пр 2 Касяненко, (екон)

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БІОРЕСУРСІВ І ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ УКРАЇНИ

Кафедра економетрики

Практичне заняття 2

Виконав студент 3 курсу 1 групи

Економічного факультету

Касяненко Максим Андрійович

Київ - 2023

Практична робота 2.

Завдання:

Дослідити серед наведених чинників наявність мультиколінеарності. Нехай:

У – середньомісячна зарплата, грн.; на неї впливають наступні незалежні змінні

Х₁ – продуктивність праці, люд.-дні;

Х₂ – фондомісткість, млн. грн.;

Х₃ – коефіцієнт плинності робочої сили, %.

Для зручності всі необхідні розрахунки оформлюватимемо у таблиці

Варіант 9.

Вихідні дані та розрахунок стандартизованих змінних та коефіцієнтів кореляції																Таблиця 1
№ п/п	Х1	Х2	Х3	Х1-Х1(сер)	Х2-Х2(сер)	Х3-Х3(сер)	(Х1-Х1(сер))2	(Х2-Х2(сер))2	(Х3-Х3(сер))2	Х1*	Х2*	Х3*	Х1**Х2*	Х1**Х3*	Х2**Х3*
1	7,38	9,48	6,37	-14,29	-18,30	-13,69	204,20	334,89	187,42	-0,09179	-0,09102	-0,10067	0,00835	0,00924	0,00916
2	9,4	10,5	8,4	-12,27	-17,28	-11,66	150,55	298,60	135,96	-0,04612	-0,07323	-0,05236	0,00338	0,00241	0,00383
3	11,4	11,9	10,1	-10,27	-15,88	-9,96	105,47	252,17	99,20	-0,00090	-0,04882	-0,01190	0,00004	0,00001	0,00058
4	10,25	9,08	5,8	-11,42	-18,70	-14,26	130,42	349,69	203,35	-0,02690	-0,09799	-0,11423	0,00264	0,00307	0,01119
5	12,3	12,4	8,4	-9,37	-15,38	-11,66	87,80	236,54	135,96	0,01944	-0,04010	-0,05236	-0,00078	-0,00102	0,00210
6	11,28	20,18	15,7	-10,39	-7,60	-4,36	107,95	57,76	19,01	-0,00362	0,09555	0,12137	-0,00035	-0,00044	0,01160
7	12,49	15,67	10,4	-9,18	-12,11	-9,66	84,27	146,65	93,32	0,02374	0,01691	-0,00476	0,00040	-0,00011	-0,00008
8	10,4	13,9	10,6	-11,27	-13,88	-9,46	127,01	192,65	89,49	-0,02351	-0,01395	0,00000	0,00033	0,00000	0,00000
9	11,6	14,5	11,4	-10,07	-13,28	-8,66	101,40	176,36	75,00	0,00362	-0,00349	0,01904	-0,00001	0,00007	-0,00007
10	9,8	14,7	10,1	-11,87	-13,08	-9,96	140,90	171,09	99,20	-0,03708	0,00000	-0,01190	0,00000	0,00044	0,00000
11	8,05	11,37	9,4	-13,62	-16,41	-10,66	185,50	269,29	113,64	-0,07664	-0,05806	-0,02856	0,00445	0,00219	0,00166
12	10,7	19,8	9,4	-10,97	-7,98	-10,66	120,34	63,68	113,64	-0,01673	0,08893	-0,02856	-0,00149	0,00048	-0,00254
13	11,8	15,9	10,8	-9,87	-11,88	-9,26	97,42	141,13	85,75	0,00814	0,02092	0,00476	0,00017	0,00004	0,00010
14	12,7	16,2	11,5	-8,97	-11,58	-8,56	80,46	134,10	73,27	0,02849	0,02616	0,02142	0,00075	0,00061	0,00056
15	13,7	16,8	9,4	-7,97	-10,98	-10,66	63,52	120,56	113,64	0,05110	0,03662	-0,02856	0,00187	-0,00146	-0,00105
16	14,73	18,36	11,5	-6,94	-9,42	-8,56	48,16	88,74	73,27	0,07438	0,06382	0,02142	0,00475	0,00159	0,00137
17	14,9	17,9	12,9	-6,77	-9,88	-7,16	45,83	97,61	51,27	0,07823	0,05580	0,05474	0,00436	0,00428	0,00305
18	13,01	15,27	18,4	-8,66	-12,51	-1,66	75,00	156,50	2,76	0,03550	0,00994	0,18563	0,00035	0,00659	0,00184
Всього	205,89	263,91	190,57	0,00	0,00	0,00	1956,22	3288,02	1765,11	-0,00068	-0,01203	-0,00547	0,02922	0,02800	0,04332
В сер.	21,67	27,78	20,06

Крок 1.

Обчислимо елементи стандартизованих векторів . Для допоміжних розрахунків вводимо у таблиці колонки (5-10). Для нашого прикладу п=18; m=3

Необхідно згадати формули сер. арифм. та дисп

¯x1= Ƹx1/n = 205,89/18 = 11,44 люд.днів;

¯х2 = Ƹx2/n = 263,91/18 = 14,7 млн.грн;

¯ х3 = Ƹx3/n = 190,57/18 = 10,6%

Q²x1 = 1956,22/18 = 108,7;

Q²x2 = 3288,02/18 = 182,7;

Q²x3 = 1765,11/18 = 98,1;

Тоді знаменник для стандартизації кожної незалежної змінної буде такий:

Для : √Q²x1*n =√108,7*18 = 44,23;

Для : √Q²x2*n =√182,7*18 = 57,35;

Для : √Q²x3*n =√98,1*18 = 42,02;

Усі розраховані елементи записуємо до таблиці та отримуємо матрицю стандартизованих змінних (колонки 11,12,13), і обчислюємо елементи кореляційної матриці r (колонки 14,15,16).

Крок 2.

Знаходимо кореляційну матрицю, що має розмір :

r= |1  0,02922 0,028|

|0,02922 1 0,04332|

|0,028 0,04332 1|

Кожен елемент даної матриці є коефіцієнтом кореляції, що характеризує тісноту зв’язку однієї незалежної змінної з іншою. Оскільки діагональні елементи характеризують тісноту зв’язку кожної незалежної з цією самою змінною, то вони дорівнюють 1-ці. Зауважимо, що при знаходженні добутку матриць і за рахунок зміщеності коефіцієнтів парної кореляції числові значення діагональних елементів можуть наближатись до одиниці. Якщо це так, то вони заміняються одиницями, а інші значення матриці r збільшуються на величину, що визначається як різниця між одиницею і діагональним елементом.

Інші елементи матриці r дорівнюють:

r x1x2 = 0,02922; r x1x3 = 0,028; r x2x3 = 0,04332, тобто вони є парними коефіцієнтами кореляції між пояснювальними змінними. Користуючись цими коефіцієнтами, можна зробити висновок, що між змінними існує зв'язок. Але чи можна стверджувати, що цей зв'язок є виявленням мультиколінеарності, а тому негативно впливатиме на оцінку економетричної моделі?

Відповідь отримаємо знайшовши статистичні критерії оцінки мультиколінеарності за алгоритмом Фаррара-Глобера.

Крок 3.

Обчислимо детермінант кореляційної матриці r і критерій :

r= (-1)¹+¹*1*|1 0,04332|+(-1)¹+²*0,02922*|0,02922 0,04332|+(-1)¹+³*0,028*|0,02922 1|

|0,04332 1| |0,028 1 | |0,028 0,04332|

= 0,994

x² = -[n-1-1/6(2m+5)]In|r| = -[18-1-1/6(2*3+5)]In0,994 = -91/6*In0,994 = 0,00146

При ступені свободи і рівні значущості , критерій . Оскільки , робимо висновок, що в масиві незалежних змінних мультиколінеарності не існує.

Крок 4.

Знайдемо матрицю, обернену до матриці r: , де І так звана «приєднана» матриця до матриці r. Вона складається з алгебраїчних доповнень до елементів матриці r, а саме:

Алгебраїчні доповнення і-го та j-го елемента – це мінор , який береться зі знаком . Тобто, , де (мінор) - визначник матриці (n-1)-порядку, в якій викреслено і-й рядок та j-стовпчик.

r= |1 0,02922 0,028|

|0,02922 1 0,04332|

|0,028 0,04332 1|

r11 = (-1)¹+¹*|1 0,04332|= 1 -0,998 = 0,1

|0,04332 1|

r12 = (-1)¹+²*|0,02922 0,04332 = - 0,972

|0,028 1 |

r13 =(-1)¹+³*|0,02922 1 | = 1,027

|0,028 0,04332|

r12 = - 0,972; r21 = - 0,972 r13 = 1,027; r31 = 1,027; r22 = 0,987; r23 = 1,027; r32 = 1,027; r33 = 0,929.

Отже,

r¯¹= (X*×X*)¯¹= 1/|r|*I = 1/0,994*|0,1 -0,972 1,027| |0,1 -0,972 1,027|

|-0,972 0,987 1,027| = |-0,972 1 1,027|=C

|1,027 1,027 0,929| |1,027 1,027 0,929|

Крок 5.

Використовуючи діагональні елементи матриці С, обчислимо F-критерії:

F1 = (c11-1)((n-m)/(m-1)) = (0,1 - 1)15/2 = -6,75

F2 = (c22-1)((n-m)/(m-1) = (1-1)15/2 = 0

F3 = (c33-1)((n-m)/(m-1) = (0,929-1)15/2 = -0,5325

Для рівня значущості і (n-m)=15 ступенів вільності і (m-1)=2 критичне (табличне) значення F-критерію F=19,35

Оскільки робимо висновок, що не мультиколінеарна з та .

Оскільки робимо висновок, що не мультиколінеарна з та .

Оскільки робимо висновок, що не мультиколінеарна з та .

Для визначення наявності попарної мультиколінеарності розглянемо t-критерій Стюдента.

Крок 6.

Обчислимо частинні коефіцієнти кореляції, використавши елементи матриці С:

r12.3 = -C12/√C11*C22 = 0,972/√0,1*1= 3,07

r13.2 = -C13/√C11*C33 = -1,027/√0,1*0,929 = -3,37

r23.1= -C23/√C22*C33 = -1,027/√1*0,929 = -1,06, тоді порівняємо

r x1x2 = -0,972<3,07= r12.3 r x1x3 = |1,027|>|-3,37| = r13.2 r x2x3 = |1,027|>|-1,06| = r23.1

Частинні коефіцієнти кореляції характеризують тісноту зв’язку між двома змінними за умови, що третя не впливає на цей зв'язок.

Крок 7.

Визначимо t-критерій на основі частинних коефіцієнтів кореляції.

t12 = (|r12.3|√n-m)/(√1-r²12.3) = (3,07-√15)/(√1-(3,07)²) = -0,8

t13 = (|r13.2|√n-m)/(√1-r²13.2) = (-3,37-√15)/(√1-(-3,37²)) = -2,06

t13 = (|r23.1|√n-m)/(√1-r²23.1) = (-1,06-√15)/(√1-(-1,06²)) = -3,38

Табличне значення t-критерію при рівні значущості і (n-m)=15 ступенів вільності є t_0,05(15)=1,75. Оскільки , то пара змінних та не мультиколінеарна. Оскільки , то пара змінних та не мультиколінеарна.

Оскільки , то пара змінних та не мультиколінеарна.

Короткі висновки:

1. Якщо порушується одна з чотирьох умов, необхідних для застосування 1МНК, а саме коли між пояснювальними змінними існує лінійна залежність, то це явище називається мультиколінеарністю.

2. Мультиколінеарність негативно впливає на кількісні характеристики економетричної моделі або взагалі робить неможливою її побудову.

3. Найповніше дослідити мультиколінеарність можна з допомогою алгоритму Фаррара—Глобера.

4. Цей алгоритм має три види статистичних критеріїв, за якими перевіряється мультиколінеарність усього масиву незалежних змінних (² – «хі»-квадрат); кожної незалежної змінної з усіма іншими (F-критерій); кожної пари незалеж­них змінних (t-критерій).