Билеты Эгзамен / Механика 40-49

40. Затухающие колебания. Декремент затухания.

Свободные колебания технических систем в реальных условиях протекают, когда на них действуют силы сопротивления. Действие этих сил приводит к уменьшению амплитуды колеблющейся величины.

Колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системы уменьшается с течением времени, называются затухающими.

Н аиболее часто встречается случаи, когда сила сопротивления пропорциональна скорости движения

 

где r - коэффициент сопротивления среды. Знак минус показывает, что F_C направлена в сторону противоположную скорости.

Запишем уравнение колебаний в точке, колеблющийся в среде, коэффициент сопротивлений которой r. По второму закону Ньютона

где β - коэффициент затухания. Этот коэффициент характеризует скорость затухания колебаний, При наличии сил сопротивления энергия колеблющейся системы будет постепенно убывать, колебания будут затухать.

- дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

 

- уравнение затухающих колебаний.

ω – частота затухающих колебаний:

Период затухающих колебаний:

Затухающие колебания при строгом рассмотрении не являются периодическими. Поэтому о периоде затухаюших колебаний можно гово­рить, когда β мало.

Если затухания выражены слабо (β→0), то  . Затухающие колебания можно

рассматривать как гармонические колебания, амплитуда которых меняется по экспоненциальному закону

В уравнении (1) А₀ и φ₀ - произвольные константы, зависящие от выбора момента времени, начиная е которого мы рассматриваем колебания

Рассмотрим колебание в течение, некоторого времени  τ, за которое амплитуда уменьшится в е раз

τ - время релаксации.

Коэффициент затихания β обратно пропорционален времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Однако коэффициента затухания недостаточна для характеристики затуханий колебаний. Поэтому необходимо ввести такую характеристику для затухания колебаний, в которую входит время одного колебаний. Такой характеристикой является декремент (по-русски: уменьшение) затуханияD, который равен отношению амплитуд, отстоящих по времени на период:       

Логарифмический декремент затухания равен логарифму D:

 

Логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, в результате которых амплитуда колебаний умень­шилась в е раз. Логарифмический декремент затухания - постоянная для данной системы величина.

41. Вынужденные колебания. Резонанс. Добротность колебательной системы.

В целом ряде случаев возникает необходимость создания систем, совершающих незатухающие колебания. Получить незатухающие колебания в системе можно, если компенсировать потери энергии,  воздействуя на систему периодически изменяющейся силой.

Пусть

Запишем выражение для уравнения движения материальной точки, совершающей гармоническое колебательное движение под действием вынуждающей силы.

По второму закону Ньютона:

 

                                                            (1)

- дифференциальное уравнение вынуж­денных колебаний.

Это дифференциальное уравнение является линейным неоднородным.

Его решение равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Для этого перепишем уравнение (1) в следующем виде:

                                                                            (2)

Частное решение этого уравнения будем искать в виде:

Тогда

Подставим в (2):

т.к. выполняется для любого t , то должно выполняться равенство  γ = ω , следовательно,

Это комплексное число удобно представить в виде

где А определяется по формуле (3 ниже), а φ - по формуле (4), следовательно, решение (2),в комплексной форме имеет вид

Его вещественная часть, являвшаяся решением уравнения (1) равна:

где

 (3)

(4)

Слагаемое Х_о.о. играет существенную роль только в начальной стадии при установлении колебаний до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения определяемого равенством (3). В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими. Амплитуда (3) и фаза (4) вынужденных колебаний зависят от частоты вынуждающей силы.  При определенной частоте вынуждающей силы амплитуда может достигнуть очень больших значений. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте механи­ческой системы, называется резонансом.

Частота ω вынуждающей силы,  при которой наблюдается резонанс, называется резонансной. Для того чтобы найти значение ω_рез, необходимо найти условие максимума амплитуды. Для этого нужно определить условие минимума знаменателя в (3) (т.е. исследовать (3) на экстремум).

 

Зависимость амплитуды колеблющейся величины от частоты вынуждающей силы называется резонансной кривой. Резонансная кривая будет тем выше, чем меньше коэффициент затухания β и с уменьшением β, максимум резонансных кривых смешается вправо. Если , то

ω_рез = ω₀.

При ω→0 все кривые приходят к значению            - статическое отклонение.

Параметрический резонанс возникает в том случае, когда периодическое изменение одного из параметров система приводит к резкому увеличению амплитуды колеблющейся системы. Например, кабины, делающие "солнышко" за счет изменения положения центра тяжести система.(То же в "лодочках".) См. §61 .т. 1 Савельев И.В.

Еще одной характеристикой колебательной система является добротность Q.

Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой, за время релаксации τ.

Добротность Q колебательной системы является мерой относительной диссипации (рассеивания) энергии.

Добротность Q колебательной системы называется число, показывающее во сколько раз сила упругости больше силы сопротивления.

Чем больше добротность, тем медленнее происходит затухание, тем затухающие колебания ближе к свободным гармоническим.

42. Упругие волны. Скорость распространения продольных упругих возмущений в стержне. Упругие деформации исчезают после прекращения воздействия. Упругость:

• Деформация сдвига (формы);

• Объемная деформация (только сжатие и растяжение).

Волны:

• Продольные (вдоль направления распространения, в любой упругой среде, объемная деформация);

• Поперечные (перпендикулярно направлению распространения, деформация сдвига).

Упругими волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде.

Упругая среда - среда, в которой может возникать сила упругости.

Распространение волны сопровождается переносом энергии, но не переносом вещества

Жидкости и газы - только продольные волны Твёрдые тела – продольные и поперечные. Волны на поверхности воды – поперечные (из-за земного притяжения).

Длина волны - расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе

Фронт волны – геометрическое место точек (поверхность), в которых фаза колебаний имеет одно и то же значение.

Форма фронта волны определяется источником колебаний и свойствами среды.

Среда называется изотропной, если скорость распространения волны одинакова по всем направлениям.

Фронт волны от точечного источника колебаний в изотропной среде имеет вид сферы; такие волны называются сферическими.

Если  фронт волны представляет собой плоскость и эта форма сохраняется по мере распространения колебаний, то волну называют плоской.

В неоднородной и не изотропной (анизотропной) среде, а также от неточечных источников колебаний фронт волны имеет сложную форму.

– уравнение плоской волны

– уравнение сферической волны

Скорость распространения упругих возмущений в стержне.

Вычислим скорость распространения малых продольных возмущений в стержне, возникших в результате действия постоянной силы давления F, приложенной в некоторый момент к его свободному концу. В возмущенной области стержня все вещество в любой момент времени t движется с постоянной скоростью V, а сам стержень в указанной области всюду деформирован одинаково.

Если m - масса деформированной части стержня в момент t, то его импульс в тот же момент будет mV. Приращение импульса за время dt, т.е. d(mV) равно импульсу силы F dt за то же время.

4 3. Упругие волны. Скорость распространения поперечных упругих возмущений в неограниченной среде.

– уравнение плоской волны

– уравнение сферической волны

Если в неограниченной среде возникает какое-либо возмущение, оно поделится на продольное и поперечное, при чем

4 4. Упругие волны. Скорость распространения поперечных возмущений в натянутом шнуре

– уравнение плоской волны

– уравнение сферической волны

45. Бегущие и стоячие волны.

Бегущими называются волны, которые переносят в пространстве энергию. - уравнение падающей, бегущей волны.

(уравнение волны, распространявшейся в направлении оси X).

S - смещение точки от положения равновесия в плоскости, находящейся на расстоянии х от источника колебаний;

τ - время, необходимое, чтобы пройти путь от x=0 до фронта волны. = x/ν

А -  амплитуда волны;

φ0 -  начальная фаза.

ω - циклическая частота

ω(t-x/υ)+φ0 - фаза волны

- уравнение отраженной волны. Когда две одинаковые волны с равными амплитудами и периодами распространяются навстречу друг другу, то при их наложении возникают стоячие волны.

Такой случай можно реализовать, заставив бегущую волну отразиться от преграды – уравнение стоячей гармонической волны

46. Акустический эффект Доплера.

Если источник звука и наблюдатель движутся друг относительно друга, частота звука, воспринимаемого наблюдателем, не совпадает с частотой источника звука. Это явление, открытое в 1842 г., носит название эффекта Доплера.

; Vпр – скорость приемника, Vист – скорость источника, ν₀ – начальная частота.