Добавил:

Vor_fleshek Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Электротехника и Электроника

Файл:

Лекция 5 ЭТ c решением задач

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.01.2024

Размер:

729.19 Кб

Скачать

☆

Лекция 5

УЗЛОВЫЕ УРАВНЕНИЯ

Y y J y

Y y A Y в AT

		y
		1
Y	в		y	2
Y

						y	nв
J		A J		A Y			nв
J	y	A J	в	A Y	в	E		в
	y		в		в			в

Расширенный метод узловых потенциалов (расширенные узловые уравнения)

Применяется для снятия ограничений со схем, в которых присутствуют ветви с Z 0 . Вводится понятие Y - ветви и Z - ветви.

I	(U	)
y	y

U	(I	)
z	z

Например, ветвь с источником тока – ветвь.

- ветвь, а ветвь с источником ЭДС –

В качестве переменных в этом методе используются потенциалы узлов и токи

Z ветвей. При записи расширенных узловых уравнений все ветви схемы делятся
на Y - ветви и		Z	- ветви. Присвоим первые номера Y - ветвям.
Тогда:
A A	A	I	в	I	Y
A A	A	I

Y	Z			I
				I	Z
					Z

1 ny

n	n
y 1	в

Z - матрица сопротивлений-

-ветвей.

Тогда расширенная запись узлового уравнения выглядит так:

Y	y	A			J
Y		A			J
		Z
		Z
	T	Z	I		E
A		Z	I	Z	E
	Z			Z

Пример 1:

Y
в
Z	в

1 4
5, 6

1
	2

	3

	I	I
	I	I
		I

5 6

J	y	J
J		0

		J

E		E
E		5
		5
	z	E
		E
		6

	1	2	3	4	5	6
1	1	0	0	1	0	1
A 2 1		1	0	0	1	0
3	0	1	1	0	0	1

Z	0	0
	0	0

			y			1											2												3						5	6
1							y									y													0						0	1				J
1							y									y													0						0	1
				1							4					y				1
				1							4									1
2					y												y											y							1	0		1				4
2					y												y											y							1	0				0
								1								1						2			y						2									0
								1								1						2									2
3							0									y													y						0	1			2
3							0									y													y						0	1				J
																				2								2				3								J
																				2								2				3
																																							3			3
5							0										1												0						0	0	I	5		E	5
																																						5			5

6						1												0											1						0	0	I	6		E	6
6						1												0											1						0	0		6			6

	y			y				4				y							2		I				6	J						4
		1						4					1				1		2						6							4
	y														y									y						I					0
	y												y		y		2				2			y					3	I			5		0
		1				1							1				2				2					2			3				5
	y							y								y								I				J
	y						2	y						2		y		3					3	I			6	J						3
				2			2							2				3					3				6							3
					E
				2	E
				2						5
												E
												E
		1							3							6

Первые три уравнения в системе - обычные узловые уравнения с учетом

четвертое и пятое уравнение - компонентные уравнения	Z -ветвей. Пять
уравнений вместе - расширенные узловые уравнения.

ветвей,

Пример 2

Дано:

R1=R3=30 Ом

E 60 B

X2=10 Ом Х4=10 Ом Х5=6 Ом

(используя метод эквивалентного генератора)

I5 U p

Zвх jx5

Найдем Zвх:

= >

R3 jх2

R1 jx4

30 10 j

9000 j 3000 9000 j 3000 6 Ом

вх

R3 jx2

R3 jx4

30 10 j

900 100

Найдем Up:

1,8 0,6 j A

30 10 j

1,8 0,6 j A

jx4

30 10 j

R I

( jx

)

U p (1,8 0,6 j)30 (1,8 0,6 j)10 j 54 18 j 18 j 6 48 B

U p

288 288 j

4 4 j 4 2 45 A

Zвх jx5

6 6 j

36 36

Пример 3

Дано:

U 10030 B

r1=5 Ом r2=25 Ом L=0,159 Гн С=127 мкФ

ω=314 рад/c

Найти: Uv - ? Построить векторную диаграмму.

x	L	L 314 0,159 50 Ом
	L

x	1	1			25 Ом
				6
C	C	314 127	10

100 30

2 54,3

1,176 1,62 j A

r jx

5 50 j

50 84,3

100 30

2,83e

j 75

2,83 75 0,732 2,734 j A

25 25 j

35,36 45

r 2 54,3 5 25 2,83 75

10cos( 54,3 ) 10 j sin( 54,3 ) 25 2,83cos(75 )

25 2,83sin(75 ) 5,84 8,12 j 18,19 68,37 j 12,35 76, 49 j 77, 48 260,82 B

Вольтметр покажет

U	V

77,48 В

I I	I	2	1,176 1,618 j 0,732 2,734 j 1,908 1,116 j 2,21 30,3 A
1		2

Мощность в цепи синусоидального тока

p t u t i t – мгновенная мощность

u(t) Um sin t u i(t) Im sin t i

p t u i U

sin t

cos

cos 2 t

P - активная мощность, средняя величина мгновенной мощности за период.

p t dt

cos u i dt

cos 2t u

i dt

cos

P Q



U U



I I



cos sin

–активная мощность [Вт]

–реактивная мощность [ВАР]

*		Ue j u Ie j i U Ie j u i UI e j S e j [ВА] – полная комплексная
S U I
мощность
S U I cos j U I sin P jQ

S P2		Q2 – полная мощность

Z r

Z 0 Z 0

j 0 ,
j L		,
j	1
j	C
	C

P R I

P 0 ,

, P 0,

2	RI
	2
Q LI			2	0
Q LI				0
Q		1		I	2	0
Q				I	2	0
		C

Баланс мощностей цепи синусоидального тока

k				k
		u		i 0,
k
A I			в	0,
A I				0,
U				A
	в			T

U в	T	iв 0
U в		iв 0

A I в 0

	T	*
U в	T	I в
U в		I в

	T	*
U в	T	I в
U в		I в

		*		0
	T	A I	в	0
	T		в
		*
Uk Ik			0		,
k


S	k

U в			T


U			*
	k	I		k

*	0
I	0
в

	k

– теорема Тевенена.

S	k	0
	k

– сумма комплексных мощностей всех ветвей схемы равна нулю.

(1).

Zk Izk

(2).

(1)

(2)

Uk Ik

Zk Izk Izk

Ek Izk

Uk Jk

–

мощность, которая потребляется.

Izk

–

полная комплексная мощность нагрузки.

–

комплексная мощность источников ЭДС.

–

комплексная мощность источников тока.

P jQ

– сумма мощностей, потребляемых цепью равна сумме

мощностей, отдаваемых источниками.

Передача мощности от активного двухполюсника к пассивному двухполюснику

Z	H	R	jx	H
	H	H		H

SH RH jxH I 2 RH I 2 jxH I 2 PH jQH .

I	Ep
		.
	Zвх ZH

Zвх

вх

При каком значении сопротивления активная мощность?



Z	H

		E	2
		E	p
			p
R	R	j x		x		2
R	R	j x		x	H
вх	H		вх		H

в нём будет выделяться максимальная

1.	xH xвх , Q 0 ,	xH xвх 0 ,
2.	Rвх Rн при (xвх	xн ) 0

В случаях 1 и 2 у нас выделяется

		E	2		E	2
P	R	E	p		E	p
P	R

H max	вх	2R		2	4R
					4R
						вх
		вх

PH max

Z	вх	R
	вх	H

jx	H

		*
Z	вх	Z H
	вх

Пример 4:

u t 10 sin104 t												[В]
10							4		рад/с
10									рад/с
R 10 Ом
L 10						3			Гн
L 10									Гн
С 0, 5 10										5	Ф
С 0, 5 10											Ф

Zвх		,	i t ,							S	– ?
U			10						, В
U						2			, В
						2
Z		R j L j										1	10 j 10		4	10	3
															4		3
	вх											C
	вх

10
10					2			45 Ом
I			U								10			0,5 45				А
I		Z								2	10	2 45		0,5 45				А
		Z		вх						2	10	2 45
				вх

j	10	4

1		10 10 j 20 j
0, 5 10	5	10 10 j 20 j
	5

i t 0,5			2 sin t 45

10 10 j

SИ U

P	RI
R
Q x		I
	L

2 2

I 10			0, 5 45 5 45
*

2			2

10 0,52 2,5 Вт

xC I 2 0, 25 10 0, 25 20 2,5

2, 5 2, 5 j

ВАР

P	2, 5
И

Вт, QИ 2, 5 ВАР

Соседние файлы в предмете Электротехника и Электроника

#
26.01.2024519.79 Кб0КР_3_А-02-20_Дашин_И.Н..pdf
#
26.01.2024662.51 Кб0Лекция 1ЭТ.pdf
#
26.01.2024624.12 Кб0Лекция 2ЭТ с решением зад.pdf
#
26.01.2024548.02 Кб0Лекция 3 ЭТ с решением задач.pdf
#
26.01.2024627.22 Кб0Лекция 4ЭТ с решением задач.pdf
#
26.01.2024729.19 Кб0Лекция 5 ЭТ c решением задач.pdf
#
26.01.2024829.62 Кб0Лекция 6 ЭТ с решением задач (2).pdf
#
26.01.2024918.26 Кб0Лекция 7 ЭТ.pdf
#
26.01.2024616.34 Кб0Лекция 8 ЭТ.pdf
#
26.01.2024693.57 Кб0Лекция 9 ЭТ c прав. графиками (1).pdf
#
26.01.2024212.24 Кб0ЛР4_Дашин.docx

			y			1											2												3						5	6
1							y									y													0						0	1				J
1							y									y													0						0	1
				1							4					y				1
				1							4									1
2					y												y											y							1	0		1				4
2					y												y											y							1	0				0
								1								1						2			y						2									0
								1								1						2									2
3							0									y													y						0	1			2
3							0									y													y						0	1				J
																				2								2				3								J
																				2								2				3
																																							3			3
5							0										1												0						0	0	I	5		E	5
																																						5			5

6						1												0											1						0	0	I	6		E	6
6						1												0											1						0	0		6			6

	y			y				4				y							2		I				6	J						4
		1						4					1				1		2						6							4
	y														y									y						I					0
	y												y		y		2				2			y					3	I			5		0
		1				1							1				2				2					2			3				5
	y							y								y								I				J
	y						2	y						2		y		3					3	I			6	J						3
				2			2							2				3					3				6							3
					E
				2	E
				2						5
												E
												E
		1							3							6

			y			1											2												3						5	6
1							y									y													0						0	1				J
1							y									y													0						0	1
				1							4					y				1
				1							4									1
2					y												y											y							1	0		1				4
2					y												y											y							1	0				0
								1								1						2			y						2									0
								1								1						2									2
3							0									y													y						0	1			2
3							0									y													y						0	1				J
																				2								2				3								J
																				2								2				3
																																							3			3
5							0										1												0						0	0	I	5		E	5
																																						5			5

6						1												0											1						0	0	I	6		E	6
6						1												0											1						0	0		6			6

	y			y				4				y							2		I				6	J						4
		1						4					1				1		2						6							4
	y														y									y						I					0
	y												y		y		2				2			y					3	I			5		0
		1				1							1				2				2					2			3				5
	y							y								y								I				J
	y						2	y						2		y		3					3	I			6	J						3
				2			2							2				3					3				6							3
					E
				2	E
				2						5
												E
												E
		1							3							6

			y			1											2												3						5	6
1							y									y													0						0	1				J
1							y									y													0						0	1
				1							4					y				1
				1							4									1
2					y												y											y							1	0		1				4
2					y												y											y							1	0				0
								1								1						2			y						2									0
								1								1						2									2
3							0									y													y						0	1			2
3							0									y													y						0	1				J
																				2								2				3								J
																				2								2				3
																																							3			3
5							0										1												0						0	0	I	5		E	5
																																						5			5

6						1												0											1						0	0	I	6		E	6
6						1												0											1						0	0		6			6

	y			y				4				y							2		I				6	J						4
		1						4					1				1		2						6							4
	y														y									y						I					0
	y												y		y		2				2			y					3	I			5		0
		1				1							1				2				2					2			3				5
	y							y								y								I				J
	y						2	y						2		y		3					3	I			6	J						3
				2			2							2				3					3				6							3
					E
				2	E
				2						5
												E
												E
		1							3							6