Задача для іспиту, Касяненко

Задача для іспиту

За статистичними даними було проведено дослідження закономірності впливу рівня внесення мінеральних добрив, продуктивності праці на валові збори олійних культур. Знайти стандартні помилки параметрів моделі.

у =-25,854+ 0,369Х1+ 0,53162 ,

якщо обернена матриця має вигляд:

(X'X) -1= 14,3 - 0,017 - 0,173

 0,02 0,005 -0,002

 0,173 - 0,002 0,003

Дисперсія залишків дорівнює 24,089 . Побудувати інтервали довіри для параметрів моделі для рівня значущості 0,05 і п=15. Зробити висновки.

Розв’язання:

Перевіримо значущість оцінок параметрів Â і знайдемо для них довірчі інтервали, припустивши для цього, що залишки u нормально розподілені, тобто (0, ) 2 uN  E .

Обчислене значення t-критерію порівнюється з табличним при вибраному рівні значущості і n m ступенях свободи. Якщо tфакт > > tтабл, то відповідно оцінка параметра економетричної моделі є достовірною.

На основі t-критерію і стандартної помилки побудуємо довірчі інтервали

для параметрів aj:

Обчислимо незміщену оцінку дисперсії залишків :

= 24,089/15-3 = 2,01.

1. Визначимо дисперсії оцінок :

var(â1) = 2,01*14,3 =28,743;

var(â2) = 2,01*0,005 =0,01;

var(â3) = 2,01*0,003 =0,01.

2. Обчислимо коваріації відповідних оцінок параметрів:

͡σа1а2 = 2,01*-0,017 = -0,034;

͡σа1а3 = 2,01*(-0,173) = -0,347;

͡σа2а2 = 2,01*(-0,002) = -0,004.

Знак «мінус» перед оцінками коваріацій указує на те, що збільшення однієї оцінки параметрів приводить до зменшення в се­редньому іншої і навпаки.

Отже, дістанемо дисперсійно-коваріаційну матрицю

var (Â) = 28,743 -0,034 -0,347

-0,034 0,01 -0,004

-0,347 -0,004 0,01

Запишемо стандартні помилки оцінок параметрів моделі:

Sâ1 = √28,743 = 5,36;

Sâ2 = √0,01 = 0,1;

Sâ3 = √0,01 = 0,1.

Порівняємо кожну стандартну помилку з відповідним числовим значенням оцінки параметра, тобто знайдемо відношення (11) :

*100 = 5,36/-25,854*100 = -20,73;

*100 = 0,1/0,369*100 = 27,1;

*100 = 0,1/0,53162*100 = 18,81.

Отже, стандартні помилки оцінок параметрів щодо рівня оцінок параметрів становлять відповідно -20%, 27 % і 18 %, а це свідчить про зміщеність оцінок.

Перевіримо гіпотези про значущість оцінок параметрів моделі ŷ =-25,854+ 0,369Х1+ 0,53162 ,

побудованої на основі вихідних даних, наведених у задачі.

t1 = -25,854/5,36 = -4,8;

t2 = 0,369/0,1 = 3,69;

t3 = 0,53162/0,1 = 5,3162.

Якщо ступінь свободи n – m = 15 – 3 = 12 і рівень значущості  = 0,05, t_табл = 2,16. Оскільки t_1факт < t_табл, t_2факт > t_табл, t_3факт < t_табл то оцінки параметрів , , характеризують неістотний зв’язок цих незалежних змінних ( , , ) із залежною.

Оцінка параметра може перебувати в таких межах:

;

-25,854-2,16*5,36 ≤ а1 ≤ -25,854+2,16*5,36;

-37,43 ≤ а1 ≤ -14,28;

;

0,369-2,16*0,1≤ а2 ≤ 0,369+2,16*0,1;

0,153 ≤ а2 ≤ 0,585;

;

0,53162-2,16*0,1≤ а3 ≤ 0,53162+2,16*0,1;

0,31 ≤ а3 ≤ 0,75.