Четырехмерный мир (пространство Минковского)
Пространство Минковского
Определение 1: |
|
|
R (ct, x, y, z) |
четырехвектор события (мировой точки) |
|
R2 c2t2 x2 |
y2 z2 |
квадрат длины |
Компоненты R преобразуются в соответствии с преобразованиями Лоренца
Определение 2:
Четырехскаляром (инвариантом) называется величина, не зависящая от выбора ИСО a a
R2 |
четырехскаляр |
Четырехмерный мир (пространство Минковского)
Пространство Минковского
Определение 3: |
|
A (At , Ax , Ay , Az ) |
четырехвектор |
Компоненты A преобразуются в соответствии с преобразованиями Лоренца
Ax ( Ax At ) |
Ax ( Ax At ) |
|
|
Ay Ay |
Ay Ay |
Az Az |
Az Az |
At ( At Ax ) |
At ( At Ax ) |
|
|
1 |
1 2 , |
V c |
Четырехмерный мир (пространство Минковского)
Пространство Минковского
Свойства четырехвекторов
A2 A2 |
|
A2 |
|
A2 |
|
A2 |
квадрат длины четырехвектора |
t |
|
x |
|
y |
|
z |
|
1.A2 inv четырехскаляр
2. A B |
A B |
Равенство четырехвекторов сохраняется во всех ИСО Четырехвектора можно складывать и умножать на числа как и обычные векторы.
Типы четырехвекторов
1. |
A2 |
0 |
пространственноподобный |
2. |
A2 |
0 |
времениподобный |
3. |
A2 |
0 |
светоподобный |
Четырехмерный мир (пространство Минковского)
Пространство Минковского
Четырехскорость
|
|
dR |
, собственное время материальной точки |
||
V |
d |
||||
|
|
|
|
|
|
dt d |
1 |
1 2 , |
v c |
||
|
|
|
( c, vx , vy , vz ) |
|
|
V dR |
или |
|
|||
|
|
dt |
|
|
|
V( c, v)
V2 2c2 2v2 2c2 (1 v2
c2 ) c2
Четырехмерный мир (пространство Минковского)
Пространство Минковского
Релятивистский закон сложения скоростей
Из преобразований Лоренца для четырехскорости
v |
v |
x |
V |
, |
v |
vy |
|
, v |
v |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
1 vx c |
|
y |
(1 vx |
c) |
z |
(1 vx c) |
||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При малых скоростях V c, v c
v v |
V , |
v v |
, |
v v |
z |
или |
v v V |
x x |
|
y y |
|
z |
|
|
Релятивистский закон сложения скоростей соответствуют второму постулату Эйнштейна о неизменности скорости света c во всех ИСО.
Релятивистская динамика
Нерелятивистский импульс
Если в результате столкновения шаров (тел) движение одного шара "уменьшилось", то движение другого шара "увеличилось".
Поэтому предполагается, что при соударении тел сумма мер движения шаров не меняется.
Закон сохранения импульса (для замкнутых систем)
pi const, |
pi mivi |
Следствия:
1.Закон сохранения массы.
2.Закон сохранение кинетической энергии при абсолютно упругих столкновениях
Релятивистская динамика
Релятивистский импульс
Пусть в релятивистском случае
1.pi const
2.p m(v)v
Упругое столкновение двух одинаковых частиц |
|
|||
|
v1 |
В системе центра масс |
v2 v1 |
|
|
|
|
|
|
|
v1 |
|
|
|
|
|
Импульс частиц равен 0 |
v2 v1 |
|
v2 |
v2 |
Столкновение упругое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 v1, |
v2 v2 |
|
Релятивистская динамика
Релятивистский импульс
4-импульс
P mV ( mc, mv)
m обычная масса |
при v 0 |
mv mv |
В системе центра масс
|
|
|
|
|
(2 mc,0,0,0) (2 mc,0,0,0) |
P |
P |
P P |
|||
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
4-вектор 4-вектор
данное равенство сохраняется во всех ИСО
Релятивистская динамика
Релятивистский импульс
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P1 |
P2 |
P1 P2 |
|
или |
|
|
|
|
( mc mc, |
mv mv ) ( mc mc, |
|||||||
|
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
mv mv )
1 1 2 2
p1 p2 const
p mv релятивистский импульс
Данное выражение импульса единственное совместимое с принципом сохранения импульса при столкновении двух частиц
pi const, |
p mv |
закон сохранения импульса |
|
|
|
Релятивистская динамика
Релятивистский энергия
Определение:
E mc2 |
релятивистский энергия |
|
|
|
|
|
Ei |
|
|
4-импульс системы |
|
|
|
, imivi |
|
c |
|||||
|
|
|
|
Так как в замкнутой системе во всех ИСО сохраняются пространственные компоненты 4-импульса системы
Сохраняется также временная компонента 4-импульса системы, или
Ei const, |
E mc2 |
закон сохранения энергии |
|
|
|