TM_Lectures_part_I_11
.pdf
Лекция 11 (ТМ, часть I)
Законы сохранения и Интегралы движения (продолжение)
20. Закон изменения и сохранения момента импульса
Рассмотрим снова систему уравнений движения:
miri Fi
Умножим на
ri
векторно каждую часть уравнения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
F |
|
r m r |
|
||||
i |
|
i i |
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
m [r |
|
|
|
||
r ] [r F ] |
|||||
i |
i |
|
i |
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[r |
F ] |
|
[r p] |
|||||
i |
|
|
i |
i |
|
Добавим нулевое слагаемое к последнему выражению:
|
|
|
|
|
|
|
p] [r |
|
|
F ] |
|
[r |
p] [r |
||||
i |
|
i |
|
i |
i |
Здесь нулю равно первое слагаемое т.к. оно (по сути) содержит векторное произведение скоростей:
d |
|
|
|
[r |
|
dt |
i |
|
|
|
|
|
p] [r |
|
|
i |
Fi ]
.
Величина, стоящая под знаком производной равна константе, если правая часть равна нулю.
Выражение
|
|
|
, |
(9.8) |
Mi |
[ri |
p] |
Называется моментом импульса.
При этом выражение:
|
|
|
L |
[r |
F ] |
i |
i |
i |
Называется моментом силы.
Для момента импульса можно написать:
|
|
|
|
Li |
(9.10) |
M i |
1
Как видно из выражения (9.10), причина изменения момента импульса есть момент силы.
Момент импульса тоже является динамической характеристикой механической системы и может являться первым интегралом в некоторых случаях.
Причем, как и в случае импульса, отдельные проекции момента импульса могут быть первыми интегралами, но момент импульса может сохраняться и для определенного класса сил, называемых центральными силами.
Центральная сила – это сила, направленная вдоль прямой, проходящей через центры взаимодействующих тел.
Fi ri
Или
|
|
F |
r |
i |
i |
В этом случае
Li
0
,
так как векторное произведение равно нулю.
Моменты импульса и силы относительно некоторой точки О называют полюсами.
Моменты относительно подвижной и неподвижной системы отсчета не одинаковы.
2
Найдем сумму по всем уравнениям системы (9.10).
A |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Li |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
M i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
i 1 |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- полный момент импульса. |
|
|
|
|
||||||||||||||
M |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
A |
|
|
|
exp |
|
A |
|
in |
|
A |
|
|
exp |
|
A |
|
|
|
|
(F |
|
|
F |
)] |
|
F |
] |
|
||||||||
M |
[r |
|
|
|
[r |
|
[r |
||||||||||||
|
|
i |
|
i |
|
|
ij |
|
i |
i |
|
|
i |
||||||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
i 0 |
|
|
|
|
i, j 0 |
||
По третьему закону Ньютона:
|
in |
|
F |
||
|
||
ij |
||
]
.
|
|
in |
|
[r |
F |
] |
|
|
|
|
|
i |
ij |
|
|
[ri
F
in ji
]
.
Отсюда запишем закон изменения и сохранения полного момента:
|
|
M L |
|
|
ext |
(9.11)
Это уравнение можно интерпретировать так: полный момент импульса сохраняется если момент внешних сил равен нулю.
30. Закон изменения и сохранения энергии
Выпишем систему уравнений движения:
|
|
|
F |
m r |
|
i i |
i |
Домножим левую и правую часть на
тогда получим:
dri
,
|
|
|
|
|
dri |
Fi dri , |
|
miri |
|||
Что можно переписать так
|
|
|
|
|
|
dV |
|||
mi |
|
dri |
Fi |
dri |
dt |
Пользуясь определением дифференциала и производной из выражения
|
|
|
|
|
mV dV |
Fdr |
|||
i |
i |
i |
i |
i |
получим
mV 2 |
|
|
|
|
i i |
|
Fi dri (9.12) |
|
|||
d |
2 |
|
|
|
|
|
|
3
Выражение, стоящее под знаком дифференциала в левой части выражения:
A |
mV |
2 |
||
|
T |
|||
i |
i |
|||
|
|
|||
i 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
Известно вам как кинетическая энергия механической энергии.
Из (9.12) можно заключить, кинетическая энергия сохраняет свое значение, если сила, действующая на тело равна нулю.
Если (9.12) просуммировать по всем материальным точкам (механическим телам) получим, для правой части можно ввести обозначение:
|
A |
|
|
A |
i |
i |
|
|
F dr |
||
|
i 1 |
|
|
.
Это выражение является определением для элементарной работы.
Выражение (9.12) можно переписать так:
dT A
Это является выражением, определяющим закон сохранения и изменения кинетической энергии.
Таким образом, причиной изменения кинетической энергии является работа сил, приложенных к механической системе.
4