898

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Пермская государственная сельскохозяйственная академия имени академика Д. Н. Прянишникова»

Н. В. Деменева

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Сборник задач

Пермь

ИПЦ «Прокростъ»

2016

УДК 512.64 ББК 22.143

Д 30

Рецензенты:

В. В. Аюпов − кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой высшей математики ФГБОУ ВО «Пермская государственная сельскохозяйственная академия им. академика Д.Н. Прянишникова»;

В. И. Карпова – кандидат педагогических наук, доцент, заведующая кафедрой математических и естественнонаучных дисциплин Пермского института железнодорожного транспорта – филиала ФГБОУ ВПО «Уральский государственный университет путей сообщения» в г. Перми.

Д 30 Деменева, Н. В.

Линейная алгебра : сборник задач / Н. В. Деменева; М-во с.-х. РФ, федеральное гос. бюджетное образов. учреждение высшего образования «Пермская гос. с.-х. акад. им. акад. Д.Н. Прянишникова». – Пермь : ИПЦ «Прокростъ», 2016. – 142 с.

ISBN 978-5-94279-293-0

Сборник содержит индивидуальные задания, направленные на формирование и проверку умения работать с матрицами, решать системы линейных алгебраических уравнений, работать с базисом в линейном пространстве.

Каждому заданию предшествует справочный материал теоретического характера и образец решения. Задания дифференцированы по трѐм уровням сложности.

Сборник задач предназначен для организации самостоятельной работы студентов направлений подготовки: экономика, менеджмент, торговое дело, агроинженерия, эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов, техносферная безопасность, землеустройство и кадастры, строительство, информационные системы и технологии, прикладная информатика и другие.

УДК 512.64 ББК 22.143

Печатается по решению методической комиссии инженерного факультета ФГБОУ ВО «Пермская государственная сельскохозяйственная академия». (Протокол №01 от 20 октября 2015 г.)

ISBN 978-5-94279-293-0

© ИПЦ «Прокростъ», 2016

© Деменева Н.В., 2016

2

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений46 Объѐм выпуска продукции при заданном потреблении и запасах

4

Введение

Линейная алгебра – это раздел алгебры, который изучает такие объекты линейной природы, как линейные пространства, линейные отображения, системы линейных уравнений. Линейная алгебра имеет широкое применение в линейном программировании, эконометрике и естественных науках.

Данный сборник охватывает три темы: матрицы, системы линейных алгебраических уравнений, линейные (векторные) пространства и состоит из трѐх частей, различающихся по уровню сложности.

Первая часть содержит стандартные задания на выполнение отдельных действий над матрицами; вычисление определителя второго порядка и вычисление определителя третьего порядка по правилу треугольника и разложением по строке или столбцу; нахождение обратной матрицы; решение систем линейных алгебраических уравнений тремя способами. Первая часть включает также задания с экономическим содержанием, предполагающих выполнение несложных действий над матрицами и умение составлять математическую модель в виде системы линейных алгебраических уравнений с дальнейшим еѐ решением любым из методов.

Вторая часть содержит более сложные задания на нахождение различных комбинаций матриц; вычисление определителя четвѐртого порядка; нахождение ранга матрицы, исследование системы линейных алгебраических уравнений с помощью ранга и решение системы методом Гаусса; решение матричных уравнений; нахождение координат вектора в новом базисе. Вторая часть содержит одно задание с экономическим содержанием на исследование модели Леонтьева многоотраслевой экономики, позволяющей найти вектор валовой продукции при данной матрице прямых затрат и векторе конечной продукции с помощью матричного уравнения.

Третья часть содержит сложные задания на нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы; приведение квадратичной формы к каноническому виду и исследование квадратичной формы на знакоопределѐнность; нахождение базисных решений и фундаментальной системы решений системы линейных алгебраических уравнений. Третья часть содержит одно задание с экономическим содержанием на исследование линейной модели обмена, позволяющей найти соотношение национальных доходов трѐх стран для сбалансированной торговли при заданной структур-

5

ной матрице торговли с помощью собственных значений и собственных векторов матрицы.

Трѐхуровневая структура сборника позволяет преподавателю использовать данный сборник при обучении студентов различной степени математической подготовки. Например, при работе со студентами небольшой степени подготовки можно ограничиться заданиями только первого уровня, с более высокой подготовкой – заданиями первого и второго уровней, с высокой подготовкой – можно использовать задания всех трѐх уровней.

Сборник содержит 25 заданий, каждое из которых рассчитано на 36 типовых варианта. В помощь студенту каждому заданию предшествует справочный материал теоретического характера и подробное решение примера.

Сборник задач предназначен для организации самостоятельной работы студентов направлений подготовки: экономика, менеджмент, торговое дело, агроинженерия, эксплуатация транспорт- но-технологических машин и комплексов, техносферная безопасность, землеустройство и кадастры, строительство, информационные системы и технологии, прикладная информатика и другие.

6

ЧАСТЬ I

ТЕМА 1. МАТРИЦЫ

Действия над матрицами Справочный материал.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел вида:

.

Над матрицами можно выполнять следующие действия: сложение, умножение на число, вычитание, транспонирование, умножение матриц.

Сложение. Складывать можно матрицы одинаковой размерности, при этом получается матрица той же размерности, что и исходные, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов исходных матриц.

Умножение на число. При умножении матрицы на число получается матрица, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента исходной матрицы на это число.

Вычитание. Вычитать можно матрицы одинаковой размерности, при этом получается матрица той же размерности, что и исходные, каждый элемент которой равен разности соответствующих элементов исходных матриц.

Транспонирование. При транспонировании строки матрицы заменяются столбцами с сохранением их порядка.

Умножение матриц. Умножение матриц определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, при этом каждый элемент новой матрицы равен сумме произведений элементов i-й строки первой матрицы на соответствующие элементы j-ого столбца второй матрицы:

,

где – элемент первой матрицы,

7

. Найти следующие матрицы: , , ,

, .

Решение.

Сложение. Матрицы и имеют одинаковую размерность, поэтому их можно складывать.

.

Вычитание. Матрицы и имеют одинаковую размерность, поэтому их можно вычитать.

.

Умножение на число. Умножать на число можно матрицу любой размерности.

.

Умножение матриц. Выполним умножение матрицы на матрицу . Проверяем, возможно ли такое действие. Так как матрица имеет размерность 3х3 и матрица имеет размерность 3х3, то есть число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы, то умножение матрицы на матрицу возможно.

8

Далее первую строку матрицы умножаем на первый столбец матрицы :

.

Затем первую строку матрицы умножаем на второй столбец матрицы :

.

Первую строку матрицы умножаем на третий столбец матрицы :

.

Вторую строку матрицы умножаем на первый столбец матрицы :

.

Вторую строку матрицы умножаем на второй столбец матрицы :

.

Вторую строку матрицы умножаем на третий столбец матрицы :

.

Третью строку матрицы умножаем на первый столбец матрицы :

.

Третью строку матрицы умножаем на второй столбец матрицы :

9

.

Третью строку матрицы умножаем на третий столбец матрицы :

.

Полученные результаты записываем в матрицу:

.

Задание 1. Даны матрицы и . Найти следующие матрицы:

, , , , .

10