумя степенями свободы (в следствии сохранения момента импульса).

Характеристики движения можно извлечь из системы двух законов сохранения

Законы сохранения образуют полную систему, позволяющую полностью описать движение.

Поскольку движение в плоскости и сила обладает центральной симметрией определены центром, для описания движения удобно выбрать полярную систему координат.

Направим ось Z вдоль вектора момента импульса. В этом случая для радиус вектора и скорости имеем

В результате (4) перепишется в следующем виде

Второе слагаемое во втором уравнении, обычно включают в потенциальную энергию, поскольку оно зависит только от положения тела и

непосредственно влияет на границы, определяющие область где будет происходить движение.

Как видно в системе (6) эффективная потенциальная энергия определяет границы области движения:

Уравнение (7) помогает найти точки поворота, или границы области

будет происходить движение.

отталкивания и препятствует сближению взаимодействующих тел.

система может совершать финитное движения при определенных начальных условиях.

Квадратура (6):

i - некоторая точка поворота, определяемая из (7) позволяет определить

t .

Зная t мы можем получить вторую квадратуру

Квадратуры (8) и (9) дает решение задачи в общем виде.

Из (8) и (9) мы можем определить траекторию движения. Для этого выразим

Тогда мы можем получить уравнение для траектории движения

Это уравнение можно проинтегрировать

Результат интегрирования определяется видом потенциальной энергии.

Выражение (10) определяет вид траектории движения если мы знаем V( ) и начальные условия .

монотонно, поэтому траектория должна быть симметричной относительно линии проходящей через центр взаимодействия и точки поворота.

Полученное решение справедливо для любой центральной силы, при этом движение происходит всегда плоскости проходящей через центр заданной системы.

Начальная энергия при этом определяет границы области движения. При этом момент импульса определяет ориентацию плоскости в пространстве, где происходит движение.

Так же постоянство момента импульса означает, что радиус вектор за равные промежутки времени «заметает» одинаковые площади (постоянная секторная скорость):

Анализ подкоренного выражения (10) позволяет найти критерий падения в центр силы r = 0.

Условия падения в центр: