Лабораторная работа № 5.1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ ПРИ ПОМОЩИ

ПРОЗРАЧНОЙ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ

Задание: определить длины волн света, излучаемого источником оптического излучения со сплошным спектром.

Приборы и принадлежности: дифракционная решетка, установка для измерения длины световой волны, источник сплошного спектра.

Элементы теории

Явление отклонения от законов геометрической оптики при распространении световых волн вблизи препятствий называется дифракцией света. Оно хорошо наблюдается при прохождении световых волн через узкие отверстия или около малых преград, соизмеримых с их длиной волны. Дифракция света имеет место также при отражении световых волн от препятствий, сравнимых с длиной волны света. Большое практическое значение имеет дифракция, наблюдаемая при падении света на дифракционную решетку. Дифракционная решетка является оптическим устройством, представляющим собой совокупность большого числа регулярно расположенных штрихов (канавок, щелей, выступов), нанесенных тем или иным способом на плоскую или вогнутую оптическую поверхность. Такие решетки называются одномерными дифракционными решетками.

Фронт световой волны, падающей на дифракционную решетку, разбивается ее штрихами на отдельные когерентные пучки, которые, претерпев дифракцию на штрихах, интерферируют. В результате интерференции образуется пространственное распределение интенсивности света, зависящее от длины световой волны. Эта зависимость позволяет разлагать падающее немонохроматическое излучение в спектр и использовать дифракционную решетку для изучения спектрального состава оптического излучения.

Существуют отражательные и прозрачные дифракционные решетки. На решетках первого типа штрихи нанесены на зеркальную (металлическую) поверхность, и результирующая интерференционная картина образуется в отраженном от решетки свете. На решетках второго типа штрихи нанесены на прозрачную (стеклянную) поверхность, и интерференционная картина образуется в проходящем свете.

Если штрихи нанесены на плоскую поверхность, то такие дифракционные решетки называются плоскими одномерными, если на вогнутую – вогнутыми одномерными решетками.

Для изучения дифракции микрочастиц (электронов, нейтронов, атомов и др.) используют двумерные отражательные дифракционные решетки, роль которых играют поверхностные слои монокристаллов (монослои). Дифракция микрочастиц может быть понята здесь лишь на основе квантовомеханических представлений о микрочастице как о волне (волне де Бройля).

Дифракция рентгеновских лучей (λ ~ 10^-10 м), обладающих высокой проникающей способностью, наиболее ярко выражена в кристаллах, являющихся естественными трехмерными дифракционными решетками отражательного типа. Атомы и молекулы, расположенные в узлах кристаллической решетки кристалла, образуют трехмерную периодическую структуру. Расстояния между рассеивающими центрами (атомами или молекулами в узлах кристаллической решетки) сравнимы с длиной волны рентгеновского излучения. Это явление используется для изучения строения молекул и кристаллов.

Общим условием дифракции волн любой природы является соизмеримость длины падающей волны λ с расстоянием d между штрихами (рассеивающими центрами): λ ≤ d. Поэтому при работе в различных областях спектра используются дифракционные решетки с различным периодом d, а следовательно, различным числом штрихов на 1 мм.

Вначале более подробно рассмотрим дифракцию плоской монохроматической световой волны от одной щели шириной b при нормальном падении волны.

Параллельный пучок света, пройдя через щель на непрозрачном экране Э₁, дифрагирует под разными углами вправо и влево от первоначального направления падения лучей. Линза Л собирает параллельные пучки дифрагированных лучей в соответствующих точках экрана Э₂, расположенного в ее фокальной плоскости. Недифрагированные лучи (штриховые линии) соберутся в точке Р₀, а лучи, дифрагированные, например, влево под углом φ (сплошные линии), соберутся в точке Р_φ.

Поскольку фронт плоской волны совмещен с плоскостью щели, то все точки фронта будут колебаться с одинаковой фазой. Разобьем фронт волны в плоскости щели от точки А до точки В на полоски равной ширины, параллельные краям щели. Каждая полоска будет играть роль вторичного источника световых волн. Вследствие идентичности полосок амплитуды волн, создаваемых каждой полоской, будут одинаковыми.

Ширину элементарной полоски обозначим через dx. Она возбуждает колебания, описываемые уравнением , где С – постоянная величина. Если амплитуду падающей волны, соответствующей всей ширине щели, обозначим через А₀, то , откуда , следовательно, амплитуда колебания dA₀, возбуждаемого зоной шириной dx в любой точке экрана, имеет вид

, (1)

а возмущение, вызванное каждой полоской, определяется выражением

. (2)

Поскольку линза не вносит добавочной разности хода, то распределение фазы волны в точке Р_φ будет таким же, как и в плоскости AF, образующей с плоскостью щели угол φ. Возмущение, обусловленное произвольной полоской шириной dx, расположенной на расстоянии x от точки А в плоскости AF, выразится уравнением

_. (3)

Поскольку волны, возбуждаемые каждой полоской, являются когерентными, то результирующее возмущение в точке Р_φ определим интегрированием выражения (3) по всей ширине щели от нуля до b:

. (4)

Таким образом, амплитуда результирующего возмущения в точке Р_φ имеет вид:

. (5)

Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды. Следовательно, в соответствии с (5) имеем:

. (6)

Здесь I₀ – интенсивность света, идущего от всей щели в направлении φ = 0, т.е. в направлении распространения фронта падающей на щель плоской волны.

График функции (6) изображен на рис. 2. По оси абсцисс отложены значения sinφ, по оси ординат – интенсивность I_φ.

Для точки Р₀, лежащей против центра линзы, φ = 0. Подстановка этого значения в формулу (5) дает для амплитуды значение, равное А₀. При значениях φ, удовлетворяющих условие: , т.е. в случае, если

(m = 1, 2, 3, …), (7)

амплитуда А_φ обращается в нуль. Таким образом, условие (7) определяет положение минимумов интенсивности.

Рассмотрим одномерную прозрачную дифракционную решетку. Она представляет собой стеклянную пластину, на которой с помощью делительной машины нанесен ряд параллельных штрихов, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга. Места, прочерченные делительной машиной, рассеивают свет по всем направлениям. Поэтому штрихи являются практически непрозрачными полосами пластины. Свет пропускают лишь прозрачные полосы (щели) пластины, расположенные между соседними штрихами. Практически длина такой щели во много раз больше ее ширины.

На рис. 3 выделены две соседние щели АВ и CD дифракционной решетки. Если ширина каждой щели равна b (АВ = b), а ширина непрозрачных участков между щелями - а (ВС = а), то величина d=a+b называется постоянной (периодом) дифракционной решетки. Пусть плоская монохроматическая волна падает нормально к плоскости решетки. Так как щели находятся друг от друга на одинаковых расстояниях, то разности хода лучей, идущих от двух соседних щелей, будут для данного направления φ одинаковы в пределах всей дифракционной решетки:

Δ = CF = (a+b) sin φ = d sin φ. (8)

Рис. 3.

Очевидно, что каждая из щелей даст на экране картину, описываемую кривой, показанной на рис. 2, т.е. и при двух щелях прежние (главные) минимумы интенсивности будут наблюдаться в направлениях, определяемых тем же условием (7).

Кроме того, вследствие взаимной интерференции световых лучей, идущих от двух щелей, в некоторых направлениях они будут гасить друг друга, т. е. возникнут дополнительные минимумы, которые будут наблюдаться в направлениях, соответствующих разности хода лучей λ/2, 3λ/2, ..., идущих, например, от крайних левых точек А и С обеих щелей. Таким образом, с учетом (8) имеет место условие дополнительных минимумов:

, (9)

где m – порядок максимума.

Наоборот, действие одной щели будет усиливать действие другой, если

d sin φ = ± 2m (λ/2) = ±mλ (m = 0, 1, 2, ...), (10)

т. е. выражение (10) определяет условие главных максимумов.

Таким образом, полная дифракционная картина для двух щелей определяется условиями:

главные минимумы

b sin φ = λ, 2λ, 3λ, …;

дополнительные минимумы

d sin φ = λ/2, 3λ/2, 5λ/2, …;

главные максимумы

d sin φ = 0, λ, 2λ, 3λ, …,

т. е. между двумя главными максимумами располагается один дополнительный минимум. Аналогично можно показать, что между каждыми двумя главными максимумами при трех щелях располагается два дополнительных минимума, при четырех щелях — три и т. д.

Если дифракционная решетка состоит из N щелей, то условием главных минимумов является условие (7), условием главных максимумов — условие (10), а условием дополнительных минимумов

d sin φ = ± m' λ/N (m' = 1, 2, …, N – 1, N +1, …, 2N – 1, 2N + 1, …), (11)

где m' может принимать все целочисленные значения, кроме 0, N, 2N, ..., т. е. кроме тех, при которых условие (11) переходит в (10). Следовательно, в случае N щелей между двумя главными максимумами располагается N – 1 дополнительных минимумов, разделенных вторичными максимумами, создающими весьма слабый фон.

На рис. 4 качественно представлена дифракционная картина от восьми

щелей. Для направлений, удовлетворяющих соотношению (10), результирующая волна для решетки из N щелей будет иметь амплитуду А, равную N амплитудам А_φ волн, дифрагированных от каждой щели в данном направлении φ, т.е. . Тогда интенсивность I света в точках главных максимумов на экране будет в N² раз больше интенсивности, создаваемой одной щелью:

. (12)

Так как модуль sinφ не может быть больше единицы, то из (10) следует, что число главных максимумов (порядков спектра)

m ≤ d / λ

определяется отношением периода решетки к длине волны.

Чем больше щелей содержит решетка, тем большая световая энергия пройдет через нее и тем более яркими и узкими будут максимумы дифракционной картины на экране.

Положение главных максимумов зависит от длины волны λ (см. (10)).

На рис. 5 показаны спектры, полученные при пропускании сквозь

Рис. 5.

дифракционную решетку последовательно красного, фиолетового и белого света (период решетки d = 2,5 ∙ 10^-6 м, что соответствует 400 штрихам на один миллиметр). Из рисунка видно, что при пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме центрального (m = 0), разложатся в спектр, фиолетовая область которого будет обращена к центру дифракционной картины, красная — наружу. С увеличением m (порядка спектра) интенсивность уменьшается, а сами порядки спектров, начиная со второго, накладываются друг на друга (т.е. перекрываются). На рис.5 для наглядности третьи порядки смещены вниз относительно вторых, а четвертые порядки смещены вниз относительно третьих. Перекрытие спектров более высоких порядков объясняется тем, максимумы более коротких длин волн попадают в те же места, что и максимумы более длинных волн в спектрах других порядков.

При пропускании сквозь решетку красного и фиолетового цветов света все максимумы, кроме центрального, будут узкими (в виде отдельных цветных линий). Положение этих максимумов соответствует цвету этих линий в порядках белого света. Современные дифракционные решетки (до 1800 штрихов на миллиметр длины) дают растянутые спектры. На (рис. 6) показан спектр, полученный с помощью решетки, имеющей 1800 штрихов на миллиметр длины.

Дифракционные решетки используются для исследования спектрального

Рис. 6.

состава света (определения длин волн и интенсивностей всех монохроматических компонентов). Таким образом, дифракционная решетка может быть использована как спектральный прибор.

Дифракционные решетки, используемые в различных областях спектра, различаются размерами, формой, материалом поверхности, профилем штрихов и их частотой (от 1800 до 0,25 штрих/мм, что позволяет перекрывать область спектра от ультрафиолетовой его части до инфракрасной). Например, ступенчатый профиль решетки позволяет концентрировать основную часть падающей энергии в направлении одного определенного ненулевого порядка.

Спектральный состав излучения атомов различных веществ весьма разнообразен. Тем не менее, все спектры можно разделить на три сильно отличающихся друг от друга типа.

Непрерывные (сплошные) спектры. В непрерывном спектре излучения (рис. 6 и рис. 7,1) представлены волны всех длин. В спектре нет разрывов, и на экране спектрографа можно видеть сплошную разноцветную полосу с плавным переходом от одного цвета к другому.

Непрерывные (или сплошные) спектры дают тела, находящиеся в твердом или жидком состоянии, а также сильно сжатые газы. Для получения непрерывного спектра нужно нагреть тело до высокой температуры. Характер непрерывного спектра и сам факт его существования определяются не только свойствами отдельных излучающих атомов, но и в сильной степени зависят от взаимодействия атомов друг с другом. Непрерывный спектр дает также высокотемпературная плазма. Электромагнитные волны излучаются плазмой в основном при столкновении электронов с ионами.

Линейчатые спектры. Линейчатые спектры излучения (рис. 7: 2,3,4) представляют собой набор цветных линий различной яркости, разделенных широкими темными полосами. Наличие линейчатого спектра означает, что вещество излучает свет только вполне определенных длин волн (точнее, в определенных очень узких спектральных интервалах). Каждая из линий имеет конечную ширину. Линейчатые спектры дают все вещества в газообразном атомарном (но не в молекулярном) состоянии. Изолированные атомы химического элемента излучают строго определенные длины волн, характерные данному химическому элементу. Природа линейчатых спектров объясняется тем, что у атомов конкретного вещества существуют только ему свойственные стационарные состояния со своим набором энергетических уровней.

Оптические спектры

Спектры испускания

400 450 500 550 600 700 (нм)

(1−сплошной; линейчатые: 2−натрия; 3−водорода; 4−гелия)

Рис. 7

Полосатые спектры

а)

Cпектр испускания паров молекул иода

б)

Спектр испускания угольной дуги (полосы молекул CN и С₂)

Рис.8

Спектры поглощения

400 450 500 550 600 700 (нм)

(5−солнечный; линейчатые: 6−натрия; 7−водорода; 8−гелия)

Рис. 9

Обычно для наблюдения линейчатых спектров используют свечение паров вещества в пламени или свечение газового разряда в трубке, наполненной исследуемым газом. При увеличении плотности атомарного газа отдельные спектральные линии расширяются и, при очень большой плотности газа, когда взаимодействие атомов становится существенным, эти линии перекрывают друг друга, образуя непрерывный спектр.

Полосатые спектры. Полосатые спектры излучения состоят из отдельных полос, разделенных темными промежутками (рис 8: а), б).

С помощью очень хорошего спектрального прибора можно обнаружить, что каждая полоса представляет собой совокупность большого числа очень тесно расположенных линий. В отличие от линейчатых спектров полосатые спектры создаются не атомами, а молекулами, не связанными или слабо связанными друг с другом.

Спектры поглощения. Если пропускать белый свет сквозь холодный, неизлучающий газ, то на фоне непрерывного спектра источника появляются темные линии поглощения (рис. 9). Газ поглощает наиболее интенсивно свет как раз тех длин волн, которые он испускает в сильно нагретом состоянии. Темные линии на фоне непрерывного спектра - это линии поглощения, образующие в совокупности спектр поглощения. Спектры поглощения могут быть непрерывными, линейчатыми и полосатыми.

Атом, поглощая свет, переходит из основного состояния в возбужденное, причем для возбуждения атомов пригодны строго определенные кванты энергии , соответствующие данному газу. Поэтому газ поглощает из непрерывного спектра те самые кванты света, которые может излучать сам.

Методика эксперимента и описание установки

В данной работе применяется дифракционная решетка в установке для измерения длины световой волны (рис. 10). Установка состоит из деревянного бруска 1 длиной 53.2 см, на верхней стороне которого нанесена шкала с миллиметровыми делениями, на боковых сторонах бруска сделаны пазы по всей длине. Посередине бруска снизу прикреплена металлическая скоба 2, с которой шарнирно соединен металлический стержень 3, позволяющий закрепить брусок под разными углами с помощью винта 4.

К торцу передней части бруска прикреплена рамка 5, в которую вставляется дифракционная решетка 9, имеющая 100 штрихов на 1 мм. С другого конца на брусок надевается ползунок с вертикальным экраном 6, лапки которого могут перемещаться в пазах бруска по всей длине.

Согласно (10), измеряя углы, соответствующие положениям дифракционных максимумов, можно, зная d, определить длину волны света по формуле: . (13)

Рис. 10

Верхняя часть экрана окрашена в серый цвет, а на его нижней части находится шкала 7 с миллиметровыми делениями. Нуль шкалы расположен в середине щитка. Сантиметровые деления отмечены порядковыми цифрами вправо и влево от нуля. Над нулевым делением в экране сделано небольшое прямоугольное окно 8, оканчивающееся вдоль нулевого деления шкалы прорезью.

Рейку устанавливают на уровне глаз. Штрихи дифракционной решетки должны быть параллельны щели в щитке, а источник света устанавливается против щели. При наблюдении сквозь дифракционную решетку на сером фоне по обе стороны окна в щитке будут видны дифракционные спектры, которые расположены симметрично относительно щели так, что фиолетовая часть каждого спектра обращена к середине шкалы. При решетке со 100 штрихами на 1 мм обычно видны спектры первого, второго и третьего порядков, считая от окна в экране.

Поворачивая источник света или решетку, добиваются параллельного расположения спектров.

В спектрах первого порядка, расположенных по обе стороны от окна в экране, отсчитывают расстояние l от середины шкалы до крайних фиолетовых или крайних красных лучей. Если полученные значения l для левого и правого спектров отличны, то находят их среднее значение, т.е. , k_m и l_m – деления шкалы против правой и левой линии m-го порядка.

По шкале на рейке определяют расстояние L от щитка до дифракционной решетки, которая расположена на нулевом делении шкалы. Частное от деления l на L равно тангенсу угла, под которым виден этот луч. Поскольку угол φ достаточно мал, то можно допустить, что tgφ≈sinφ. Тогда sinφ=l/L и выражение (13) можно записать в виде:

. (14)

Для решетки с количеством штрихов N на единицу длины период дифракционной решетки d определяется по формуле:

. (15)

С учетом формулы (14) выражение (10) можно записать в виде:

. (16)

Для получения более точных результатов измерения необходимо величину L брать возможно большим и передвигать ползунок со щитом по рейке до тех пор, пока k_m и l_m не будет равна целому числу, выраженному в миллиметрах.

Цвета и табличные значения длин волн видимого диапазона

Рис. 11.

Порядок выполнения работы

1. Поместите дифракционную решетку в рамку прибора.

2. Включите источник света.

3. Смотря сквозь дифракционную решетку, направьте прибор на источник света так, чтобы последний был виден сквозь узкую прицельную щель экрана. При этом по обе стороны от щели на черном фоне появятся дифракционные спектры нескольких порядков. В случае наклонного положения спектров поверните решетку на некоторый угол до устранения перекоса. Определите положение красной и фиолетовой границы спектра для 1-го и 2-го порядков. Измерьте расстояние от щитка до решетки и рассчитайте длины волн для синего, зеленого и красного цветов по формуле (16).

4. По измеренным и рассчитанным данным заполните таблицу.

Таблица

Порядок cпектра, m	d, м	l, м	Границы спектра		λ, м
			фиолет.	красн.	синий	зеленый	красный
-1
1
-2
2
Ср. знач.

5. Сравните полученные результаты длин световых волн с табличными значениями (рис. 11) и сделайте выводы.

6. Для каждой длины волны определите абсолютную погрешность эксперимента и результат запишите в виде: λ = λ_ср ± 2σ. Абсолютную

погрешность эксперимента рассчитайте по формуле: и

сделайте выводы.

Контрольные вопросы

1. Что называется дифракцией света?

2. Что представляет собой дифракционная решетка? Что называется периодом дифракционной решетки?

3. Запишите условие главных максимумов и главных минимумов при дифракции света на дифракционной решетке?

4. Какая существует зависимость между числом штрихов дифракционной решетки и количеством дополнительных минимумов?

5. Опишите, что будет происходить, если направить нормально на дифракционную решетку пучок белого света?

6. Под каким углом будет наблюдаться первый дифракционный максимум, если дифракционная решетка имеет 100 штрихов на 1 мм длины при падении на нее нормально монохроматического света с длиной волны λ = 680 нм?

7. Максимум какого наибольшего порядка можно наблюдать при помощи дифракционной решетки с числом штрихов 1200 на 1 мм длины при падении на неё нормально монохроматического света с длиной волны

λ = 500 нм? Рассчитать угол дифракции для максимального порядка спектра.