MSU_Lektsii_Eliseev

На свободном конце = натяжение T равно нулю, так как смещение сечения на краю стержня равно нулю.

3) Оба конца стержня свободны:

На данном примере видно, что формой математического описания СРП являются дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП). Рассмотрим общую формулировку и классификацию задач в СРП.

Введем для краткости обозначения:

Тогда в общем виде ДУЧП для одномерной пространственной координаты x может быть записана в виде:

F t , x , u t , u x , u xt , u tt , u xx 0

Уравнение называется линейным относительно старших производных, если можно записать:

a11 u xx 2 a12 u xt a 22 u tt F1 t , x , u t , u x 0

зависимости от значения дискриминанта вводится следующая классификация:

D 0 — уравнение эллиптического вида (уравнение Лапласа)

D 0 — уравнение параболического вида (уравнение теплопроводности)

D 0 — уравнение гиперболического вида (волновое уравнение)

Если a 11 a 11 ( u ) , то ДУЧП называется квазилинейным.

Математическая модель объекта теплопроводности

Рассмотрим твердое тело, температура которого в точке (x,y,z) в момент времени t равно u(x,y,z,t). Если различные части тела имеют разную температуру, то тепло будет

где k>0 – коэффициент внутренней теплопроводности. Будем считать, что теплопроводность в теле обладает свойством изотропности, то есть, зависит только от точки (x,y,z), но не зависит от направления нормали. Обозначим через q тепловой поток, то есть, количество тепла, проходящее через единицу поверхности в единицу времени:

qk u

n

Возьмем внутри тела некоторый объем V, ограниченный гладкой замкнутой поверхностью S и рассмотрим изменение количества тепла в нем за промежуток времени (t1, t2). Очевидно, что количество тепла, которое входит в этот объем можно рассчитать по формуле:

Предположим, в теле имеются источники/поглотители тепла. Обозначим количество тепла выделяемого/поглощаемого в точке в некоторый момент времени через F ( x , y , z , t ) .

82

Лекция 14. Метод конечных разностей

Метод конечных разностей (МКР) для моделирования объектов и систем с распределенными параметрами. Основные понятия МКР: разностная сетка, сеточная функция, шаблон, аппроксимация. Примеры аппроксимации простейших дифференциальных операторов, погрешность аппроксимации.

Разностные схемы

Сравнивая задачи по решению ОДУ и УЧП, следует отметить, что первая значительно проще второй. Для некоторых видов ОДУ существует аналитическое решение. Остальные, решаемые численными методами, группируются в небольшое количество классов задач, для каждого из которых есть проработанная теоретическая база и алгоритмы решения. Поэтому часто исследователь, сталкиваясь с задачей решения ОДУ, не выбирает и анализирует метод решения, а просто пользуется стандартной программой.

В случае УЧП очень мало задач имеет решение в явном виде, а число принципиально различных постановок задач существенно больше, чем для ОДУ. Теория численных методов для решения УЧП дробится на большое число направлений. Огромное влияние на развитие этой области вычислительной математики оказало появление и всё более широкое использование ЭВМ. В частности, метод конечных элементов для расчетов на прочность с использованием ЭВМ применялся Аргисом уже в 1944 году.

С тех пор были разработаны алгоритмы для решения подавляющего большинства краевых задач уравнений параболического типа, причем как одномерных, так и многомерных. В то же время, в отличие от ОДУ, далеко не все алгоритмы обоснованы с точки зрения доказательства сходимости и оценки погрешности. Более того, для многих важных прикладных задач даже не доказано существование решения. По этой причине, численное решение УЧП представляет собой полуэмпирическую область, где широко используется метод аналогии, достоверность полученного решения требует доказательств или, хотя бы, некоторого нестрогого обоснования, а анализ численного решения приводит продвижению теории.

Семейство методов, широко используемое для решения наиболее актуальных задач, описываемых УЧП, называется сеточными методами или разностными схемами. Название обусловлено тем, что решение ищется не в непрерывном пространстве переменных исходного УЧП, а в некоторых дискретных точках.

Разностная сетка – это совокупность элементов дискретного пространства.

Каждый отдельный элемент этого пространства называется узлом разностной сетки.

Для того, чтобы решить дифференциальное уравнение разностной схемой необходимо совершить два шага:

Заменить область непрерывного изменения аргументов областью дискретного изменения.

Заменить дифференциальный оператор некоторым разностным оператором, а также сформулировать разностный аналог краевых условий и начальных данных.

84

Метод конечных разностей

Введем необходимые определения и обозначения. Пусть УЧП имеет общий вид:

вместо [ u ] h .

В данном случае разностная сетка задана с регулярным шагом, однако это необязательно.

Рассмотрим аппроксимацию дифференциального оператора на разностной сетке. Она производится с помощью так называемого шаблона – линейной комбинации значений сеточной функции u h на некотором множестве узлов сетки.

x

ξ T(x)

Рис.1: Пример шаблона.

Пусть Lu – линейный дифференциальный оператор на функции u. Тогда, заменяя производные в Lu на разностные соотношения, получим разностное выражение L h u h , являющееся линейной комбинацией значений сеточной функции u h :

T ( x )

85

Разложим u ( x h ) по формуле Тейлора в окрестности точки x:

u ( x h ) u ( x ) h u ( x ) h 2 u ( x ) O ( h 3 ) 2

Подставим это разложение в формулы для разностных выражений оператора первой производной:

Правая разностная производная в точке x совпадает с левой разностной производной в точке x h , то есть, u x ( x ) u x ( x h ) , поэтому:

87

Лекция 15. Явный и неявный разностные операторы

Аппроксимация одномерного параболического оператора по схеме с весами. Явный и неявный аппроксимирующий оператор, явная и неявная разностные схемы. Разностная схема повышенного порядка точности.

Аппроксимация одномерного параболического оператора

Рис.1: Простейшие шаблоны аппроксимации параболического оператора.

В этих обозначениях разностный оператор определяется выражением:

Введем обозначения для сокращения записи:

Тогда = ̂− и L(h0 ) u u t u x x

Для вычисления L(h0 ) u x x берется на нижнем слое, то есть, в момент времени t. Если взять u x x в верхнем слое (рис.1б), то есть, в момент времени t , то оператор будет таким:

(1) = − ̂̅

Взяв линейную комбинацию обоих операторов с параметром , получим семейство разностных операторов, порождающих разностные схемы с весами:

( ) = − (̂̅ + (1 − ) ̅),

89

определенных при 0 , 1 на шеститочечном шаблоне (рис.2).

(x-h,t+ ) (x,t+ ) (x+h,t+ )

(x-h,t) (x,t) (x+h,t)

Рис.2: Шеститочечный шаблон для аппроксимации параболического оператора.

Точность аппроксимации представленных разностных операторов описывается следующими выражениями (причем 1 / 2 ):

( 0 ) L(h0 ) u Lu ( x , t ) O ( h 2 )

( 1 ) L(h1 ) u Lu ( x , t ) O ( h 2 )

( 0 .5 ) L(h0 .5 ) u Lu ( x , t / 2 ) O ( h 2 2 )

Таким образом, линейная комбинация простейших операторов дает повышенный порядок точности по .

Явные и неявные разностные схемы

Рассмотрим решение УЧП параболического типа

в области Q T [ 0 , X ] [ 0 , T ] с начальными и краевыми условиями: