26. Закон сохранения момента импульса, проекций момента импульса.

27. Законы Кеплера.

28. Космические скорости.

29. Законы сохранения и симметрия пространства и времени.

30. Собственный момент импульса системы материальных точек. Уравнения, определяющие движение системы.

Билет 22 Закон сохранения момента импульса, проекций момента импульса

Закон сохранения момента импульса

Момент импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени, то есть . 

Если система не замкнута, но суммарный момент действующих внешних сил относительно неподвижной точки  О равен нулю ( ), то момент импульса относительно этой точки не изменяется со временем: . В случае, когда система вращается вокруг неподвижной оси Z, а главный момент внешних сил относительно этой оси , то момент импульса системы относительно оси вращения не изменяется с течением времени .

Осталось отметить связь законов сохранения со свойствами пространства - времени, то есть объяснить их фундаментальность. Закон сохранения импульса связан с однородностью пространства (свойства пространства одинаковы во всех его точках). Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени (однородность времени проявляется в том, что законы движения замкнутой системы не зависят от выбора начала отсчета времени). Закон сохранения момента импульса связан с изотропностью пространства (свойства пространства одинаковы по всем направлениям, то есть не зависят от выбора направления осей координат).

Продемонстрировать закон сохране­ния момента импульса можно с помощью скамьи Жуковского. Пусть человек, сидя­щий на скамье, которая без трения враща­ется вокруг вертикальной оси, и держа­щий в вытянутых руках гантели (рис. 29), приведен во вращение с угловой скоро­стью ₁. Если человек прижмет гантели к себе, то момент инерции системы умень­шится. Поскольку момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы со­храняется и угловая скорость вращения ₂ возрастает. Аналогично, гимнаст во время прыжка через голову поджимает к тулови­щу руки и ноги, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения.

Билет 23. Законы Кеплера

Зако́ны Ке́плера — три эмпирических соотношения, интуитивно подобранных Иоганном Кеплером на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты. В рамках классической механики выводятся из решения задачи двух тел предельным переходом   → 0, где  ,   — массы планеты и Солнца соответственно.

Первый закон Кеплера(закон эллипсов)

Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением  , где c — расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), a — большая полуось. Величина e называется эксцентриситетом эллипса. При  , и, следовательно,  эллипс превращается в окружность.

Доказательство первого закона Кеплера   

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во Вселенной притягивает каждый другой объект по линии, соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». Это предполагает, что ускорение a имеет форму

Вспомним, что в полярных координатах

В координатной форме запишем

Подставляя   и   во второе уравнение, получим

которое упрощается

После интегрирования запишем выражение

для некоторой константы  , которая является удельным угловым моментом ( ).Пусть

Уравнение движения в направлении   становится равным

Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как

где G — универсальная гравитационная константа и M — масса звезды.

В результате

Это дифференциальное уравнение имеет общее решение:

для произвольных констант интегрирования e и θ₀.

Заменяя u на 1/r и полагая θ₀ = 0, получим:

Мы получили уравнение конического сечения с эксцентриситетом e и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.

Второй Закон Кеплера(закон площадей)