6 сем / Метод_указания_к_расч_заданию-2023 (1)
.pdfМИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
–––––––––––––––––––––––––––––
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МЭИ»
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В.М. Беседин, О.М. Державин, Е.Ю. Сидорова
АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Методические указания к расчетному заданию
по курсу «Теория автоматического управления» для студентов, обучающихся по направлению 27.03.04 «Управление в технических системах»
Москва Издательство МЭИ
2022
1
УДК 621.398 ББК 32.965 Б 53
Утверждено учебным управлением НИУ «МЭИ» в качестве производственно-практического издания
Подготовлено на кафедре управления и интеллектуальных технологий
Беседин, В.М.
Б53 Анализ нелинейных систем автоматического управления: метод. указания к расчетному заданию / В.М. Беседин, О.М. Державин, Е.Ю. Сидорова. – М.: Издательство МЭИ, 2022. – 40 с.
Методические указания содержат 50 заданий, охватывающих основные разделы курса нелинейных непрерывных систем автоматического управления.
Для подготовки бакалавров по направлению 27.03.04 «Управление в технических системах».
УДК 621.398 ББК 32.965
Национальный исследовательский университет «МЭИ», 2022
2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………… 4
1.Задание на выполнение расчета………………………….. 4
2.Варианты задания параметров нелинейной системы
для расчета……………………………………………………. |
6 |
3. Методические указания по выполнению расчетного |
|
задания……………………………………………………….. |
7 |
4. Пример выполнения расчетного задания………………... |
19 |
Список рекомендуемой литературы………………………… 37
3
ВВЕДЕНИЕ
Настоящие методические указания имеют своей целью повысить уровень самостоятельной работы студентов по дисциплине «Теория автоматического управления» при изучении нелинейных непрерывных систем управления. Они дают возможность организовать выполнение каждым студентом индивидуальных заданий по различным разделам курса.
В методические указания вошли расчетные задания, охватывающие основные разделы анализа нелинейных непрерывных систем автоматического управления, такие как исследование нелинейных САУ методом фазовой плоскости и амплитудно-частотным методом.
1. ЗАДАНИЕ НА ВЫПОЛНЕНИЕ РАСЧЕТА
Исходными данными для исследования нелинейной системы являются структурная схема системы с заданными параметрами звенев и характеристика нелинейного элемента.
Ниже предоставлены вид структурной схемы системы (рис. 1.1) и четыре типа нелинейного элемента (НЭ) с релейной характеристикой
(рис. 1.2 а – г).
Рис. 1.1. Структурная схема нелинейной системы
z |
z |
|
|
z |
B |
B |
|
|
B |
|
|
|
||
y |
c |
y |
c |
y |
|
c |
|
|
c |
B |
B |
|
|
B |
|
|
|
|
|
а) НЭ 1 |
б) НЭ 2 |
|
|
в) НЭ 3 |
|
z |
|
|
B |
|
h |
c |
y |
|
c |
h |
|
B |
|
|
г) НЭ 4 |
|
Рис. 1.2. Нелинейные элементы с характеристиками релейного типа
4
В рамках настоящей работы исследуется система при отсутствии входного воздействия, т.е. f (t ) 0 .
Передаточные функции звеньев исходной системы имеют вид: |
|
||
W1 (p ) K1 , |
|
(1.1) |
|
W2 (p ) |
K 2 |
, |
(1.2) |
p 2 ap b |
|||
W 3 ( p ) pT 0 ; |
|
(1.3) |
|
z φ(y ) – характеристика нелинейного элемента релейного типа (см.
рис. 1.2).
Конкретные значения параметров звеньев и тип релейного элемента задаются вариантом расчетного задания.
Необходимо:
1.Исследовать структуру фазового портрета нелинейной системы. Для этого определить типы фазовых траекторий в различных областях фазовой плоскости. Найти описание границ данных областей, определить координаты равновесных состояний (особых точек) системы. Построить качественно ожидаемый фазовый портрет системы.
2.С помощью стандартного ППП построить фазовый портрет системы и сравнить его с ожидаемым, полученным в п. 1. Дать заключение
охарактере возможных процессов в системе и их устойчивости. Определить устойчивость особых точек, наличие автоколебаний. Для трех фазо-
вых траекторий с начальными условиями ( x01 0 , x01 0), (x02 0 ,x02 0)
и(x03 0 , x03 0) привести графики изменения процесса x(t ) во времени.
3.Исследовать влияние ширины петли гистерезиса нелинейного элемента на возникновение автоколебаний в системе. Определить значения параметров c и h НЭ 4, при которых имеют место автоколебания (другие параметры системы остаются неизменными, согласно варианту задания; см. примечание ниже). Для этого найти минимальное значение
λmin |
относительной величины ширины петли гистерезиса λ |
h c |
|
|
h |
(h c ), при которой возникают автоколебания. Определить амплитуду и период автоколебаний при λ=λmin .
4.Определить амплитуду и период автоколебаний при увеличении коэффициента K1 в 5 раз и значения λ в 2 раза относительно λmin .
5.Провести исследование автоколебаний в системе приближенным амплитудно-частотным методом (методом Гольдфарба). Для этого привести модель системы исходной структурной схемы (рис. 1.1) к виду модели Гаммерштейна. Построить амплитудно-фазовую характеристику
5
линейной части и инверсную характеристику z( A) эквивалентного
комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента и дать заключение о возможности возникновения автоколебаний в системе данной структуры и их устойчивости. В случае наличия автоколебаний определить их параметры.
Исследование провести для трех случаев:
а) системы с исходно заданными номером задания параметрами; б) системы с параметрами п. 3 при λ=λmin ;
в) системы с параметрами п. 4.
6. Сравнить количественно результаты исследования автоколебаний методом фазовой плоскости в пп. 2, 3, 4 и методом Гольдфарба в п. 5 (случаи а, б, в).
Примечание. Для вариантов с нелинейными элементами НЭ 1 – НЭ 3 (рис. 1.2 а–в) в пунктах задания 3, 4 использовать нелинейный элемент вида 4 как исходный. Параметр B остается таким же, а недостающие h и/или c нужно взять из ближайшего по номеру варианта задания с нелинейным элементом вида 4, при котором соблюдается h c .
2. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЯ ПАРАМЕТРОВ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДЛЯ РАСЧЕТА
Таблица 2.1
№ варианта |
a |
b |
K1 |
K2 |
T0 |
Тип НЭ |
c |
h |
B |
1 |
3 |
9 |
30 |
4 |
0,3 |
1 |
- |
- |
1 |
2 |
8 |
16 |
4 |
3 |
1 |
2 |
6 |
- |
2 |
3 |
1 |
0,64 |
4 |
3 |
5 |
3 |
9 |
- |
3 |
4 |
10 |
4 |
3,5 |
3 |
0,5 |
4 |
7 |
8 |
4 |
5 |
3 |
9 |
12 |
1 |
2 |
1 |
- |
- |
5 |
6 |
8 |
16 |
7 |
2 |
2 |
2 |
3 |
- |
6 |
7 |
1 |
0,64 |
0,3 |
2 |
1 |
3 |
4 |
- |
7 |
8 |
10 |
4 |
9 |
4 |
2 |
4 |
2 |
4 |
8 |
9 |
3 |
9 |
2 |
1,5 |
1 |
1 |
- |
- |
9 |
10 |
8 |
16 |
7 |
4 |
2 |
2 |
6 |
- |
10 |
11 |
1 |
0,64 |
3 |
5 |
0,2 |
3 |
5 |
- |
5 |
12 |
10 |
4 |
30 |
2,5 |
0,5 |
4 |
2 |
4 |
2 |
13 |
3 |
9 |
10 |
2 |
5 |
1 |
- |
- |
4 |
14 |
8 |
16 |
9 |
3 |
4 |
2 |
5 |
- |
3 |
15 |
1 |
0,64 |
9 |
4 |
0,3 |
3 |
7 |
- |
10 |
16 |
10 |
4 |
2 |
2 |
0,5 |
4 |
1 |
3 |
20 |
17 |
3 |
9 |
4 |
4 |
3 |
1 |
- |
- |
9 |
6
Окончание табл. 2.1
№ варианта |
a |
b |
K1 |
K2 |
T0 |
Тип НЭ |
c |
h |
B |
18 |
8 |
16 |
2 |
5 |
5 |
2 |
2 |
- |
8 |
19 |
1 |
0,64 |
3 |
1,5 |
0,5 |
3 |
6 |
- |
2 |
20 |
10 |
4 |
7 |
3 |
5 |
4 |
2 |
3 |
1 |
21 |
6 |
9 |
2 |
4 |
2 |
2 |
3 |
- |
4 |
22 |
8 |
16 |
10 |
16 |
1 |
3 |
4 |
- |
2 |
23 |
4 |
9 |
6 |
4 |
1,5 |
4 |
7 |
10 |
3 |
24 |
6 |
9 |
4 |
4 |
1 |
3 |
4 |
- |
4 |
25 |
8 |
16 |
2 |
16 |
2 |
4 |
2 |
5 |
5 |
26 |
8 |
16 |
2,5 |
16 |
0,3 |
2 |
7 |
- |
12 |
27 |
6 |
9 |
2 |
4 |
1 |
3 |
6 |
- |
10 |
28 |
8 |
16 |
3 |
16 |
5 |
4 |
3 |
4 |
8 |
29 |
3 |
9 |
2 |
1,5 |
1 |
3 |
1 |
- |
6 |
30 |
32 |
64 |
160 |
2 |
0,3 |
2 |
8 |
- |
5 |
31 |
3 |
9 |
6 |
4 |
0,3 |
3 |
9 |
- |
6 |
32 |
8 |
16 |
2 |
3 |
2 |
4 |
3 |
5 |
7 |
33 |
1 |
0,64 |
1,5 |
0,4 |
5 |
1 |
- |
- |
8 |
34 |
10 |
4 |
13 |
3 |
0,5 |
2 |
8 |
- |
9 |
35 |
3 |
9 |
3 |
1 |
2 |
3 |
6 |
- |
10 |
36 |
8 |
16 |
0,6 |
2 |
2 |
4 |
1 |
3 |
15 |
37 |
1 |
0,64 |
0,7 |
2 |
2 |
1 |
- |
- |
20 |
38 |
10 |
4 |
1,5 |
4 |
1 |
2 |
5 |
- |
2 |
39 |
3 |
9 |
0,1 |
4 |
3 |
3 |
9 |
- |
8 |
40 |
8 |
16 |
7 |
5 |
1 |
4 |
7 |
10 |
4 |
41 |
1 |
0,64 |
3 |
1,5 |
2 |
1 |
- |
- |
4 |
42 |
10 |
4 |
0,5 |
3 |
5 |
2 |
2 |
- |
6 |
43 |
3 |
9 |
3 |
2 |
0,5 |
3 |
2 |
- |
2 |
44 |
8 |
16 |
4 |
3 |
5 |
4 |
2 |
3 |
1 |
45 |
1 |
0,64 |
5 |
4 |
0,5 |
4 |
1 |
4 |
2 |
46 |
10 |
4 |
0,5 |
2 |
0,3 |
3 |
7 |
- |
6 |
47 |
3 |
9 |
2 |
1,5 |
2 |
2 |
6 |
- |
9 |
48 |
8 |
16 |
2 |
4 |
2 |
1 |
- |
- |
3 |
49 |
1 |
0,64 |
0,9 |
5 |
5 |
4 |
2 |
4 |
4 |
50 |
10 |
4 |
0,8 |
2,5 |
0,5 |
3 |
3 |
- |
5 |
3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНОГО ЗАДАНИЯ
1. Для качественного построения фазового портрета системы рекомендуется использовать справочный материал рис. 3.1, где представлены изображения возможных видов фазовых траекторий для дифференци-
ального уравнения второго порядка |
|
|
|
2 |
0 при 0 |
0 и |
||
x |
2d 0x |
0x |
||||||
различных |
значениях d (рис. 3.1 |
а |
– ж) и |
для |
уравнения |
вида |
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
2d 0x |
0x 0 (рис. 3.1 з). |
|
|
|
|
|
|
7
p2 |
x |
|
x |
x |
p1 |
|
p1 p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
x |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
x |
|
x |
x |
|
|
|
|
p1 p2 |
|
x |
0 |
x |
x |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
x |
x |
p2 |
p1 |
p1 |
|
|
|
|
p2 |
|
|
x |
0 |
x |
0
Рис. 3.1. Виды фазовых траекторий
В качестве координат фазовой плоскости необходимо принять переменные ( x ,v x ).
2. Для проведения моделирования необходимо преобразовать исходную структурную схему (рис. 1.1) к виду:
8
Рис. 3.2. Преобразованная структурная схема исходной системы
Это позволяет избежать необходимости моделирования идеального дифференцирующего звена W3 (p ) .
На рисунке 3.2 передаточная функция
W |
(p ) W |
|
(p )W |
|
(p ) |
pT0 K 2 |
. |
|
|
p 2 ap b |
|||||
3 |
|
3 |
|
2 |
|
|
В результате можно реализовать звенья с передаточными функциями W 2 ( p ) и W~3 ( p ) с помощью моделей в пространстве состояний, что
позволит задавать начальные условия.
В MATLAB предусмотрена функция, преобразующая коэффициенты полиномов передаточной функции в параметры пространства состоя-
ний. Пусть задана передаточная функция W ( p ) |
2 p |
. Тогда для |
p 2 4 p 5 |
получения параметров модели пространства состояний необходимо в командном окне (Command Window) MATLAB ввести следующие выражения:
g = [2 0]; h = [1 4 5];
[A,B,C,D] = tf2ss (g,h)
В результате ввода последнего выражения в командном окне отобразятся значения параметров модели пространства состояний:
A =
-4 |
-5 |
1 |
0 |
B =
1
0
9
C =
2 0
D =
0
Для реализации звеньев значения этих параметров нужно задать в MATLAB/Simulink с помощью блока «State-Space» следующим образом (рис. 3.3):
Рис. 3.3. Блок модели в пространстве состояний и задание параметров
Строка «Initial conditions» в окне задания параметров модели (см. рис. 3.3) позволяет задавать различные начальные условия, путем задания вектора начальных состояний x(0), откуда вектор НУ рассчи-
тывается из выражения y(0) x(0) C .
10