L2-16

8

Л2-16

Замедление времени и сокращение длины. Рассмотрим три важнейших следствия, которые вытекают из постулатов Эйнштейна, – это равенство поперечных размеров движущихся тел в разных системах отсчета, замедление хода движущихся часов и сокращение продольных размеров движущихся тел, а затем обобщим полученные результаты в виде соответствующих формул преобразования координат и времени.

Вначале отметим, что под системой отсчета подразумевается тело отсчета, с которым связаны координатная сетка и система неподвижных одинаковых часов, синхронизированных между собой. Предполагается, что во всех ИСО координатные сетки и часы проградуированы одинаковым образом. Это можно осуществить только с помощью эталонов длины и времени, реализованных также одинаковым образом во всех системах отсчета.

Для этого достаточно использовать какой-либо природный периодический процесс, дающий естественный масштаб как длины, так и времени, например одну из монохроматических волн, испускаемых определенными атомами, неподвижными в данной системе отсчета. Тогда в этой системе отсчета эталоном длины можно взять длину волны, а эталоном времени – соответствующий период колебания. С помощью этих эталонов можно построить эталон один метр как определенное число данных длин волн и эталон одна секунда как тоже определенное число периодов данных колебаний (заметим, что в настоящее время так и сделано).

Аналогичную операцию можно проделать в каждой ИСО, используя одну и ту же монохроматическую волну одних и тех же атомов, неподвижных в каждой из этих систем отсчета. Основанием для этого служит то, что, по принципу относительности, физические свойства покоящихся атомов не зависят от того, в какой ИСО они покоятся.

Имея в каждой системе отсчета эталоны длины и времени, можно перейти к решению такого фундаментального вопроса, как сравнение этих эталонов в разных системах отсчета, или, другими словами, к сравнению размеров тел и течения времени в этих системах.

Равенство поперечных размеров тел. Проделаем следующий мысленный эксперимент. Представим себе две ИСО K и K, оси Y и Y которых параллельны друг другу и перпендикулярны направлению движения одной системы относительно другой (рис.). Причем начало отсчета O K-системы движется по прямой, проходящей через начало отсчета O K-системы. Установим вдоль осей Y и Y стержни OA и OA, являющиеся эталонами метра в каждой из этих систем отсчета. Представим себе далее, что в момент совпадения осей Y и Y верхний конец левого стержня сделает метку на оси Y K-системы. Совпадет ли эта метка с точкой A – верхним концом правого стержня?

Принцип относительности позволяет сразу ответить на этот вопрос: да, совпадет. Если бы это было не так, то с точки зрения обеих систем отсчета один из стержней оказался бы, например, короче другого и, следовательно, имелась бы возможность экспериментально отличить одну из ИСО от другой по более коротким поперечным размерам. Однако это противоречит принципу относительности.

Отсюда следует, что поперечные размеры тел одинаковы во всех ИСО. Это означает также, что при указанном выборе начал отсчета K- и K-систем координаты y и y любой точки или события совпадают, т.е.

. (1)

Это соотношение представляет собой одно из искомых преобразований координат.

Замедление времени. Как уже отмечалось, время измеряется часами, причем под часами имеется в виду любой прибор, в котором используется тот или иной периодический процесс. Поэтому в теории относительности принято говорить о сравнении хода идентичных часов в разных ИСО.

Более просто этот вопрос можно решить с помощью следующего мысленного эксперимента. Возьмем световые часы – стержень с зеркалами на обоих концах, между которыми «бегает» короткий световой импульс. Период таких часов равен интервалу времени между двумя последовательными моментами, когда световой импульс достигает какого-то определенного конца стержня.

Далее, представим себе две ИСО K и K, движущиеся относительно друг друга со скоростью V. Пусть световые часы AB неподвижны в K-системе и ориентированы перпендикулярно направлению ее движения относительно K-системы (рис.). Проследим за «ходом» этих часов системах отсчета K и K.

В K-системе часы неподвижны и их период

, где l – расстояние между зеркалами, c – скорость света.

В K-системе, относительно которой часы движутся, расстояние между зеркалами также l, так как поперечные размеры тел одинаковы в разных ИСО. Однако путь светового импульса в этой системе отсчета будет уже иным – зигзагообразным (рис.). Световой импульс, чтобы вернуться к нижнему зеркалу, проходит в K-системе больший путь, причем с той же скоростью c. Значит, свету понадобится на это больше времени – больше, чем когда часы неподвижны. Другими словами, период движущихся часов удлинится – с точки зрения K-системы отсчета они будут идти медленнее.

Обозначим период движущихся часов через t в K-системе. Из прямоугольного треугольника ABA (рис.) следует, что , откуда

. А так как , то

, (2) где , V – скорость часов в K-системе.

Отсюда видно, что , т.е. одни и те же часы в разных инерциальных системах отсчета идут по-разному: в той системе отсчета, относительно которой часы движутся, они идут медленнее, чем в системе отсчета, где они покоятся. Другими словами, движущиеся часы идут медленнее, чем покоящиеся. Это явление называют замедлением времени.

Время, отсчитываемое по часам, движущимся вместе с телом, в котором происходит какой-либо процесс, называют собственным временем этого тела. Его обозначают . Как следует из (2), собственное время самое короткое. Время того же процесса в другой системе отсчета зависит от скорости V этой системы относительно тела, в котором происходит процесс. Эта зависимость особенно сильно проявляется для значений скорости V, сравнимых со скоростью света.

Таким образом, в отличие от ньютоновской механики течение времени в действительности зависит от состояния движения. Не существует единого мирового времени, и понятие «промежуток времени между двумя данными событиями» оказывается относительным. Утверждение, что между двумя данными событиями прошло столько-то секунд, приобретает смысл только тогда, когда указано, к какой системе отсчета это утверждение относится.

Абсолютное время ньютоновской механики является в теории относительности приближенным понятием, справедливым только при малых (по сравнению со скоростью света) относительных скоростях систем отсчета. Это сразу следует из (2): при .

Итак, мы пришли к фундаментальному выводу: время в системе отсчета, движущейся с часами, течет медленнее (для наблюдателя, относительно которого данные часы движутся). Это относится и ко всем процессам, протекающим в движущихся относительно наблюдателя системах отсчета.

Естественно, возникает вопрос: заметит ли наблюдатель в K-системе, движущейся относительно K-системы, что его часы идут медленнее, чем часы K-системы? Нет, не заметит. Это сразу же следует из принципа относительности. Если бы K-наблюдатель тоже обнаружил замедление времени в своей системе отсчета, то это означало бы, что для обоих наблюдателей – K и K – время течет медленнее в одной из ИСО. Из этого они заключили бы, что одна из ИСО отличается от другой – в противоречии с принципом относительности.

Отсюда следует, что эффект замедления времени является взаимным, симметричным относительно обеих инерциальных систем отсчета K и K. Иначе говоря, если с точки зрения K-системы медленнее идут часы K-системы, то с точки зрения K-системы, наоборот, медленнее идут часы K-системы (причем в том же отношении). Это обстоятельство указывает на то, что явление замедления времени является чисто кинематическим. Оно представляет собой обязательное следствие инвариантности скорости света и никак не может быть приписано какому-либо изменению в свойствах часов, обусловленному их движением.

Формула (2) сразу же нашла экспериментальное подтверждение, объяснив «загадочное» на первый взгляд поведение мюонов при прохождении земной атмосферы. Мюоны – это нестабильные частицы, которые самопроизвольно распадаются в среднем через 210^–6 с (это время измерено в условиях, когда они неподвижны или движутся с малыми скоростями). Мюоны образуются в верхних слоях атмосферы на высоте 20-30 км. Если бы время жизни мюонов не зависело от их скорости, то, двигаясь даже со скоростью света, они не смогли бы проходить путь больше чем

м.

Однако наблюдения показывают, что значительное число мюонов все-таки достигает земной поверхности.

Это объясняется тем, что время 210^–6 с – это собственное время () жизни мюонов, т.е. время по часам, движущимся вместе с мюонами. Время же по земным часам должно быть, согласно (2), гораздо больше (скорость этих частиц близка к скорости света) и оказывается достаточным, чтобы мюоны могли достигнуть поверхности Земли.

В заключение несколько слов о «парадоксе часов», или «парадоксе близнецов». Пусть имеются двое одинаковых часов A и B, из которых часы A неподвижны в некоторой инерциальной системе отсчета, а часы B сначала удаляются от часов A и затем возвращаются к ним. Предполагается, что в начальный момент, когда часы находились вместе, они показывали одно и то же время.

С «точки зрения» часов A движущимися являются часы B, поэтому они идут медленнее и по возвращении отстанут от часов A. С «точки же зрения» часов B, наоборот, движутся часы A, поэтому по возвращении отстанут именно они. Явное противоречие – в этом суть «парадокса».

Парадокс устраняется, если заметить, проблеме присуща внутренняя асимметрия. Часы A всегда остаются в одной и той же ИСО, тогда как часы B, поворачивая обратно, меняют ее. Иными словами часы A принадлежат одной и той же системе синхронизированных часов в отличие от часов B, переходящих при повороте в другую. Детальный расчет показывает, что часы, движущиеся с ускорением (в нашем случае часы B), идут медленнее, поэтому при возвращении отстанут именно они.

Лоренцево сокращение. Пусть стержень AB движется относительно K-системы отсчета с постоянной скоростью V (рис.) и длина стержня равна в системе отсчета K, связанной со стержнем. Определим длину l данного стержня в K-системе.

Проделаем для этого следующий мысленный эксперимент. Сделаем на оси X K-системы метку M и установим около нее часы. Зафиксируем по этим часам время пролета  стержня мимо метки M. Тогда можно утверждать, что искомая длина стержня в K-системе

.

Для наблюдателя, связанного со стержнем, время пролета будет иным. Действительно, для него часы, показавшие пролетное время  движутся со скоростью V, а значит, показывают «чужое» время. «Свое» время пролета для этого наблюдателя будет, согласно (2), больше. Это время можно найти из соотношения

.

Из этих двух уравнений, с учетом (2), получим

, или

, (3) где . Длину измеренную в системе отсчета, где стержень неподвижен, называют собственной длиной.

Таким образом, продольный размер движущегося стержня оказывается меньше его собственной длины, т.е. . Это явление называют лоренцевым сокращением. Заметим, что данное сокращение относится только к продольным размерам тел (размерам в направлении движения), поперечные же размеры, как было установлено, не меняются. Сравнительно с формой тела в системе отсчета, где оно покоится, его форма в движущейся системе отсчета может характеризоваться как сплющенная в направлении движения.

Из формулы (3) следует, что степень сокращения зависит от скорости V. Эта зависимость особенно существенно проявляется для значений скорости V, сравнимых со скоростью света.

Итак, в разных ИСО длина одного и того же стержня оказывается различной. Иными словами, длина – понятие относительное, имеющее смысл только по отношению той или иной системы отсчета. Утверждение, что длина тела столько-то метров, не имеет смысла, пока не указано, к какой именно системе отсчета отнесена эта величина.

При малых же скоростях ( ), как следует из (3) и длина тела приобретает практически абсолютный смысл.

Следует отметить, что лоренцево сокращение, как и замедление времени, должно быть взаимным. Это значит, что если мы будем сравнивать два движущихся относительно друг друга стержня, собственная длина которых одинакова, то с «точки зрения» каждого из этих стержней длина другого стержня будет короче, причем в одинаковом отношении. Если бы это было не так, то имелась бы возможность экспериментально отличить ИСО, связанные с этими стержнями, что, однако, противоречит принципу относительности.

Это говорит о том, что лоренцево сокращение является также чисто кинематическим эффектом – в теле не возникает каких-либо напряжений, вызывающих деформацию.

Подчеркнем, что лоренцево сокращение тел в направлении их движения, равно как и замедление времени, представляет собой реальный и объективный факт, отнюдь не связанный с какими-либо иллюзиями наблюдателя. Все значения размеров данного тела или промежутков времени, полученные в разных системах отсчета, являются равноправными (все они «правильные»), Трудность восприятия этих утверждений связана исключительно с нашей привычкой, основанной на повседневном опыте, считать понятия длины и промежутков времени абсолютными понятиями, когда в действительности это не так. Понятия длины и промежутка времени столь же относительны, как понятия движения и покоя.

Преобразования Лоренца. Рассмотрим фундаментальный вопрос о формулах преобразования координат и времени (имеются в виду формулы, связывающие координаты и моменты времени одного и того же события в разных ИСО).

В ньютоновской механике данный вопрос решался с помощью преобразований Галилея. Напомним, что эти преобразования основаны на предположениях, что длина тел не зависит от движения и время течет одинаково в различных ИСО. Однако как было показано, в действительности это не так: течение времени и длина тел зависят от системы отсчета – выводы, являющиеся неизбежным следствием постулатов Эйнштейна. Поэтому приходиться отказаться от преобразований Галилея, или, говоря точнее, признать, что они – лишь частный случай каких-то более общих преобразований.

Возникает задача отыскания таких формул преобразования, которые, во-первых, учитывали бы замедление времени и лоренцево сокращение, и, во-вторых, переходили бы в предельном случае малых скоростей в преобразования Галилея.

Для этого рассмотрим две инерциальные системы отсчета K и K. Пусть K-система движется относительно K-системы со скоростью V. Направим координатные оси обеих систем отсчета так, как показано на рис.: оси X и X совпадают и направлены параллельно вектору V, а оси Y и Y, Z и Z попарно параллельны друг другу. Установим в разных точках обеих систем отсчета одинаковые часы и синхронизируем их – отдельно часы K-системы и отдельно часы K-системы. И наконец, возьмем за начало отсчета времени в обеих системах момент, когда начала координат O и O совпадают ( ).

Предположим теперь, что в момент времени t (в K-системе) в точке с координатами x, y, z произошло некоторое событие A, например вспыхнула лампочка. Найдем координаты x, y, z и момент времени t этого события в K-системе.

Вопрос относительно координаты y и z был уже решен (см. (1)): и . Поэтому сразу перейдем к нахождению координаты x события. Координата x характеризует собственную длину отрезка OP, неподвижного в K-системе (рис.). Длина же этого отрезка в K-системе, где отсчет производится в момент t, равна . Связь между этими длинами дается формулой (3), согласно которой . Отсюда

. (4)

С другой стороны, координата x характеризует собственную длину отрезка OP, неподвижного в K-системе. Длина же этого отрезка в K-системе, где измерение проводится в момент t, равна . Учитывая опять (3), получим

. (4а)

Полученные формулы позволяют также установить и связь между моментами времени t и t события A в обеих системах отсчета. Для этого достаточно исключить из (4) и (4а) x или x, после чего найдем

, . (5)

Формулы (1), (4), (4а) и (5) называют преобразованиями Лоренца. Они играют фундаментальную роль в теории относительности. По этим формулам осуществляется преобразование координат и времени любого события при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Итак, преобразования Лоренца при переходе от K- к K-системе имеют вид

, , , , (6) а при обратном переходе K- к K-системе

, , , , (7) где , , V –скорость K-системы относительно K-системы.

Следует сразу же обратить внимание на симметрию (одинаковый вид) формул (6) и (7), что является следствием полного равноправия обеих систем отсчета (различный знак при V в этих формулах обусловлен лишь противоположным направлением движения систем K и K относительно друг друга).

Преобразования Лоренца сильно отличаются от преобразований Галилея (Л15-1), однако последние могут быть получены из (6) и (7), если в них формально положить . Что это значит?

Ранее было отмечено, что в основе преобразований Галилея лежит допущение о синхронизации часов с помощью мгновенно распространяющихся сигналов. Из этого обстоятельства вытекает, что величина c в преобразованиях Лоренца играет роль скорости тех сигналов, которые используют для синхронизации часов. Если эта скорость бесконечно велика, то получаются преобразования Галилея; если же она равна скорости света, то – преобразования Лоренца. Таким образом, в основе преобразований Лоренца лежит допущение о синхронизации часов с помощью световых сигналов, имеющих предельную скорость.

Замечательной особенностью преобразований Лоренца является то, что при (и дополнительно ) они переходят в преобразования Галилея (Л15-1). Таким образом, в предельном случае законы преобразования теории относительности и ньютоновской механики совпадают. Это означает, что теория относительности не отвергает преобразований Галилея как неправильные, но включает их в истинные законы преобразования как частный случай, справедливый при . Это отражает общую взаимосвязь между теорией относительности и ньютоновской механикой – законы и соотношения теории относительности переходят в законы ньютоновской механики в предельном случае малых скоростей.

Далее, из преобразований Лоренца видно, что при подкоренные выражения становятся отрицательными и формулы теряют физический смысл. Это соответствует тому факту, что движение тел со скоростью, большей скорости света в вакууме, невозможно. Нельзя даже пользоваться системой отсчета, движущейся со скоростью ; при этом подкоренные выражения обращаются в нуль и формулы также теряют физический смысл. Это значит, что, например, с фотоном, движущимся со скоростью c, принципиально не может быть связана система отсчета. Или иначе: не существует такой системы отсчета, в которой фотон был бы неподвижным.

И наконец, необходимо обратить внимание на то, что в формулы преобразования времени входит пространственная координата. Это важное обстоятельство указывает на неразрывную связь между пространством и временем. Другими словами, речь должна идти не отдельно о пространстве и времени, а о едином пространстве–времени, в котором протекают все физические явления.