694

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Пермская государственная сельскохозяйственная академия имени академика Д. Н. Прянишникова»

Н. В. Деменева

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Сборник задач

Пермь

ИПЦ «Прокростъ»

2016

УДК 511.11 ББК 22.141

Д 30

Рецензенты:

В. В. Аюпов − кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой высшей математики ФГБОУ ВО «Пермская государственная сельскохозяйственная академия им. академика Д.Н. Прянишникова»;

В. И. Карпова – кандидат педагогических наук, доцент, заведующая кафедрой математических и естественнонаучных дисциплин Пермского института железнодорожного транспорта – филиала ФГБОУ ВПО «Уральский государственный университет путей сообщения» в г. Перми.

Д 30 Деменева, Н. В.

Комплексные числа : сборник задач / Н. В. Деменева; М-во с.-х. РФ, федеральное гос. бюджетное образов. учреждение высшего. образов. «Пермская гос. с.-х. акад. им. акад. Д.Н. Прянишникова». – Пермь : ИПЦ «Прокростъ»,

2016. – 32 с.

ISBN 978-5-94279-294-7

Сборник содержит индивидуальные задания, направленные на формирование и проверку умения выполнять действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме, решать алгебраические уравнения на множестве комплексных чисел и строить области в комплексной плоскости.

Каждому заданию предшествует справочный материал теоретического характера и образец решения. Задания дифференцированы по трѐм уровням сложности.

Сборник задач предназначен для организации самостоятельной работы студентов направлений подготовки: экономика, менеджмент, торговое дело, агроинженерия, эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов, техносферная безопасность, землеустройство и кадастры, строительство, информационные системы и технологии, прикладная информатика и другие.

УДК 511.11 ББК 22.141

Печатается по решению методической комиссии инженерного факультета ФГБОУ ВО «Пермская государственная сельскохозяйственная академия». (Протокол № 01 от 20 октября 2015 г.).

2

3

Введение

Термин «комплексные числа» появился в 19 веке благодаря К. Гауссу. В переводе с латинского complexus обозначает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений. Ранее существовал термин «мнимые числа», предложенный в 17 веке французским математиком и философом Р.

Декартом. Позднее в 18 веке для обозначения числа (мнимая единица) Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire.

В настоящее время комплексные числа имеют широкое применение в науке и технике. Достаточно перечислить такие области как электротехника, радиотехника, самолѐтостроение, теория упругости, квантовая теория, компьютерное программирование, картография, экономика, фракталы, потребности самой математики.

Данный сборник представляет математический аппарат комплексных чисел: содержит задания на выполнение действий над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме, решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел и построение областей в комплексной плоскости. Сборник состоит из трѐх частей, различающихся по уровню сложности.

Первая часть содержит стандартные задания на выполнение отдельных действий над комплексными числами в алгебраической форме, на представление комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах и на решение квадратных уравнений с привлечением понятия мнимой единицы.

Вторая часть содержит более сложные задания на выполнение отдельных действий над комплексными числами в тригонометрической форме и на решение алгебраических уравнений с привлечением операции извлечения корня из комплексного числа.

Третья часть содержит сложные задания на преобразование выражений в алгебраической и тригонометрической формах, требующих одновременного выполнения нескольких действий; задания на решение биквадратных уравнений на

4

множестве комплексных чисел и построение областей в комплексной области по заданным условиям.

Трѐхуровневая структура сборника позволяет преподавателю использовать данный сборник при обучении студентов различной степени математической подготовки. Например, при работе со студентами небольшой степени подготовки можно ограничиться заданиями только первого уровня, с более высокой подготовкой – заданиями первого и второго уровней, с высокой подготовкой – можно использовать задания всех трѐх уровней.

Сборник содержит 11 заданий, каждое из которых рассчитано на 36 типовых варианта. В помощь студенту каждому заданию предшествует справочный материал теоретического характера и подробное решение примера.

Сборник задач предназначен для организации самостоятельной работы студентов направлений подготовки:

ка, менеджмент, торговое дело, агроинженерия, эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов, техносферная безопасность, землеустройство и кадастры, строительство, информационные системы и технологии, прикладная информатика и другие.

5

Часть I

Сумма, разность, произведение и частное комплексных чисел в алгебраической форме

Справочный материал.

Комплексным числом z называется выражение вида , где и – действительные числа; – мнимая

Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия: сложение, вычитание, умножение, деление.

Сложение. Суммой двух комплексных чисел

плексных чисел в алгебраической форме складывают дей-

плексных чисел в алгебраической форме вычитают действительные и мнимые части.

Произведение. Произведением двух комплексных чисел

нии комплексных чисел в алгебраической форме скобки раскрывают как при обычном умножении.

Частное. Частным двух комплексных чисел

при делении комплексных чисел в алгебраической форме числитель и знаменатель умножают на число, сопряжѐнное знаменателю.

6

Пример. Найти сумму, разность, произведение и част-

Разность: —

.

Произведение:

.

Частное:

.

Ответ: , , , .

Задание 1. Найти сумму, разность, произведение и частное двух комплексных чисел в алгебраической форме.

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

Справочный материал.

Геометрическое представление комплексного числа. В

координатной плоскости комплексному числу соответствует точка или вектор (рис. 1). Модуль вектора называется модулем комплексного числа:

8

y

в тригонометрической и показательной формах.

Решение.

Найдѐм модуль комплексного числа:

.

Данному числу в координатной плоскости соответствует точка (рис. 2):

y

O

x

Рис. 2

Найдѐм аргумент комплексного числа, учитывая, что точка лежит в III четверти:

.

Тогда тригонометрическая форма комплексного числа: , показательная форма:

.

9