762

Введение. Необходимость обеспечения

использование контрольных приборов, позво-

роста эффективности производства продуктов

ляющих реализовать мониторинг параметров

растениеводства и животноводства, повыше-

технологических

процессов

(естественным

ние качества и сокращение потерь продукции

продолжением которого является использова-

и энергетических затрат требует совершен-

ние полученных данных для введения контуров

ствования агроинженерных систем. К их чис-

автоматического

управления

и регулировки

лу, в частности, относятся установки, предна-

технологического процесса). При этом в целях

значенные для тепловой обработки продуктов.

повышения точности на входе систем монито-

В ходе их эксплуатации необходимо поддер-

ринга в качестве первичного желательно иметь

жание заданных тепловых режимов в том или

информативный электрический сигнал.

ином определенном допусковом диапазоне, а

В этих целях представляет интерес прак-

также корректировка поддерживаемых пара-

тическое использование соотношения (закона)

метров установок (в зависимости от значений

Видемана-Франца [1-4]:

входных тепловых технологических парамет-

(1)

ров). Отмеченное обусловлено тем, что каче-

ство конечного продукта во многом зависит от

устанавливающего взаимосвязь между тепло-

точности поддержания технологических ре-

проводностью λ

и удельным

электрическим

жимов работы установок. Это предполагает

40

Пермский аграрный вестник №4 (12) 2015

сопротивлением ρэ металлов. Числовое значе-

пающей как следствие сил сцепления и проч-

ние теплопроводности λ определяет количе-

ности межатомных связей.

ство теплоты, проходящей через единицу по-

Согласно

современным

представлениям,

верхности в единицу времени при единичном

металл можно представить как решетку из

градиенте температуры. Это позволяет ис-

атомов (положительных ионов), погруженную

пользовать соотношение (1) и в целях техно-

в облако, образуемое электронами проводи-

логического мониторинга теплового соотно-

мости. Данные электроны полностью ответ-

шения тепловых машин.

ственны за электропроводимость σ. Это поз-

В отношении числа Лоренца Lo имеется

волило Зоммерфельду в классической теории

известная неопределенность, которую можно

проводимости

металлов

прийти

к

точной

снять, если решить

уравнение

Видемана-

формуле для их электропроводности:

Франца относительно

неизвестной

перемен-

⁄

ной, каковой и считаем число Лоренца Lo.

√

(

)

⁄

(3)

Можно полагать, что истинная картина в

отношении числа

Лоренца Lo металлов во

где наличие постоянной Планка h однозначно

многом зашифрована в накопленных опытных

указывает

на

ее квантовое

происхождение.

данных, которые даже при комнатных темпе-

Как отмечает И.Е. Тамм [8], более точные вы-

ратурах (Т0 = 300 К) не увязаны между собой

числения

приводят

к

выражению,

отличаю-

и изменяются от

одной

сводки

результатов

щемуся от приведенного заменой множителя

эксперимента к другой.

√ ⁄

множителем 2.

При комнатных

Здесь известную помощь при расшифров-

ке кода может оказать периодическая система,

температурах чистые металлы имеют тепло-

проводность λ на один-два порядка величины

где, как отмечают авторы работы [5], наличие

фундаментальной

связи

между

свойствами

большую, чем твердые диэлектрики. Это поз-

запрограммировано в строении электронных

воляет прийти к суждению о том, что в чи-

оболочек атомов и последовательном их из-

стых металлах почти весь поток теплоты пе-

менении по соответствующим направлениям

реносится электронами проводимости. В дан-

таблицы Д.И. Менделеева. Юм-Розери [6] рас-

ной связи в электронной теории проводимости

сматривает электропроводность σ,

деленную

закон Видемана-Франца (1) записывается в

на множитель, пропорциональный числу ато-

виде приближенного равенства (с выходом на

мов в единице объѐма, и обращает внимание

постоянную величину Lo0):

на периодичность зависимости σ/(ρ/µ) чистых

металлов при комнатной температуре от но-

(

)

(4)

мера химических

элементов

в

таблице

где – электронная составляющая теплопро-

Д.И. Менделеева.

Отмечается, что

наиболь-

водности, а Lo0

– теоретическое число Лорен-

шей величиной σ/(ρ/µ) обладают одновалент-

ца (по Зоммерфельду). По Друде и Лоренцу,

ные металлы первой

группы, а

увеличение

здесь коэффициент пропорциональности,

со-

числа валентных электронов на атом (z) не

ответственно,

равен

3 и

2

[1,2].

В

(4)

k–

приводит к более высокой электропроводно-

постоянная Больцмана, а e – заряд электрона.

сти. А. Миснар [7] подходит к теплопровод-

ности λ металлов как к функции от номера

По образному выражению Дж. Зимана [9], со-

группы z элементов, а также их молярной

отношение для числа Лоренца Lo с множите-

лем π2/3 получено с применением всей мощи

массы µ и температуры плавления Tпл и от-

мечает отсутствие простой зависимости ис-

статистической квантовой механики. Однако

комых данных от номера элементов в пери-

соотношение (4) является приближенным. От-

одической системе. Если следовать отме-

клонения

величин

Lo

металлов

от

ченным выше результатам работ [6,7],то для

зоммерфельдовского значения (4) объясняют-

числа Лоренца Lo чистых металлов можно

ся неупругим характером рассеяния электро-

отследить зависимость вида

нов на атомах решетки [1].

(

),

Помимо

теории проводимости, теорети-

(2)

ческое обоснование

эмпирического

закона

отражающую, в частности, взаимосвязь Lo с

Видемана-Франца (1) также дано А.И. Вейни-

ком в развитие термодинамики необратимых

температурой плавления Тпл металлов, высту-

Пермский аграрный вестник №4 (12) 2015

41

процессов. Установлена взаимосвязь между

как при этом открывается дополнительная

числом Лоренца Lo металлов и их молярной

возможность вычисления величины числа Ло-

теплоемкостью срµ:

ренца Lo металлов, минуя сведения по λ и σ.

,

(5)

Целью работы является разработка матема-

тической модели для вычисления числа Лоренца

что в определенной мере отвечает зависимо-

Lo металлов через объемную теплоемкость.

Методика.

Прежде

всего, обратимся к

сти (2). Однако здесь отсутствует какая-либо

формуле

Зоммерфельда

(3).

Для

объемной

ясность в отношении коэффициента пропор-

концентрации атомов na в металле с учетом (7)

циональности Rµ. Для его определения авторы

можно записать равенство

работы [10] используют следующий прием. С

опорой на имеющийся в литературе экспери-

(

)

(

) (

)

(

) (

)

. (8)

ментальный материал по Lo и

вычисляется

Если ze – число электронов проводимости

коэффициент Rµ. Затем по методу наимень-

на атом, то объемная концентрация электро-

ших квадратов в широком интервале темпера-

нов проводимости nе:

тур через эти значения проведены

прямые

Rµ=f2( ⁄

), где θд–температура Дебая. При

(9)

температуре To=300 K обнаружена периодиче-

и формула (3) принимает вид:

ская зависимость величины коэффициента Rµ

⁄

⁄ [ (

)] ⁄ . (10)

от порядкового номера

металлических эле-

(

)

)

(

( )

ментов в таблице Д.И. Менделеева.

Вместе с тем, соотношения (1), (4) и (10)

Здесь можно сделать следующие

замеча-

позволяют прийти к следующему суждению.

ния. Во-первых, путь [10],

следуя которому

В формулу для электропроводности σ метал-

получено

соотношение

(5),

не

исключает и

лов входят величины e,

k, h,

L,

ze,

а также

возможность выхода на его разновидность как

сомножитель ср(300 К)ρ(300 К). А следова-

(

) .

(6)

тельно, выход на взаимосвязь (1) между вели-

чинами λ, σ, Т, Lo, где Lo=f2(k,e) представля-

Тогда число Лоренца Lo предстает и как

ется возможным только в том случае, если

функция переменной величины срµ, и как ко-

теплопроводность

λ

металлов

отвечает

личественная мера, образованная простым

функции вида:

способом из этой переменной величины и не-

Ф(λ, k, h, L, T,ср, ρ, ze ) = 0 .

(11)

известных , П и m,

которые

необходимо

При

энергетическом подходе

к

явному

определить.

виду

функции

(11),

на

наш

взгляд,

можно

Во-вторых, как известно, температурные

приблизиться, если опираться на закон тепло-

зависимости теплоемкости срµ металлов явля-

проводности Фурье в его записи для весьма

ются сложными. Однако при комнатных тем-

малого перепада температуры

Т – см. в (11)

пературах величины молярной теплоемкости

наличие величин λ и L, а также на закон Сте-

срµ простых одноатомных веществ близки к ее

фана-Больцмана:

классическому значению Дюлонга и Пти [2]

(

)

⁄(

) ,(7)

(12)

найденному через полную энергию

колеба-

(применительно к тому же интервалу темпе-

ний кристаллической решетки;

NA – число

ратуры

T).

Авогадро, R – универсальная газовая постоян-

Пусть

температура

вблизи

поверхности

ная. Тогда, если формулы (6) и (7) и являются

металлического образца равна T,

а на удале-

следствием проявления единства электронной

нии

х=L вглубь равна

.

Тогда плот-

и решеточной подсистем металла, то из общих

ность теплового потока теплопроводностью

соображений следует ожидать, что параметр

в (6) должен учитывать прежде всего су-

.

(13)

щественные детали процесса переноса теп-

Для

доли

плотности теплового

потока

лоты в металлах.

собственного излучения

qε (сформированно-

А в-третьих, и это главное, знание взаи-

го в металле), приходящейся на интервал тем-

мосвязи (6) является практически важным, так

пературы

T, имеем

42

Пермский аграрный вестник №4 (12) 2015

(

)

(14)

⁄

⁄

⁄

(

)

(

)

(

) ( ̅ ̅)

; (20)

Тогда, полагая плотность теплового пото-

̅

;

(21)

ка теплопроводностью

qλ

прямо

пропорцио-

(

)

нальной величине

qε

и

выражая среднюю

̅

.

(22)

скорость движения электронов V в единицах

(

)

скорости света в вакууме c, приходим к соот-

Здесь ̅

и

̅– соответственно, безразмер-

ношению для теплопроводности λ:

ная теплоемкость и плотность металла. Фор-

(

)

(15)

мула (20)

отвечает

условию

(6)

при

А=С/(3R)2/3,

и

; она связывает

Заметим, что во всех вариантах теории

воедино измеряемые величины λ, σ, T, cр, и ρ с

проводимости металлов электронная состав-

характеристиками ze, Ψ1

и Ψ2 микроскопиче-

ляющая теплопроводности λe

описывается

ских движений при передаче энергии в толще

формулой Дебая [1-4]

металла.

Результаты.

Полученные

результаты

известной из

кинетической

теории

газов. В

направлений исследований,

обозначенных в

работах [19-21].

классической теории Друде-Лоренца это отве-

О величинах ze, Ψ1 и Ψ2

к настоящему

чает идее о том, что электроны проводимости

времени сведений явно недостаточно.

В ре-

при своем движении время от времени испы-

тывают столкновения с атомами кристалличе-

альных металлах валентные электроны разде-

ской решетки, а следовательно, обладают

ляются на электроны проводимости и на свя-

средней длиной свободного пробега L, а также

занные электроны, находящиеся на ионных

и средней (между столкновениями) скоростью

оставах атомов [12]. В данной связи можно

V. В отличие от известной формулы (16),

полагать, что ze < z, где z – номер группы эле-

предлагаемая нами формула (15) отвечает

ментов в периодической системе. Также мож-

полной теплопроводности λ металлов.

но отметить, что величина Ψ2

отвечает усло-

В теории проводимости металлов опреде-

вию: Ψ2<<1. По крайней мере, положение о

ление средней длины свободного пробега

том, что электронный вклад в теплоемкость

электронов L – самый сложный вопрос [4]. В

металла при T > θд

не превышает нескольких

рассматриваемом случае формулы (15) и (16)

процентов, является основополагающим в

можно рассматривать как систему уравнений с

теории металлов [13]. Какие-либо данные о

двумя неизвестными L и V. Их совместное

величине Ψ1 отсутствуют. В этих условиях,

решение позволяет, в частности, прийти к со-

возможно, интерес может представлять выяв-

отношению [11]:

ленная нами ранее совместно с И.М. При-

) ⁄

ходько корреляция между молярной теплоем-

(

.

(17)

костью cрµ простых твердых веществ, номером

⁄

⁄

(

)

( )

группы z элементов и приведенной темпера-

Здесь величина

учитывает долю элек-

турой T/Тпл для температур от θд до Tпл [14]:

тронной составляющей объемной теплоемко-

(

)

.

(23)

сти cve в полной объемной теплоемкости

металла:

Обратимся к области комнатных темпера-

.

(18)

тур, где опытные данные по λ, ρэ, Lo и срµ

Тогда имеем соотношение

наименее противоречивы.

Полагаем,

что

при ̅= 1 величина Ψ2 отвечает условию

(

) ⁄ (

) ⁄ ( ) ⁄

, (19)

причем

,

(24)

которое совместимо с (10) позволяет прийти к

закону Видемана-Франца в записи вида:

⁄

⁄

(

)

(

)

.

Пермский аграрный вестник №4 (12) 2015

43

Для практики существенной является и

состояния можно исполнить и в виде датчика,

взаимосвязь числа Lo металлов с их объемной

который предварительно необходимо прота-

теплоемкостью сρρ. Соотношение (26) выра-

рировать. Здесь необходимо учитывать ре-

жает

функциональную

зависимость

между

зультаты расчета температурного поля в усло-

значимыми параметрами

λ,

сρ,

ρ, ρэ,

z, Тпл

виях наложения «дорожной карты» на нели-

(большинство которых, в свою очередь, зави-

нейности λ(Т), ср(Т) и ρ(Т), присущие метал-

сит от температуры) и отражает существую-

лам, сталям и сплавам. Удельное электриче-

щие причинно-следственные связи. Это поз-

ское сопротивление ρэ (по результатам заме-

воляет оценить как влияние отдельных опре-

ров) вычисляется по формуле:

деляющих факторов на искомый результат,

так и с определенной точностью найти трудно

(30)

определяемые показатели на основе более

легко получаемых.

где V – напряжение на концах данного участка

Удельная теплоемкость сρ, плотность ρ и

цепи, I – ток, l – длина участка цепи, S – пло-

теплопроводность λ используемых на практи-

щадь его поперечного сечения.

ке технических металлов, сталей сплавов за-

При оценке теплового состояния можно

висят от температуры. Они при прочих рав-

измерять и электрическое сопротивление R2

ных условиях отвечают как за динамику фор-

для участка цепи, что позволяет использовать

мирования и характер реализуемых темпера-

метод моста Уитстона.

турных полей (при различных внешних тех-

Выводы. Полученное в настоящей работе

нологических тепловых воздействиях),

так и

соотношение для вычисления числа Лоренца

за реализуемые тепловые режимы подвергае-

Lo металлов через их объемную теплоемкость

мых нагреву элементов конструкций.

сpρ подтверждается опытными данными. Дан-

Отмеченное

позволяет использовать со-

ное обстоятельство, с одной стороны, свиде-

отношение (20) в целях регистрации изменчи-

тельствует в пользу правомерности использу-

вости

теплового

состояния ответственных

элементов конструкции. Действительно, сле-

емых при его получении теоретических по-

дуя (20), можно прийти к выражению:

строений, а с другой, позволяет рекомендо-

вать данное соотношение для практического

(

)

,

(29)

использования, в том числе и для оценки теп-

лового состояния теплонапряженных элемен-

где подстрочными индексами «1» и «2» обо-

тов конструкций в ходе их эксплуатации (как

значены, соответственно, стартовые и теку-

отклика рассматриваемой нами системы на

щие значения параметров. Здесь в комплексе

тепловое технологическое воздействие).

изменяющихся с температурой теплофизиче-

На наш взгляд, практическое использова-

ских

характеристик (

)

металлов,

ние предлагаемых в работе датчиков (наряду

сталей и сплавов параметр λ2

отражает их спо-

с термопарами и тензодатчиками) суще-

собность транспортировать теплоту, а

–

ственно расширяет возможности контроля за

ее аккумулировать (при нагреве). Конструк-

теплонапряженным состоянием металличе-

тивно устройство для регистрации теплового

ских конструкций.

46

Пермский аграрный вестник №4 (12) 2015

Пермский аграрный вестник №4 (12) 2015

47

стейшего потока. Доказательство принадлежности основных параметров распределения (плот-

~

~

ности k , дисперсии

Dk ) к оценкам максимального правдоподобия открывает возможность

48

Пермский аграрный вестник №4 (12) 2015

Введение. Проектирование новых техно-

новых оценок параметров распределения се-

логий возделывания пропашных культур свя-

мян, являются важными и актуальными.

зано с тщательным исследованием закономер-

Методика. В работе использованы мето-

ностей размещения на поле семян и растений.

ды теории вероятностей и

математической

Большое количество

моделей процесса

статистики.

распределения семян и растений требует про-

Результаты. К настоящему времени разра-

ведения их сравнительного анализа, а это не-

ботано несколько математических моделей рас-

возможно без характеристики точности пред-

пределения семян при пунктирном посеве [1].

ставляемых результатов.

При достаточно малом среднем расстоя-

В современной математической стати-

стике

основательно разработаны

методы

нии между семенами относительное влияние

оценки рядов распределения случайных ве-

факторов, рассеивающих семена (колебания

личин, подчиняющихся закону нормального

высевающего диска,

неопределенность мо-

распределения.

мента выпадения семян из ячеек, разброс тра-

Использование этих методов для оценки

екторий семян, раскатывание их в бороздке)

рядов с другими распределениями не всегда

достаточно велико, что приводит

к модели

корректно. Поэтому работы, направленные на

простейшего потока (рис.1).

изучение возможных ошибок в трактовках и

оценках результатов исследования и поиск

Если плотность семян на участке t равна

поненциальному распределению с дифферен-

, то вероятность попадания семян на элемен-

циальной функцией

f (t) e

t

и коэф-

тарный участок

t

будет

P t ,

а веро-

t

n

фициентом вариации

ятность отсутствия семян

q 1 t .

V = 100%.

(2)

На

основании

теоремы о

повторении

Практически такое распределение наблю-

опытов,

перехода к пределу при n и не-

дается при среднем расстоянии между семе-

сложных преобразований можно найти веро-

нами t

1/ , равным 1,5…2 см. Для высева

ятность Рk (вероятность попадания k семян на

ср

отрезок t):

( t)

с таким шагом на высевающем диске должно

k

.

(1)

располагаться большое количество

ячеек. В

P

e

t

реальных схемах пунктирного посева среднее

k

k!

Уравнение (1)

представляет

собой рас-

расстояние между семенами составляет от 4

до 12 см.