пр 5, Касяненко (екон)

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БІОРЕСУРСІВ І ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ УКРАЇНИ

Кафедра економетрики

Практичне заняття 5

«Емпіричні методи кількісного аналізу на основі системи статистичних рівнянь»

Виконав студент 3 курсу 1 групи

Економічного факультету

Касяненко Максим Андрійович

Київ - 2023

 Завдання. Оцінити параметри економетричної моделі, що характеризує залежність між тижневими витратами на харчування (y), загальними витратами (x₁) та розміром сім'ї (x₂) за формулою оператора 1МНК . Дослідити побудовану модель, а саме:

1. побудувати дисперсійно-коваріаційну матрицю оцінок параметрів моделі;

2. знайти множинний коефіцієнт кореляції та перевірити його на суттєвість за критерієм Стьюдента;

3. перевірити знайдені параметри на суттєвість за критерієм Стьюдента;

4. побудувати інтервали довіри для знайдених параметрів;

5. перевірити модель на адекватність за критерієм Фішера.

Вихідні дані в умовних одиницях наведені в таблиці 1.

Варіант – 9.

Розв'язання

Запишемо економетричну модель:

де – відповідно фактичні та розрахункові значення тижневих витрат на харчування за моделлю; x₁ – загальні витрати; x₂ – розмір сім'ї; и – залишки; – оцінка параметрів моделі.

Оператор оцінювання параметрів моделі за 1МНК має вигляд :

А = (Х'Х)^-1Х'У,

Таблиця 1.

Вхідні та розрахункові дані

Д

(23)

(20)

(40)

(27)

(31)

(21)

(30)

(35)

(29)

(39)

е:

(1; 31; 74)

(1; 27; 70)

(1; 45; 92)

(1; 30; 80)

Х= (1; 39; 75) Y=

(1; 30; 73)

(1; 37; 75)

(1; 42; 90)

(1; 34; 80)

(1; 40; 78)

X' – матриця, транспонована до матриці X.

Матриця X, крім двох векторів незалежних змінних, містить век­тор одиниць. Він дописується в цій матриці ліворуч тоді, коли економетрична модель має вільний член. Не дописуючи такого ве­ктора одиниць, вільний член можна обчислити, скориставшись рів­ністю:

(3), де – середнє значення залежної змінної; , – середні значення незалежних змінних х₁, і х₂ .

Згідно з оператором оцінювання знайдемо

1 )(Х'Х) = 10 355 787

355 12925 28234

787 28234 62403

2 ) 14,921 0,107 -0,236

0,107 0,007 -0,005

-0,236 -0,005 0,005

3) 295

10828

23562 (4)

4) А' = -14,3

1,01

0,1 (5).

Отже, економетрична модель має вигляд:

ŷ = -14,3+1,01х1+0,1х2 (6).

Знайдені методом 1МНК оцінки параметрів такі:

â0 = -14,3; â1 = 1,01; â2 = 0,1, тобто

 = -14,3

1,01

0,1

Отже, коли за всіх однакових умов незалежна змінна х, (загальні витрати) збільшується (зменшується) на одиницю, то залежна змінна у (оцінка витрат на харчування) також збільшується (зменшується) на 1,01 одиниць. Якщо за інших незміннних умов незалежна змінна х₂ (розмір сім'ї) збільшується (зменшується) на одиницю, то залеж­на змінна у (оцінка витрат на харчування) також збільшується (зменшується) на 0,1 одиниць.

Для економетричної моделі обчис­лимо коваріаційну матрицю . Отже, маємо:

14,921 0,107 -0,236

0,107 0,007 -0,005

-0,236 -0,005 0,005

295

10828

23562

n = 10, m = 3

Обчислимо незміщену оцінку дисперсії залишків :

= 50,681/10-3 = 7,24.

1. Визначимо дисперсії оцінок :

var(â1) = 7,24*14,921 =108,03;

var(â2) = 7,24*0,007 =0,05;

var(â3) = 7,24*0,005 =0,04.

2. Обчислимо коваріації відповідних оцінок параметрів:

͡σа1а2 = 7,24*0,107 = 0,775;

͡σа1а3 = 7,24*(-0,236) = -1,71;

͡σа2а2 = 7,24*(-0,005) = -0,04.

Знак «мінус» перед оцінками коваріацій указує на те, що збільшення однієї оцінки параметрів приводить до зменшення в се­редньому іншої і навпаки.

Отже, дістанемо дисперсійно-коваріаційну матрицю

var (Â) = 108,03 0,775 -1,71

0,775 0,05 -0,04

-1,71 -0,04 0,04 (10)

3. Запишемо стандартні помилки оцінок параметрів моделі:

Sâ1 = √108,03 =10,39;

Sâ2 = √0,05 = 0,224;

Sâ3 = √0,04 = 0,2.

Порівняємо кожну стандартну помилку з відповідним числовим значенням оцінки параметра, тобто знайдемо відношення (11) :

*100 = 10,39/-14,3*100 = -0,007;

*100 = 0,224/1,01*100 = 0,002;

*100 = 0,2/0,1*100 = 0,02.

Отже, стандартні помилки оцінок параметрів щодо рівня оцінок параметрів становлять відповідно -0,007%, 0,002% і 0,02%, а це свідчить про низьку зміщеність оцінок.

Перевіримо гіпотези про значущість оцінок параметрів моделі

ŷ = -14,3+1,01х1+0,1х2,

побудованої на основі вихідних даних, наведених у табл. 1.

t1 = -14,3/10,39 = -1,38;

t2 = 1,01 /0,224 = 4,51;

t3 = 0,1/0,2 = 0,5.

Якщо ступінь свободи n – m = 10 – 3 = 7 і рівень значущості  = 0,05, t_табл = 2,16. Оскільки t_1факт < t_табл, t_2факт > t_табл, t_3факт < t_табл то оцінки параметрів , , характеризують неістотний зв’язок цих незалежних змінних ( , , ) із залежною.

Оцінка параметра може перебувати в таких межах:

;

-14,3-2,16*10,39 ≤ а1 ≤ -10,3+2,16*10,39;

-36,74 ≤ а1 ≤ 8,14;

;

1,01-2,16*0,224≤ а2 ≤ 1,01+2,16*0,224;

0,53≤ а2 ≤ 1,49;

;

0,1-2,16*0,2≤ а3 ≤ 0,1+2,16*0,2;

-0,332≤ а3 ≤ 0,532.

2