пр 1.1, Стешенко (екон)

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БІОРЕСУРСІВ І ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ УКРАЇНИ

Кафедра економетрики

Практичне заняття 1.1

«Побудова простої лінійної економетричної моделі»

Виконала студентка 3 курсу 1 групи

Економічного факультету

Стешенко Тетяна Олександрівна

Київ 2023

Практична робота 1.1

«Побудова простої лінійної економетричної моделі»

Зміст завдання:  За вихідними даними побудовати економетричну модель залежності витрат ресурсів на одиницю продукції (у) від рівня фондомісткості продукції (х) :

1. побудувати просту лінійну економетричну модель y = a ₀ + a ₁ x ₁ , визначивши оцінки параметрів a ₀ , a ₁ , виходячи з методу найменших квадратів;

2. дати економічну інтерпретацію одержаних параметрів;

3. визначити коефіцієнт еластичності та пояснити його;

4. обчислити показники тісноти зв’язку між результативною ознакою та чинником (коефіцієнт та індекс кореляції), перевірити на суттєвість коефіцієнт кореляції, пояснити їх;

5. перевірити суттєвість параметрів моделі та побудувати інтервали довіри для параметрів узагальненої економетричної моделі.

Розв’язання практичної роботи:

Вихідні і розрахункові дані для побудови економетричної моделі

табл. 1.1X№ п∕п	хі	уі	хі²	уі²	хіуі	хі - х	уі – у	(хі - х )²	(хі – х )*	ŷі	ui	ui²	(уі - y )²	(ŷі – y )²	ŷі – y
									(уі – у)
1	7,4	5,1	54,76	26,01	37,74	-8,48	-1,26	72,03	114,82	5,41	-0,31	0,09	1,59	0,9	-0,95
2	13,4	4,5	179,56	20,25	60,3	-2,48	-1,86	6,18	21,46	6,08	-1,58	2,51	3,47	0,08	-0,28
3	15,4	5,4	237,16	29,16	83,16	-0,48	-0,96	0,23	0,22	6,3	-0,91	0,82	0,93	0,0030	-0,05
4	17,6	5,8	309,76	33,64	102,08	1,71	-0,56	2,93	0,92	6,55	-0,75	0,57	0,32	0,04	0,2
5	17,3	6,2	299,29	38,44	107,26	1,41	-0,16	1,99	0,05	6,52	-0,32	0,10	0,03	0,02	0,2
6	18,4	7,2	338,56	51,84	132,48	2,51	0,83	6,31	4,42	6,64	0,56	0,31	0,7	0,08	0,3
7	10,4	7,8	108,16	60,84	81,12	-5,48	1,43	30,11	62,22	5,74	2,05	4,21	2,07	0,38	-0,61
8	13,5	5,2	182,25	27,04	70,2	-2,38	-1,16	5,7	7,7	6,09	-0,89	0,80	1,35	0,07	-0,27
9	15,2	5,7	231,04	32,49	86,64	-0,68	-0,66	0,47	0,21	6,28	-0,58	0,34	0,44	0,01	-0,08
10	17,1	6,8	292,41	46,24	116,28	1,21	0,43	1,47	0,28	6,49	0,30	0,09	0,19	0,02	0,13
11	18,3	6,7	334,89	44,89	122,61	2,41	0,33	5,82	0,66	6,63	0,07	0,004	0,11	0,07	0,27
12	11,4	7,1	129,96	50,41	80,94	-4,48	0,73	20,13	10,95	5,86	1,24	1,54	0,54	0,25	-0,5
13	16,2	6,1	262,44	37,21	98,82	0,31	-0,26	0,09	0,01	6,39	-0,29	0,09	0,07	0,001	0,03
14	19,8	7,2	392,04	51,84	142,56	3,91	0,83	15,31	10,74	6,79	0,4	0,16	0,70	0,19	0,44
15	20,4	6,9	416,16	47,61	140,76	4,51	0,53	20,36	5,88	6,86	0,03	0,0001	0,29	0,25	0,5
16	22,4	8,1	501,76	65,61	181,44	6,51	1,73	42,41	128,03	7,09	1,009	1,02	3,02	0,53	0,73
∑	254,20	101,80	4270,20	663,52	1644,39	0,00	0,00	231,60	368,61	101,79	0,01	12,66	15,82	2,89	-0,01
Сер.зн.	15,88	6,36	266,88	41,47	102,77	х	х	14,47	23,03	6,36	х	х	0,98	0,18	х

Система нормальних рівнянь:

nâ₀ + â₁∑х_i =Σ y_i ; 16â0 + â1 * 254,20 = 101,80;

â₀ ∑х_i + â₁∑х_i ²= Σ y_i x_i ; â0 * 254,20 + â1 * 4270,20 = 1644,39;

a0 = ȳ - a1 * x̄

a0 = 6,3625 - 0,111799 * 15,8875

a0 ≈ 6,3625 - 1,7766

a0 ≈ 4,5859

a1 = (Σхіуі - n * x̄ * ȳ) / (Σхі² - n * x̄²)

a1 = (1644,39 - 16 * 15,8875 * 6,3625) / (4270,20 - 16 * (15,8875)²)

a1 = (1644,39 - 1617,2) / (4270,20 - 4027,213)

a1 = 27,19 / 242,987

a1 ≈ 0,111799

Економетрична модель має вигляд (для фактичних значень незалежної змінної)

Y = 3,8 + 0,5 x + u.

Скориставшись альтернативним способом обчислення за допомогою відхилень середніх арифметичних, одержимо:

â₁ = = 27,19 / 242,987 ≈0,111799,

де â₀ знаходиться з рівняння :

â₀ = - â₁ х = 6,3625 - 0,111799 * 15,8875 = 4,5859.

Оскільки вільний член моделі â₀ ≠ 0 то рівень витрат на одиницю продукції не є строго пропорційним до рівня фондомісткості, â₁ = 0,1 показує, що граничне збільшення витрат при зростанні фондомісткості продукції на 1 ум. од. становить 0,1 ум. од.

Еластичність витрат щодо фондомісткості продукції визначається коефіцієнтом еластичності :

Е = / ;

∆y = максимальне значення y - мінімальне значення y;

∆x = максимальне значення x - мінімальне значення x;

∆y = 7,8 - 4,5 = 3,3;

∆x = 22,4 - 7,4 = 15,0;

E = (3,3 / 6,3625) / (15,0 / 15,8875) ≈ (0,5189) / (0,9441) ≈ 0,5505

Значення цього коефіцієнта слід тлумачити так : при збільшенні фондомісткості продукції на 1 % витрати на одиницю продукції зростуть на 0,55 %.

Залишки обчислюються згідно з рівністю :

u_i = y_i – ŷ_i.

Оцінка дисперсії залишків подається так :

= = 12,66/ (16 - 2) ≈ 0,904285714.

Для залишків u_i можна задати певну функцію закону розподілу, наприклад функцію нормального розподілу.

Оцінкою коефіцієнта кореляції є вибірковий коефіцієнт кореляції, який можна обчислити за формулою :

r = ;

= (∑x² / n) - (x̄)² = (4270,20 / 16) - (15,8875)² = 266,2625 - 252,20066406 ≈ 14,06183594; = 17,8258;

= σ²y = (∑y² / n) - (ȳ)² = (663,52 / 16) - (6,3625)² = 41,595 - 40,45964063 ≈ 1,135359375; =9,0532 ;

r = = (1644,39 / 16 - 15,8875 * 6,3625) / (√14,06183594 * √1,135359375) ≈ 1,69367187 / 3,99416432 ≈ 0,4239571.

Оскільки коефіцієнт кореляції додатній зв’язок між досліджуваними ознаками прямий. Він прямує до 0,5, а це свідчить про про не тічний зв’язок між ознаками.

Вибірковий коефіцієнт кореляції є точковою оцінкою коефіцієнта кореляції і тому потребує перевірки. Вона базується на критерії Стьюдента за формулою :

t= ,

де r −вибірковий коефіцієнт кореляції; n-m− число ступенів вільності.

Якщо t › t_{табл. α} , де t_{табл. α} − відповідне табличне значення t розподілу з (n –m) ступенями вільності, то можна зробити висновок про значущість коефіцієнта кореляції між залежною і незалежною змінними моделі. Для нашого прикладу :

t= = 0,4239571 * √((16 - 2) / (1 - (0,4239571)²)) = 0,4239571 * √(17,0731707317) ≈ 0,4239571 * 4.13306918913 ≈ 1.7523501595.

Табличне значення t − критерія для рівня значущості α =0,05 і n−m=14 ступенів вільності дорівнює 2,145. Оскільки t < t_{табл. α} робимо висновок, що коефіцієнт кореляції є значущим і зв’язок між x та y не існує.

Для аналізу якості опису існуючої залежності між двома ознаками часто використовують індекс кореляції. Він розраховується за формулою :

= √2,8947/15,81750 = 0,427792≈0,98.

Оскільки коефіцієнт кореляції прямує до 0,5 робимо висновок, що між досліджуваними ознаками існує не тісний зв’язок. Виконується рівність між коефіцієнтом кореляції r і індексом кореляції η, що підтверджує наявність прямого лінійного, тісного зв’язку між досліджуваними ознаками.

Перевірку гіпотези про значущість параметрів економетричної моделі можна виконати згідно з t- критерієм:

t_j= .

Обчислене значення t- критерію порівнюється з табличним для вибраного рівня довіри і n-m ступенів вільності. Якщо t_факт> t_табл, то відповідний параметр економетричної моделі є достовірним.

Дисперсії параметрів економетричної моделі можна визначити за формулами:

= = (0,9043 * 4270,20) / (16 * 4270,20 - 254,20²) = ≈ 3870,3832 / (68323,2 - 64516,8) ≈ 3870,3832 / 3812,4 ≈ 1,04209; =1,02083;

= = ≈ 0,0039075903, =0,0625107.

Отже, перевіримо гіпотези про значущість оцінок параметрів моделі побудованої на основі вихідних даних, наведених у табл.. 1

t₁= = (0,111799- 0) / 0,0625107 = 1,78848;

t₀= = (4,5859 - 0) / 1,02083 = 4,49232.

Якщо ступінь вільності n-m =16-2=14 і рівень значущості α=0,05 t_табл=2,145. Оскільки t_1факт < t_табл , то параметр â₁ є не значущим, t_0факт > t_{табл ,} то параметр â₀ є значущим.

Для того, щоб визначити, як параметри і , розраховані за методом НМК, тісно пов’язані з параметрами а₀ і а₁ генеральної сукупності, потрібно побудувати інтервали довіри для параметрів узагальненої економетричної моделі. Тобто такі інтервали, в які з заданою ймовірністю попадають їхні значення. Для цього спочатку розрахуємо t- статистику для кожного з параметрів:

.

Далі вибираємо рівень значущості α, або рівень довіри, який дорівнює . Знаходимо табличне значення t-критерію t_α для ступенів вільності (n-m). Тоді можна записати так: ймовірність того, що t-статистики попадають в інтервал t_α :

, , тоді

; ; – інтервал довіри для параметру економетричної моделі.

Зробимо відповідні розрахунки за даними нашого прикладу: t_α= t_0,05(14)=2,145, ; ; =1,02083; =0,0625107.

Тоді інтервали довіри будуть мати вигляд:

0,5-2,145*0,0625107 < а₁< 0,5+2,145*0,0625107

0,5-0,1340854515 < а₁ < 0,5+0,1340854515

0,3659 < а₁ < 0,634

3,8-2,145*1,02083 < а₀ < 3,8+2,145*1,02083

3,8-2,18968035< а₀ < 3,8+2,18968035

1,61031< а₀ < 5,9896.

Рис. 1 «Графічне зображення економетричної моделі»