Добавил:

Vor_fleshek Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Электротехника и Электроника

Файл:

Лекция 2ЭТ с решением зад

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.01.2024

Размер:

624.12 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Лекция 2

Топологические уравнения и матрицы электрических цепей. Граф электрической цепи и его основные подграфы

Граф электрической цепи – условное изображение электрической цепи, при котором каждая ветвь заменяется отрезком линии.

Ветвь – часть цепи между двумя узлами.

При построении графа участки с ЭДС закорачиваются, а участки с источниками тока разрываются.

n		6
в
n	у	4
	у

Основные подграфы

Дерево графов – часть графа, включающая в себя все узлы, но ни одного замкнутого контура.

несколько вариантов деревьев

Контур – часть графа, составляющая замкнутую последовательность ветвей.

Ветвь связи – ветвь, которая дополняет дерево до исходного графа.

nд ny 1 - число ветвей дерева,

n	n	n	п	(n
вс	в	д	в	у

Главный контур –

связи.

рис.1

1)	– число ветвей связи.

контур, состоящий из ветвей дерева и только одной ветви

I главный контур: 4 - 5 – 1

II главный контур: 2 - 6 – 5

III главный контур: 3 - 4 – 6

Топологические матрицы

1). Узловая матрица.

					1	2	n
							в
			1
			2
A	[a	]	2
A	[a	]
H	ij
H	ij

			ny
aij	0, если			j я ветвь не присоединена к i у узлу.
aij	1, если			j я ветвь присоединена к i у узлу и направлена от узла.
aij	1,	если			j я ветвь присоединена к i у и направлена к узлу.

Применительно к рисунку 1.

		1	2	3	4	5	6
	1	0	0	0	1	1	1
A	2	0	1	1	0	0	1
A
Н	3	1	1	0	0	1	0
	3	1	1	0	0	1	0
	0	1	0	1	1	0	0

Матрица неопределенная, так как сумма элементов в любом столбце равна нулю.

	i1
iв	i	AН iв	0 – 1-й закон Кирхгофа в матричном виде.
iв	2	AН iв	0 – 1-й закон Кирхгофа в матричном виде.


	inв

Система алгебраических уравнений, соответствующая матричному, является системой зависимых уравнений, так как любое уравнение в ней является комбинацией других уравнений.

Для получения ЛНУ один из узлов схемы принимается за базовый, то есть его потенциал принимают равным нулю. Тогда узловая матрица составляется для всех узлов, кроме базового.

Обозначение:

y 1n

i	в	0
	в

1	2	n
		в

– 1-й закон Кирхгофа для ЛНУ.

Определим связь между напряжениями ветвей и потенциалом узлов.

U	в
U
U

U


U

U


U

U

U
1

2).

	U			1
				1							1
								в
								в



	U
			nв								ny 1
			nв								ny 1
1		0			0	-1
				0	-1	1
2				0	-1	1
2		0			1	0
3		0			1	0			1
									1

										2
4		-1			0	0

					0					3
			1		0	-1
5
5
			1		-1	0
6

		3			0		3

Контурная матрица.

U		A
	в	T

			1 2	nв
	I
B [bij ] II
B [bij ] II


	nГк
bij	0, если	j я ветвь не входит в i й главный контур.
bij	1, если	j я ветвь входит в i й контур и её направление совпадает с обходом
i -го контура.
bij	1, если		j я ветвь входит в i й контур и её направление не совпадает с
обходом i -го контура.

nГК пВС пВ (пУ 1)

	1	2	3	4	5	6
I	1	0	0	1	1	0
B II	0	1	0	0	1	1
III 0		0	1	1	0	1

Матричная запись 2-о закона Кирхгофа:

B U	в	0
	в

3). Матрицы сопротивлений и проводимости ветвей.

Квадратная диагональная матрица на главной диагонали которой стоят элементы, соответствующие сопротивлению (проводимости) ветвей.

r1		0	g1		0
	r2			g2
Rв	r2		Gв	g2


	0	rnв		0	gnв

Матрица-столбец напряжений на резисторе.

	Ur1
U в	Ur1
r
	Ur в
	n

U			R		i
		в		в		в
		r
i	в		в	U		в
i		= G		U		r
						r

Закон Ома для обобщенной ветви

U	rk	r	i
	rk	k	rk
U	e	e
	e	k

Запишем 1-й закон Кирхгофа для узла.

ik Jk irk 0 ik irk Jk irk gk Urk , Urk Uk ek

i
	k

U

J	в

iв

g		k	(U		k	e ) J			k
							k
k	r (i					J	k	) e
		k		k				k

	J		1				e
			1					1
	J							e
	J							e
			2	e	в			2
				e

	J							e
	J	nв						e
		nв						nв
Gв U в eв							J		в

в Rв iв J						в	eв
в Rв iв J						в	eв

Полная система уравнений цепи

A iв

B U
U	в

2 n
		в

0 ny 1 – 1-й закон Кирхгофа

в0 nв ny 1 – 2-й закон Кирхгофа

R	в	i	в	R	в	J	в	e	в	nв – закон Ома

- количество неизвестных (токи и напряжения).

Уравнения Кирхгофа с записью источников в явном виде

A iв B U

0		,
в	0

i	в	i	в
	в		в
			r

U	в	U	в
	в		в
			r

в e


	в	J		в	0		в	A J	в	– 1-й закон Кирхгофа
A ir		J			0		A ir	A J		– 1-й закон Кирхгофа
в		в	B e			в	– 2-й закон Кирхгофа
	B Ur		B e				– 2-й закон Кирхгофа

Пример 1.

Составить граф цепи, выбрать дерево и главные контура.

Составить матрицы	A, B, R	в	.

Записать уравнения Кирхгофа и закон Ома в матричной форме.

Узел 1 – базовый 1 0

Дерево – 2 и 4 ветви.

I главный контур – 1-2

II главный контур – 2-3-4 III главный контур – 4-5

A 2 3

			0
			0
J		J		3
				3
			0
			0
A i	в			1
A i

				0

A J	в	1
A J

		0

1	2	3	4		5
1	1	1		0	0
0	0	1		1	1

				i
				1
				i
i				2
i	в			i
	в
				3
				i
				4
				i
				5
								i
								1
1			1		0	0		i			i	i		i
1			1		0	0		2			i	i		i
								2
0		1			1	1	i				1		2	3
											1		2	3
								3			i	i		i
								3
								i			3		4	5
								i
								4
								i
								5
									0
1			1		0	0			0		J
1			1		0	0			J	3	J		3
									J	3			3
0			1		1	1			0		J3
									0
									0

A i		в
i	i
1			2
i	i
3			4

A J в

– 1-й закон Кирхгофа в явном виде

J	3

J		3

Контурная матрица:

		1	2	3	4	5
B	I	1	1	0		0	0
B	II	0	1	1		1	0
	II	0	1	1		1	0
	III	0	0	0	1		1

U1		E1
U2		0
U в U	3	Eв 0

U4		E4
U5		0

B U в B Eв				– 2-й закон Кирхгофа.
							U1

			1 0		0	0	U2		U1 U2 E1
		1
B U	в	0	1	1	1	0	U3		2 U3 U4 E4
								U
		0	0	0	1	1	U4		U4 U5 E4

							U5

		R	0	0	0	0
		1
		0	R	0	0	0
			2
R	в	0	0	R	0	0
R		0	0	R	0	0
				3
		0	0	0	R	0
					4
		0	0	0	0	R
						5

в U r

U U U

R1 R2 R3 R4 R5

U		R	i		R	(i		J		) E
	в	в		в	в		в		в		в
						r

– закон Ома.

Пример 2

Самостоятельно выполнить то же, что и в примере 1.

Основные принципы и теоремы теории электрических цепей

I. Принцип суперпозиции (метод наложения)

Ток (напряжение) в любой ветви от действия нескольких источников в электрической цепи равно сумме токов (напряжений) в этой ветви, от действия каждого из этих источников в отдельности.

Принцип справедлив только для линейных электрических цепей, которые описываются линейными уравнениями.

A I

A J

A I в

A J в

J в

B E

B Ur

B E

B R

	A 1	A		0	J в		J в
	в		0			в	Irв H	в	, где
B R			0	B	E		E

		A		1	A
H
			в			0
	B R

0 B

В H

число строк

nв , число столбцов

2n	в

		J	1
			1
r1
	H	J	n
	H

rj		E
		E
			1
rnв		E
		E		rnв
				rnв

Запись тока и напряжения ветви по методу наложения:

... g

j 2 2

... g

где k

I ,

j 2

...

j 2

r I

... k

E k

...

j 2

Определение коэффициентов метода наложения

k	i	I	rj
k

	ji	J
		J		i	J	0
				i	J	0
					i

– коэффициент передачи по току из

-й ветви в

-ю ветвь при

условии, что все источники, кроме

J i , равны нулю.

g ji	I	rj				– взаимная проводимость между i -й и	j
		rj
	E
	E		i	E	0
			i	E	0
				i
все источники, кроме Ei , равны нулю.
g jj	I	rj				– собственная (входная) проводимость
		rj
	E
	E		j	E		0
			j		j

-й ветвью, при условии, что

j -й ветви, при условии, что все

источники, кроме

, равны нулю.

Как изображать источники, равные нулю:

E 0

J 0

Способ расчёта цепи с помощью метода наложения

Исключаются все источники электрической цепи, кроме одного, определяется ток от действия этого источника. Исключают следующие источники, рассчитывают следующие составляющие тока и так далее.

		n ист
Irj , Irj ,..., Irj

Irj	Irj	Irj	n ист
			... Irj

Замечания:

1). gij g ji - принцип взаимности, rij rji .

2). Коэффициенты rij , rjj - взаимное, собственное сопротивление, а также рассчитываются абсолютно аналогично.

	k	u
	k	ji
		ji

Пример 3

1) Рисуем схему при действии E1:

	R	R
	R	4
		4
	э	R
		R
		5

	'	E					R			24
I	'						2
I	3
	3	1	R	R	R (R R ) R (R					R )
			R	R	R (R R ) R (R					R )
			1	2	1	3	э	2	3	э

		I '				R	6	1
g		3				2			См
g	31								См
	31	E1 E 0,E 0, J					3 36 18
		E1 E 0,E 0, J			0		3 36 18
		1	2	5

Дано: E1=24 B E3=12 B J5=2 A

R1=R2=6 Ом R3= 3 Ом R4=12 Ом R5=4 Ом

Найти: I3, g31, g33,

R	12 4	3 Ом
5
R	12 4
R	12 4
5

	6		4
	6 6 6 6 6 6		3

k35i

1,33 А

2) Рисуем схему при действии E3:

g33 - входная проводимость относительно Е3 =>

g		1
g	33	R
	33
			0,J	0
		33 E	0,J	0
		1	5
R33 R3 R4 \|\| R5 R1 \|\| R2 3 3 3 9 Ом

g33 1 1 См R33 9

I3" g33 E3 19 12 43 А

3) Рисуем схему при действии источника J5:

R	R	\|\| R	3 Ом
э1	4	5
R	R	\|\| R	3 Ом
э2	1	2

I	'''	J			R		2	3	2	А
I		J			э1		2			А
					э1
	3		5	R	R	R		3 3 3	3
				R	R	R		3 3 3	3
				э1	3	э2

'''

э1

- коэффициент передачи по току

R R

э1

э2

I		I	'	I	''	I	'''	4	4	2	2 А - ток ветви

	3		3		3		3	3	3	3

I		g	E g		E k		i	J
							i
	3	31	1	33	3	35			5

Пример 4 ( решить самостоятельно)

Дано:

E1=10 B

R1=6 Ом

R2=4 Ом J2=2 A

Найти: I2

II. Принцип компенсации

Токи во всех ветвях схемы не изменятся, если j -ю ветвь с известным током I j и напряжением U j заменить или источником ЭДС E U j , или источником тока

J I j . При этом величина источников становится зависимой от величины тока в ветви.

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Электротехника и Электроника

#
26.01.2024335.52 Кб0КМ3_Дашин_А-02-20.pdf
#
26.01.2024489.83 Кб0КМ_Дашин_И._Н..pdf
#
26.01.2024352.6 Кб0кр_13в_Дашин.pdf
#
26.01.2024519.79 Кб0КР_3_А-02-20_Дашин_И.Н..pdf
#
26.01.2024662.51 Кб0Лекция 1ЭТ.pdf
#
26.01.2024624.12 Кб0Лекция 2ЭТ с решением зад.pdf
#
26.01.2024548.02 Кб0Лекция 3 ЭТ с решением задач.pdf
#
26.01.2024627.22 Кб0Лекция 4ЭТ с решением задач.pdf
#
26.01.2024729.19 Кб0Лекция 5 ЭТ c решением задач.pdf
#
26.01.2024829.62 Кб0Лекция 6 ЭТ с решением задач (2).pdf
#
26.01.2024918.26 Кб0Лекция 7 ЭТ.pdf

				i
				1
				i
i				2
i	в			i
	в
				3
				i
				4
				i
				5
								i
								1
1			1		0	0		i			i	i		i
1			1		0	0		2			i	i		i
								2
0		1			1	1	i				1		2	3
											1		2	3
								3			i	i		i
								3
								i			3		4	5
								i
								4
								i
								5
									0
1			1		0	0			0		J
1			1		0	0			J	3	J		3
									J	3			3
0			1		1	1			0		J3
									0
									0

				i
				1
				i
i				2
i	в			i
	в
				3
				i
				4
				i
				5
								i
								1
1			1		0	0		i			i	i		i
1			1		0	0		2			i	i		i
								2
0		1			1	1	i				1		2	3
											1		2	3
								3			i	i		i
								3
								i			3		4	5
								i
								4
								i
								5
									0
1			1		0	0			0		J
1			1		0	0			J	3	J		3
									J	3			3
0			1		1	1			0		J3
									0
									0

				i
				1
				i
i				2
i	в			i
	в
				3
				i
				4
				i
				5
								i
								1
1			1		0	0		i			i	i		i
1			1		0	0		2			i	i		i
								2
0		1			1	1	i				1		2	3
											1		2	3
								3			i	i		i
								3
								i			3		4	5
								i
								4
								i
								5
									0
1			1		0	0			0		J
1			1		0	0			J	3	J		3
									J	3			3
0			1		1	1			0		J3
									0
									0