6 сем / ТАУ_ТР_А-01-20_Дашин
.pdfМИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МЭИ»
Кафедра управления и интеллектуальных технологий Типовой расчет по дисциплине
«ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»
АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Вариант 11
Группа: А-01-20
Выполнил: Дашин И.Н.
Проверила: Сидорова Е.Ю.
Москва 2023
1. Задание на выполнение расчёта
Исходными данными для исследования нелинейной системы являются структурная схема системы с заданными параметрами звеньев и характеристика нелинейного элемента.
f
(t)
0
x(t)
y(t)
( y)
W3
z(t)
( p)
W ( p) |
W |
( p) |
1 |
2 |
|
x(t)
Рис.1. Исходная структурная схема нелинейной системы.
Рис. 2. Нелинейный элемент релейного типа (двухпозиционное реле
сгистерезисом)
Врамках настоящей работы исследуется система при отсутствии
входного воздействия, т.е. |
f (t) 0 . |
Передаточные функции исходной системы заданы следующего вида:
W1 ( p) K1 |
; |
|
|
W2 ( p) |
|
K 2 |
; |
p 2 ap b |
|||
W3 ( p) pT0 ;
(1.1)
(1.2)
(1.3)
z =
( y)
– характеристика нелинейного элемента релейного типа
Параметры системы и нелинейного элемента:
№ |
a |
b |
1 |
2 |
0 |
Тип |
c |
h |
B |
|
|
|
|
|
|
НЭ |
|
|
|
11 |
1 |
0.64 |
3 |
5 |
0.2 |
3 |
5 |
8 |
5 |
h выбираем из условия h > c: берем из ближайшего по номеру варианта задания с нелинейным элементом вида 4, при котором соблюдается h> c=5. В данном случае ближайший подходящий вариант 4 с h=8.
2. Выполнение расчёта
2.1. Структурные преобразования исходной схемы (рис. 1.)
Объединим передаточные звенья 1( ) и 2( ) в звено 12( ), так как они соединены последовательно, перемножим их передаточные функции:
|
( ) = |
( ) |
= |
( ) ( ) = |
1 2 |
= |
15 |
|
(2.1) |
|
( ) |
2+ + |
2+1 +0.64 |
||||||||
12 |
|
1 |
2 |
|
|
|||||
Ветвь со звеном 3( ) и единичную обратную связь объединим в эквивалентное звено 30( ) в соответствии с правилом параллельного соединения:
30( ) = У(( )) = 3( ) − 1 = Т0 − 1 = 0.2 − 1
(2.2)
В результате получим такую структурную схему:
Рис. 3. Приведённая структура схема нелинейной системы
В соответствии с (2.1) и (2.2) запишем связь между переменными в операторной форме:
( 2 + + ) ( ) = ( ) |
|
(2.3) |
1 |
2 |
|
( ) = ( ) 0 − ( ) |
|
(2.4) |
Перейдём от операторной формы записи дифференциальных уравнений (2.1) и (2.2) к естественной форме с независимым аргументом t.
Подставляя в (2.3) и (2.4) заданные значения параметров и переходя от изображений к оригиналам, получим дифференциальные уравнения следующего вида:
′′( ) + ′( ) + 0.64 ( ) = 15 ( ) |
(2.5) |
( ) = 0.2 ′( ) − ( ) |
(2.6) |
Уравнения (2.5) и (2.6) и уравнение нелинейного элемента:
5, > 5 |
|
|
+5, −5 ≤ ≤ 5 |
( = +5) |
|
( ) = {−5, −5 ≤ ≤ 5 |
( = −5) |
(2.7) |
−5, < −5
полностью описывают динамику системы.
Подставим выражение (2.7) для ( ) и (2.6) для ( ) в (2.5):
′′( ) + ′( ) + 0.64 ( ) = |
|
||
+75, |
0.2 ′( ) − ( ) > 5 |
|
|
+75, −5 ≤ 0.2 ′( ) − ( ) ≤ 5 ( = +5) |
(2.8) |
||
−75, −5 ≤ 0.2 ′( ) − ( ) ≤ 5 ( = −5) |
|||
|
|||
{ −75, |
0.2 ′( ) − ( ) < −5 |
|
|
В результате получаются два типа дифференциальных уравнений с одинаковыми левыми частями и отличающихся значениями постоянных функций в правой части (75; -75). Отсюда следует, что на фазовой плоскости будут иметь место траектории двух типов. Неравенства указывают, в какой области фазовой плоскости справедливы решения (интегральные кривые) того или иного уравнения.
В качестве координат фазовой плоскости примем переменные ( , = ′). Тогда система (2.8) представиться через фазовые переменные следующим образом:
|
|
+75, |
0.2 − > 5 |
|
|
|
+75, −5 ≤ 0.2 − ≤ 5 ( += 5) |
|
|
|
|
+ + 0.64 = {−75, −5 ≤ 0.2 − ≤ 5 ( = −5) |
(2.9) |
|
|
||||
|
|
−75, |
0.2 − < −5 |
|
Из неравенств (2.9) могут быть найдены полупрямые, являющиеся границами областей с различными типами фазовых траекторий:
= 5 + 25, |
> 0 |
|
{ = 5 − 25, |
< 0 |
(2.10) |
Определим первый тип фазовых траектории. Для этого подставим значение z = 5 в уравнение (2.5) и запишем последнее в следующем виде:
′′( ) + ′( ) + 0.64 ( ( ) − |
15 5 |
) = 0 |
(2.11) |
|
0.64 |
||||
|
|
|
||
Введём новую переменную: |
|
|
|
|
̃( ) = ( ) − 117.2 |
|
|
(2.12) |
Очевидно, что ̃′( ) = ′( ). Тогда уравнение (2.11) перепишется следующим образом:
̃′′( ) + ̃′( ) + 0.64̃( ) = 0 |
(2.13) |
Для определения характера фазовых траекторий воспользуемся справочным материалом из методички (рис. 3.1. Виды фазовых траекторий) и представим уравнение (2.13) в виде:
̃′′( ) + 2 0 ̃′( ) + 02 ̃( ) = 0 |
(2.14) |
находим, что 0 = 0.8 и = 0.625. Таким образом, фазовые траектории соответствуют рис. 3.1 (в) методического указания - «Устойчивый фокус»
Рис. 4. Фазовые траектории типа «Устойчивый фокус»
Из (2.12) следует, что ̃( ) = ( ) + 117.2, это значит, что фазовый портрет уравнения (2.11) будет отличаться от портрета (2.13) смещением всей картины по оси на величину (+117.2).
Второй тип фазовых траекторий отображается по аналогии с первым. Отличие заключается в смещении начала координат фазового портрета по оси на величину (-117.2).
Качественный фазовый портрет нелинейной системы представлен на (рис. 5), из него следуют, что точки = 117.2; = 0 и = −117.2; = 0 соответствуют устойчивому положению равновесия.
Рис. 5. Фазовый портрет нелинейной системы
2.2. Зададим модель системы (рис. 1.) в ППП MATLAB/Simulink с реализацией моделей звеньев в пространстве состояний.
Преобразуем исходную структурную к виду (рис. 6.), объединив при этом звенья 2( ) и 3( ) в звено ̃3( ) = 3( ) 2( ) =
0 2 |
= |
|
, получим структурную схему вида |
2+ + |
|
||
|
2+1 +0.64 |
||
Рис. 6. Преобразованная структурная схема исходной системы
В результате можно задать передаточные функции 2( ) и ̃3( ) с помощью модели пространства состояний.
Для 2( )
>>g = [0 5];
>>h = [1 1 0.64];
>> [A,B,C,D] = tf2ss(g,h) A =
-1.0000 -0.6400 1.0000 0
B=
1
0
C=
0 5
D=
0
Для ̃3( )
>>g = [1 0];
>>h = [1 1 0.64];
>>[A,B,C,D] = tf2ss(g,h) A =
-1.0000 -0.6400
1.0000 0
B=
C=
10
D=
0
Рис. 7. Модель нелинейной системы в MATLAB/Simulink
где, NE3 – блок подсистемы, задающий НЭ3;
W1 – блок усиления, реализующий звено с передаточной функцией
1( );
W2 – блок, реализующий звено с передаточной функцией 2( ) в пространстве состояний;
W3v – блок, реализующий звено с передаточной функцией ̃3( ) в пространстве состояний;
XX’ Graph – блок для построения фазового портера;
out.v, out.x – блоки, позволяющие передавать и хранить в переменных значения точек v и х для построения фазового портрета;
Scope x(t) – блок для построения графика процесса x(t).
Рис. 8. Модель НЭ 3 с отображением заданных параметров для объекта Relay
Рис. 9. Задание параметров блоков W2, W3v