Добавил:

Vor_fleshek Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Электротехника и Электроника

Файл:

Лекция 4ЭТ с решением задач

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.01.2024

Размер:

627.22 Кб

Скачать

☆

Лекция 4

Анализ электрических цепей в частотной области. Синусоидальные источники. Установившиеся режимы

e t U

max

sin

t U

sin t

uC (t) uL (t) ur (t) e(t)

(2-й закон Кирхгофа)

(t) r i(t)

(t) L

(t)

i(t)dt

r i(t)

i(t)dt e(t)

Продифференцируем:

de(t)

i(t)

Разделим обе части на

L .

Получим:

r di

1 de(t)

i(t)

Решать очень сложно.

L dt

	i C	du
	i C	C
		C
		dt

Метод комплексных амплитуд

(обозначение в электротехнике «мнимой единицы»)

cos j sin –

формула Эйлера,

cos

sin

2 j

i(t) Im cos t

j t

Im e

j t

Im e

j t

I m

j t

I m e

Re Im

i(t) Re I

e j t

e j

– комплексная амплитуда тока

– модуль комплексной амплитуды

– фаза

*
I m	– комплексно-сопряженная амплитуда тока.
	*			2
I m	I m	I		2	I
					2
			m		m

Если во временной области i(t) Im cos t , то в частотной области этому току

соответствует I	m	I	m	e j , i(t)	I	m	. (где значок эквивалентен значку
	m		m			m
соответствия).

I		I		e		j	I		cos jI		sin a jb
	m		m					m		m

a Re Im					, b Im Im


1.	2.		3.
Z a jb z e		j	z
Z a jb z e			z

1. алгебраическая форма записи комплексного числа

2. показательная форма записи

3. полярная форма записи

	z	a	2	b		2
	z	a		b
					b
					b
arctg
					a
					a

Представление электрических сигналов во временной и частотной областях

u(t)	– периодический сигнал во временной области.

Используя преобразования Фурье, его можно представить в частотной области:

u(t) u t T .

u t U0

Ucn cos n 1t Usn sin n 1t ,

n 1

где n 1, 2..., 1

– частота 1-й (основной) гармоники.

u(t)dt

(1) – среднее значение сигнала (постоянная составляющая)

Usn

u(t)sin n 1t

dt – амплитуда синусоидальной составляющей

Ucn

u(t) cos n 1t

dt – амплитуда косинусоидальной составляющей

u(t) U0

Umn sin n 1t 0n (2) ,

n 1

где Umn Usn2 Ucn2 – амплитуда n -й гармоники.

	arctg	Ucn	– (аргумент), начальная фаза n - й гармоники.
0n
	Usn

e(t) E

sin n t

n t

e(t) E U

sin t

sin

2 t

... U

sin n t

J t J

sin t

sin 2 t

... J

sin n t

Если источники представить в виде ряда Фурье, тогда для расчёта цепи может быть использован принцип суперпозиции, то есть необходимо рассчитывать каждую гармоническую составляющую в отдельности, так как частоты у них разные.

Комплексная форма ряда Фурье

n 1t 0n

{ с точностью до значения аргумента } =

u(t) U

Umn sin

j n t

Umn cos n 1t

0n U0

Umn

Umn e

0 n

jn t

U mn e

0 n

2 n1

где

Umn

–

комплексная амплитуда n - й гармоники.

–

комплексно-сопряженная амплитуда

- й гармоники.

U mn

u(t)

Umn

jn t

(3).

U U

e j 0 n

u(t)e jn 1t dt

Действующее значение периодической функции:

(t)dt

U U 2 Umn 2 0 n 2

u(t) Um sin t

U m

– связь между действующим и максимальным значением.

Модели двухполюсных элементов в частотной области

	1
u(t)	1	Umn	e	jn t
u(t)		Umn	e	1
				1
	2	n
		n
	1
i(t)	1	Imn e jn 1t
i(t)		Imn e jn 1t
	2 n

Резистивный элемент:

u(t)
Umn
U	mn

	2

r i(t)

r Imn

r	1		e
r	1	Imn	e	jn t
				1
	2	n
		n

, Un r In

Фазы напряжений и тока на резисторе совпадают.

n 1

U r I

Индуктивный элемент:

u(t) L				di	1
u(t) L				dt	2
				dt	2
U	mn		jn LI		mn
	mn			1	mn
Z	L	jn L jx				Ln
	L			1		Ln

индуктивности.

LI				jn	e
					jn t
					1
		mn		1
Z	L	I	mn
	L		mn

– комплексное сопротивление

xLn n 1L – модуль комплексного сопротивления индуктивности.

	n 1
xL L ,	ZL jxL – комплексные сопротивления на индуктивности

U Z	L	I
	L

Напряжение на индуктивности опережает ток на 90°.

Емкостной элемент:

i(t) C

jn t

Imn jn 1CUmn

jn C

Z	C
	C

1 jn 1C

	j	1
	j	n C
		n C
		1

jxc

	xc		1

			n 1C
			n 1C
	n
			1

– модуль комплексного сопротивления на конденсаторе.

U Z	I jx I
c	c

Напряжение на конденсаторе отстает от тока на 90°.

Z	c	jx
	c	c

	Z
	R
	j L
1	j	1
j C	j	C
j C		C

1 R

j 1

L j C

Y
x	L

	1		– комплексная проводимость
	Z		– комплексная проводимость
	Z
L
		1
		C
		C

Законы Кирхгофа на комплексной плоскости:

k Uk

0 – 1-й закон Кирхгофа,

0 – 2-й закон Кирхгофа

Пример 1.

Дано: r=10 Ом С=10-4 Ф

ω=103 рад/с u(t)=10sin(ωt-45°) B Найти: i(t), ir(t), ic(t) – ?

10 Ом

u(t)

10e

45 j

10 45

1 45 A

10 45

1 45 A

10 90

1 45 145

ir (t) 1 sin( t 45 ) A

iC (t) 1 sin( t 45 ) A

i(t) 2 sin t A

Пример 2.

Дано :

L 2 10 3 Гн

С 5 10 4 Ф

r 2 Ом

u(t) 100 2 sin103 t B

Найти: iL(t) – ?

2 Ом

L 10

2 10

2 Ом

510

R( jx

)

2 j

4 j

2 j

4 j(2 2 j)

вх

2 2 j

1 2

j 1

1 j

2 45 Ом

	Em
IL		100 2		100 45 А
	Zвх

m			2 45

iL (t) 100sin(103t 45 ) A - мгновенное значение тока на индуктивности

Комплексный (символический) метод расчёта электрических цепей синусоидального тока и напряжения

Во временной области

e(t) E		m		sin(t )
		m
J (t) J			m	sin(t )
			m
u(t) U			m	sin(t		)
			m		u
i(t) I	m		sin(t		)
	m			i

u r i(t)

u		(t) L	di
u	L	(t) L	dt
	L

	(t) C	du
i	(t) C	C
C		dt
		dt

k	(t) 0
i	(t) 0
k
uk (t) 0
k

В частотной области

E E e

, E

J J e

U U e

, U

I I e

U r I

U j LI Z	I jx	I
L	L

U		j	1	I Z		I jx	I
	C				C
			C			C

Ik	0
k
k	0
U	0
k

Комплексное сопротивление

z UI (модуль комплексного сопротивления)

u i (аргумент комплексного сопротивления)

R x

z e	j	z cos j z sin R jx

z cos Re Z – активное сопротивление цепи
z sin Im Z – реактивное сопротивление цепи

Последовательные схемы замещения двухполюсников

Если x 0

Активно-индуктивное сопротивление

Если x 0

Активно-емкостное сопротивление.

Комплексная проводимость

R jx

g jb

R jx

b 0

Пример 3

Дано:

e(t) 10 sin10	3	t B

i(t) 0,1 sin(10		3	t 30) A

Найти: Zвх, Yвх, параметры параллельной и последовательной схем замещения - ?

Em 10 0 B

0,1 30 A

100 30

100 cos 30

j 100sin 30

100

j100

вх

0,1 30

503 j50 86,6 50 j 100 30 Ом

Последовательная схема:

86,6 50j

Комплексная проводимость:

Y		I	m	0,1 30	0,01 30	0,01(	3	j	1	) 0,0087	j0,005 См
Y					0,01 30	0,01(		j		) 0,0087	j0,005 См

вх		E		10			2		2
		E		10			2		2
			m
Y	g jb
вх

Параллельная схема:

-0,005j 0,0087

То же самое выражение для Yвх можно получить из перехода от последовательной схемы к параллельной:

Y	1		1	R jx						R				jx		86, 6				50				j 0,0087	0,005 j См
Y					2		2		2		2		2		2		2		2		2		2	j 0,0087	0,005 j См
вх	Z		R jx	R	2	x	2	R	2	x	2	R	2	x	2	86,6	2	50	2	86,6	2	50	2
	Z	вх	R jx	R		x		R		x		R		x		86,6		50		86,6		50
		вх

Основные теоремы и принципы для расчёта цепей синусоидального тока

A I	в	0,

B U в 0 - законы Кирхгофа в комплексной форме

Метод наложения (принцип суперпозиции):

I j Yjk Ek k Ijk Jk

k	k
U j Rjk Jk kUjk Ek
k	k

Метод эквивалентного генератора (теорема об активном двухполюснике):

Последовательная схема де Винена:

Параллельная схема замещения Нортона

Y			1
Y
вх		Z
		Z		вх
				вх
J		I			U		p
J		I

	k		k		Z
					Z	вх
						вх

Соседние файлы в предмете Электротехника и Электроника

#
26.01.2024352.6 Кб0кр_13в_Дашин.pdf
#
26.01.2024519.79 Кб0КР_3_А-02-20_Дашин_И.Н..pdf
#
26.01.2024662.51 Кб0Лекция 1ЭТ.pdf
#
26.01.2024624.12 Кб0Лекция 2ЭТ с решением зад.pdf
#
26.01.2024548.02 Кб0Лекция 3 ЭТ с решением задач.pdf
#
26.01.2024627.22 Кб0Лекция 4ЭТ с решением задач.pdf
#
26.01.2024729.19 Кб0Лекция 5 ЭТ c решением задач.pdf
#
26.01.2024829.62 Кб0Лекция 6 ЭТ с решением задач (2).pdf
#
26.01.2024918.26 Кб0Лекция 7 ЭТ.pdf
#
26.01.2024616.34 Кб0Лекция 8 ЭТ.pdf
#
26.01.2024693.57 Кб0Лекция 9 ЭТ c прав. графиками (1).pdf