Добавил:

CYBER_DEMON Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Петербургский государственный университет путей сообщения им. императора Александра I

Предмет:

Прикладная математика

Файл:

КР_1 1 курс 1 семестр [заочка]

.docx

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2024

Размер:

260.51 Кб

Скачать

☆

Контрольная работа №1

1.01 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера. Сделать проверку.

Для решения системы по правилу Крамера найдем следующие определители:

Так как данный определитель не равен нулю, то данная система имеет единственное решение, а значит система совместна.

Тогда решение системы находим по формулам:

x = ; y =

2) Для решения системы методом Гаусса рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:

= [ умножим первую строчку на -3, вторую на 5 и сложим их] =

Т.к. ранг расширенной системы совпадает с рангом системы и равен 2, то система имеет решение.

Тогда получим систему:

Тогда из системы получим решение:

Проверка:

Ответ: х= ,у=

1.11 Решить систему линейных уравнений тремя методами:

А) по формулам Крамера;

Б) методом Гаусса;

В) с помощью обратной матрицы.

Для решения системы по правилу Крамера найдем следующие определители:

Тогда решение системы находим по формулам:

х₁ = = ; х₂= = ; х₃ =

= [ умножим вторую строчку на -2 и сложим с первой, умножим третью строку на -4 и сложим с первой их] = = [умножим вторую строку на 7, третью на 3 и сложим их ] = .

Т.к. ранг расширенной системы совпадает с рангом системы и равен 3, то система имеет решение.

Тогда получим систему:

3) Для решения матричным методом нужно рассмотреть матричное уравнение: AX = B, где A = , X = , B = . Тогда X = A^-1B. Найдем матрицу A^-1.

Вычислим обратную матрицу .

Тогда A^-1 =

Получим

X = A^-1B = = .

Ответ: х₁ = -4; х₂= -3; х₃ = 1

1.21 При каких А и В система имеет бесчисленное множество решений? Найдите эти решения.

Определитель матрицы должен быть равен нулю:

Для решения системы методом Гаусса рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:

= [ умножим первую строчку на -2 и сложим со второй, умножим первую строку на -4 и сложим с третьей] = = [умножим вторую строку на -11, третью на 3 и сложим их] = .

Тогда , если , то система будет иметь бесконечное множество решений.

.Значит, при А=-2, В=9 система имеет бесчисленное множество решений .

Тогда получим систему: . Пусть , тогда ,

Ответ: , , ,А=-2, В=9

1.31 Даны вектора и . Найти и длину .

Векторное произведение векторов , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой:

Скалярное произведение выражается формулой:

Длина вектора равна

Ответ: или , ,

1.41 Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М(1,2,3), К(-1,3,5), L(0,1,1) в виде Ax+By+Cz+D=0.

или

– искомое уравнение .

Ответ:

1.51 Даны 4 вектора . Вычислить:

1)координаты вектора в базисе ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) .

Векторы образуют базис в пространстве R³ в том случае, если равенство a + b + c = 0 выполняется лишь тогда, когда  =  = = 0.

Рассмотрим это условие:

 (4;5;2)+  (3;0;1) +  (-1;4;2)= (0;0;0) или

Рассмотрим матрицу данной системы и приведем ее к треугольному виду:

Умножим первую строчку на -5, вторую на 4 и сложим их, умножим третью строчку на -2 и сложим с первой; умножим третью строку на 15 и сложим их .

Так как число ненулевых строк в треугольной матрице равно числу переменных, то система имеет единственное решение, а именно  =  =  . Значит, векторы a, b, c образуют базис. Вектор d в базисе a, b, c имеет вид:

₁a + ₁b + ₁c= d.

В расширенном виде:

Рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду (см. предыдущие действия):

Получим систему:

Значит, вектор d в базисе a, b, c имеет координаты d( ;4;3).

Найдем скалярное произведение :

Найдем скалярное произведение :

Векторное произведение двух векторов а= {a_x; a_y; a_z} и b = {b_x; b_y; b_z} в декартовой системе координат - это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:

Ответ: 1) d( ;4;3); 2)14; 3)39; 4)-659;5) ; 6) ;

7)115

1.61 Даны вершины треугольника А, В, С. Найти:

1) длину стороны АВ;

2) уравнение стороны АВ;

3) длину медианы АМ;

4) уравнение медианы АМ;

5) уравнение высоты ВН;

6) длину высоты ВН;

7) площадь треугольника;

8) угол ВАС (в градусах);

9) уравнение высоты, параллельной стороне ВС и проходящей через точку А.

В ответах надо приводить уравнения прямых в виде y=kx+b. Все вычисления проводить с двумя знаками после запятой.

А(1,1), В(4,3), С(-4,2)

1) Длина АВ равна

2) Прямая, проходящая через точки А и В:

3) Найдем середину стороны ВС: Точка M имеет координаты: ( ; ) = (0;5/2). Длина АМ равна

4) Медиана, проходящая через точки А и М:

5) Найдем уравнение перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую AC.

Прямая, проходящая через точки А и C:

Уравнение ВН представляется в виде

Длина перпендикуляра ВН равна

Длина АС равна

Площадь треугольника будет равна

ед²

Для нахождения внутреннего угла необходимо знать уравнения прямых, образующих этот угол.

Прямая, проходящая через точки А и В:

Прямая, проходящая через точки А и С:

Тогда, если cos(BAC) равен

Прямая, проходящая через точки С и В:

Тогда уравнение прямой параллельной стороне ВС будет выглядеть так: . Подставим точку А:

Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 2,55; 7) ; 8) ; 9) .

1.71 Написать уравнение плоскости в виде Ax+By+Cz+D=0, проходящей через точку М(1,2,3) параллельно векторам и .

Пусть необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М₀(x₀, y₀, z₀) и параллельную заданным векторам и . Считаем, что такая плоскость построена, возьмем произвольную точку М(x,y,z) этой плоскости и составим вектор . При любом расположении точки М, векторы компланарны, т.е. их смешанное произведение равно 0. Запишем это условие в векторной форме: . Запишем в координатной форме:

Для нашего случая получим:

уравнение искомой плоскости.

Ответ:

1.81 Даны вершины пирамиды SPMN. Найти следующие величины.

1). Длину ребра SN.

2) Уравнение ребра SN.

3) Уравнение грани SPN.

4) Площадь грани SPN.

5) Уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань PMN.

6) Длину высоты, опущенной из вершины S на грань PMN.

7) Угол между ребрами SP и SN (в градусах).

8) Угол между ребром SP и гранью PMN (в градусах).

9) Объем пирамиды SPMN.

S (1,0,0), P (0,1,0), M (0,0,2), N (0,4,-1)

1) Длина ребра SN равна расстоянию между этими точками, которое находится по формуле :

2) Уравнение прямой SN имеет вид: , где (x₀;y₀;z₀ ) – координаты точки, через которую проходит прямая, а (l;m;n) – координаты направляющего вектора. За координаты (x₀;y₀;z₀ ) можно выбрать координаты точки S, а за направляющий вектор взять вектор SN

- уравнение SN.

3) Уравнение грани SPN получим как уравнение плоскости, проходящей через три точки, а именно

или

– Уравнение грани SPN

4) SP =(0-1;1-0;0-0)=(-1;1;0)

SN =(0-1;4 -0;-1-0)=(-1;4;-1)

Площадь грани SPN будет равна

ед²

5) Уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань PMN

Высота, опущенная из вершины S на грань PMN имеет своим направляющим вектором нормальный вектор плоскости PMN , а значит найдем его.

Уравнение грани PMN получим как уравнение плоскости, проходящей через три точки, а именно

или

– Уравнение грани PMN

Тогда - уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань PMN в симметричном виде.

6) Длину высоты, опущенной из вершины S на грань PMN вычислим следующим образом:

ед

Угол между рёбрами SP и SN равен углу между векторами SP и SN.

SP =(0-1;1-0;0-0)=(-1;1;0)

SN =(0-1;4 -0;-1-0)=(-1;4;-1)

Тогда, если φ угол между векторами SP и SN, то

Тогда

Угол между ребром SP и гранью PMN найдём следующим образом: для начала узнаем уравнение грани PMN, затем выпишем нормальный вектор этой грани, найдём угол между нормалью к грани PMN и вектором SP. Тогда искомый угол между гранью PMN и вектором SP есть разность 90⁰ и полученного последнего угла.

– уравнение грани PMN, SP =(0-1;1-0;0-0)=(-1;1;0)

Значит, нормальный вектор будет иметь координаты N=(-5;0;0). Найдём угол между нормалью к грани PMN и вектором SP.