L2-17

8

Л2-17

Четырехмерный мир (пространство Минковского).

Интервал. Расстояния и временные промежутки в классической механике являются инвариантными величинами – одинаковыми во всех ИСО. В теории относительности они уже не обладают этим свойством, зато в ней появляется ряд новых инвариантных величин, прежде всего скорость света c. К инвариантам относятся также собственное время, масса покоя, электрический заряд и др. Весьма важной инвариантной величиной является интервал s между двумя событиями, квадрат которого определяется как

, где t – промежуток времени между событиями, r – расстояние между точками, в которых происходят данные события ( ).

В инвариантности интервала можно легко убедиться, вычислив его непосредственно в K- и K-системах отсчета. Воспользовавшись преобразованиями Лоренца (Л16-6) запишем

.

Учитывая, что и , заключаем, что интервал является инвариантной величиной. Инвариантность интервала играет фундаментальную роль в теории относительности и служит весьма эффективным инструментом при анализе и решении многих вопросов.

Типы интервалов. В зависимости от того, какая составляющая в интервале преобладает, пространственная или временная, соответствующие интервалы называют: пространственноподобными ( ), времениподобными ( ). Кроме этих двух типов интервалов существует еще третий – светоподобный ( ).

Если интервал между двумя событиями пространственноподобный, то всегда можно найти такую K-систему отсчета, в которой оба события происходят одновременно ( ).

Если же интервал времениподобный, то всегда можно найти такую K-систему отсчета, в которой оба события происходят в одной точке ( ).

В случае пространственноподобных интервалов , т.е. ни в одной системе отсчета события не могут оказать влияния друг на друга, даже если бы связь между событиями осуществлялась с предельной скоростью c. Иначе обстоит дело в случае времениподобных или светоподобных интервалов, для которых . Следовательно, события, разделенные времениподобными или светоподобными интервалами, могут быть причинно-связанными друг с другом.

Пространство Минковского. В связи с инвариантностью интервала целесообразно не разделять пространство и время, а рассматривать их вместе как четырехмерное пространство-время. Совокупность четырех величин будем рассматривать как четырехвектор события (мировой точки) R в пространстве, называемом пространством Минковского, а величину

как квадрат его длины. Квадрат длины R, как следует из сопоставления его с интервалом, является четырехскаляром (инвариантом). Четырехскаляром (инвариан­том) в общем случае называется величина, не зависящая от выбора ИСО . В свою очередь четырехвектором называется совокупность четырех величин , которая при переходе из одной ИСО в другую преобразуется так же, как и компоненты четырехвектора события, т.е. для компонент четырехвектора A справедливы прямые (и обратные) преобразования Лоренца

, , , , (1а) , , , , (1б) где , .

Нетрудно установить, что квадрат длины четырехвектора является четырехскаляром. Как и интервалы 4-векторы делятся на пространственно­подобные ( ) и времениподобные ( ).

Удобство четырехвекторов состоит в том, что их можно складывать и умножать на числа по правилам, аналогичным правилам действий над векторами в трехмерном пространстве. Точно так же запись означает равенство соответствующих компонент четырехвекторов, причем равенство сохраняется в любой другой ИСО, хотя каждая из компонент при переходе в эту ИСО может измениться.

Аппарат четырехвекторов позволяет наиболее просто и единообразно находить законы преобразования кинематических и динамических величин. Особую роль четырехвектора и четырехскаляры приобретают при формулировке фундаментальных законов природы. Согласно принципу относительности объективные законы физики должны сохранять свою форму во всех ИСО. Это условие автоматически выполняется, если они записываются в четырехвекторной или четырехскалярной форме.

Построение четырехвекторов начнем с 4-скорости и 4-ускорения. Движение материальной точки в пространстве Минковского можно описать в виде функциональ­ной зависимости четырех ее координат (времени и трех пространственных координат) от собственного времени тела

. Естественно тогда определить компоненты 4-скорости как

. Действительно, указанные величины преобразуются как компоненты 4-вектора, поскольку числитель является дифференциалом четырехвектора, а знаменатель – дифференциалом четырехскаляра. Связь дифференциалов собственного времени и времени в ИСО, относительно которой рассматривается движение, имеет вид

, где , а (v – скорость тела). Используя эту связь, раскрываем смысл компонент 4-скорости

, где – компоненты обычной трехмерной скорости v, или в компактном виде

. Квадрат длины 4-скорости является инвариантом равным

.

4-скорость преобразуется при переходе из одной ИСО к другой согласно формулам (1а). Запишем 4-скорость в K- и K-системах соответственно как

, . На основании преобразований Лоренца (1а)

, , , . (2) Из последнего равенства (2) следует, что

. После несложных преобразований остальных выражений (2) получим

, , . (3) Эти формулы выражают релятивистский закон преобразования скоростей. При малых скоростях ( и ) они переходят, как нетрудно убедиться, в формулы преобразования скоростей классической механики

, , , или в векторном виде

.

Проверим непосредственно, что релятивистские формулы преобразования скоростей соответствуют второму постулату Эйнштейна о неизменности скорости света c во всех ИСО. Ограничимся случаем движения луча света в K-системе вдоль оси X. В K-системе луч будет двигаться в том же направлении, вдоль оси X. Поскольку и , то из (3) следует

.

Постоянство скорости света легко устанавливается и в общем случае. При этом направления лучей в двух инерциальных системах будет, вообще говоря, различно.

Четырехмерное ускорение определим в соответствии с обычным трехмерным подходом

. Компоненты 4-ускорения можно выразить через компоненты трехмерных векторов v и . Для пространственных компонент получаем

. При выводе формулы использовались и . Временная компонента ускорения

. В сопутствующей ИСО, в которой частица покоится ( )

, , (4) т.е. пространственные слагающие 4-ускорения совпадают с обычными трехмерными компонентами ускорения, а временная составляющая обращается в ноль. Из (4) видно, что , поэтому 4-ускорение пространственноподобный четырехвектор.

Релятивистская динамика

При наблюдении за движением тел обращает внимание то, что чем больше масса и скорость движущегося тела, тем более сильный эффект возникает при его соударении с другими телами. Так, например, при движении ядра его разрушительная сила тем больше, чем больше его масса и скорость; метеорит, достигший поверхности Земли, проникает в грунт тем больше, чем больше масса и скорость метеорита.

Далее, при наблюдении за движением шаров до столкновения и после него, можно заметить, что если в результате столкновения движение одного из шаров «уменьшилось», то движение второго шара «увеличилось» и притом тем более, чем значительнее «уменьшилось» движение первого шара. Представляется поэтому, что хотя мера движения каждого из шаров меняется при соударении, сумма таких мер для обоих шаров остается неизменной, т.е. происходит «обмен движением» при сохранении меры движения для системы в целом.

Подобные закономерности нашли выражение в понятиях количества движения (импульса) и кинетической энергии как формы энергии, связанной с движением. Соответствующие законы сохранения – законы сохранения импульса и энергии –занимают центральное место в классической механике и физике вообще.

Развитие физики подтверждает, что законы сохранения позволяют в концентрированном виде выражать наиболее общие свойства материальных тел (объектов) и их взаимодействий. Учитывая центральную роль, которую играет закон сохранения импульса в классической механике, в теории относительности в качестве ключевого момента принимается идея его сохранения, и потом уже находится выражение для самого импульса.

Релятивистский импульс. Как следует определить импульс частицы? Оказывается импульс можно установить, не обращаясь к эксперименту, с помощью общих соображений о его свойствах и требования сохранения полного импульса во всех ИСО

. (5)

В классической механике импульс определялся как , где m – масса частицы, а v – ее скорость. Определенный таким образом импульс хорош тем, что импульс системы сохраняется при соударениях частиц малой энергии. Однако он не сохраняется, когда сталкивающиеся частицы обладают большими скоростями (в этом можно убедится на примере упругого столкновения).

Как видно, классический импульс – векторная величина, которая определяется только состоянием движения самой частицы. Будем предполагать, что это свойство сохраняется и при больших скоростях движения.

Выясним направление импульса. В любой ИСО пространство само по себе одинаково во всех направлениях (изотропно). Единственным выделенным направлением, связанным с частицей, является направление ее движения. Это значит, что импульс частицы должен лежать вдоль этого направления. По традиции ориентируем вектор импульса по направлению скорости частицы (другой выбор не изменит существа дела).

Итак, общее выражение для импульса должно иметь вид . Для определения рассмотрим столкновение двух одинаковых частиц. Всегда можно найти систему отсчета, в которой скорости частиц до столкновения равны и противоположны по направлению. В этом случае, очевидно, полный импульс до столкновения равен нулю. После столкновения частицы должны так же двигаться во взаимно противоположных направлениях с равными скоростями. В противном случае полный импульс не сохранялся бы при столкновении в нарушение принятого требования. Ограничимся случаем упругих соударений. При упругих столкновениях (по определению) никаких изменений с частицами не происходит, они остаются прежними. Это значит, что должна сохранятся энергия, связанная с движением. Следовательно, при упругом соударении каждая частица изменит лишь направление своего движения, не меняя скорости.

Прежде чем продолжить рассмотрение, определим 4-импульс частицы по аналогии с трехмерным определением

, (6) где m – величина, характеризующая частицу. Потребуем, чтобы при малых скоростях пространственная часть 4-импульса переходила в обычный классический импульс. Отсюда ясно, что m – это масса в смысле, в каком ее понимают в классической механике. В некоторых изложениях теории относительности классическое выражение для импульса исправляется путем введения «релятивистской массы», зависящей от скорости таким образом, чтобы можно было продолжать пользоваться формулами классической механики, например . Эта масса определяется как . Здесь m носит название «массы покоя». Особого, отдельного от m смысла «релятивистская масса» в теории не имеет и в этом отношении является лишней. Сказанное получает все более широкое признание. Поэтому под термином «масса» нами будет пониматься не зависящая от скорости величина m.

Рассмотрим сумму 4-импульсов частиц до столкновения , и после столкновения . Пространственные компоненты обеих сумм равны нулю, временные одинаковы и равны . Таким образом можно записать

. Слева и справа от знака равенства стоят 4-вектора. Это значит, что данное равенство сохранится и в любой другой ИСО. Причем равенство выполняется для каждой компоненты по отдельности. Если ввести обозначение

, (7) равенство пространственных компонент можно выразить в виде

.

На примере данного столкновения можно показать, что с требованием сохранения полного импульса во всех ИСО другое выражение вида не совместимо. Поэтому (7) является единственно возможным выражением для релятивистского импульса. При , как и следовало ожидать, (7) сводится к классическому выражению для импульса . Различие между обоими импульсами становится существенным по мере приближения скорости частицы к скорости света.

Что теперь можно сказать теперь о подтверждении закона сохранения импульса (5) при парных и множественных, упругих и неупругих столкновениях частиц, т.е. всех усложнениях, происходящих при изменении числа и сорта сталкивающихся частиц и характера их столкновений. Импульс был определен таким образом, чтобы он сохранялся при простейших упругих столкновениях. В силу единственности невозможно изменить его, чтобы привести в соответствие с более широким кругом процессов столкновения. Значит, либо измеренные в любых экспериментах изменения импульса равны нулю, и тогда закон сохранения импульса является универсальным, либо изменение импульса отлично от нуля, и в этом случае данные опыта привели бы к революции, опрокинув идею сохранения импульса и кардинально изменив наши представления о природе. Результаты наблюдений и весь совокупный опыт показывают, что изменение равно нулю, т.е. закон сохранения импульса (5) является фундаментальным законом.

Релятивистская энергия. Обсудим смысл временной компоненты 4-импульса. Введем в рассмотрение величину E равную произведению временной компоненты 4-импульса частицы на скорость света

. (8) Эту величину можно назвать энергией. Во-первых, потому что она имеет размерность энергии. Во-вторых, что наиболее существенно, потому что сумма данных величин сохраняется при всех столкновениях. Доказательство того, сумма значений E всех частиц подчиняется закону сохранения, базируется на простом соображении: если три пространственные компоненты полного 4-импульса сохраняются во всех системах отсчета, то его временная компонента (а значит и суммарная E) тоже сохраняется. В противном случае сохранение импульса было бы невозможным.

Таким образом, сохранение полного импульса частиц приводит к сопутствующему закону, – закону сохранения энергии справедливому во всех ИСО

, (9) где определяется выражением (8) и называется полной релятивистской энергией частицы.

При малых скоростях выражение для релятивистской энергии можно разложить в ряд по степеням v, пользуясь формулой Тейлора,

. Таким образом, в пределе малых скоростей релятивистская энергия складывается из классического выражения кинетической энергии и добавочного слагаемого . Этот добавочный член называют энергией покоя

. (10) С момента получения Эйнштейном в 1905 г. эта формула нашла огромное число подтверждений, и одно из них – существование атомной бомбы.

В теории относительности определение кинетической энергии является тем же самым, что и в классической механике: кинетическая энергия – это энергия, обусловленная движением частицы. Для свободной частицы ее можно получить, вычитая из полной энергии энергию покоя

. (11) При малых скоростях (11) сводится к классическому выражению .

В связи с тем, что временная компонента 4-импульса имеет непосредственное отношение к энергии частицы, естественно назвать P 4-вектором энергии-импульса и записать его как

. Из того, что квадрат 4-скорости , непосредственно вытекает

. (12) Таким образом, вектор энергии-импульса свободной частицы является времениподобным вектором.

Релятивистская сила. В теории относительности сила носит вспомогательную функцию. Это связано с тем, что взаимодействия распространяются с конечной скоростью, не превышающей скорость света. Поэтому невозможно определить силу так, чтобы для двух взаимодействующих частиц выполнялся третий закон Ньютона (важное свойство силы). Только в случаях локального взаимодействия, таких как взаимодействие частицы с полем или движение тела переменной массы (ракеты), можно записать и , где – импульс частицы (ракеты), – импульс поля (отработанных газов).

На этом основании целесообразно определить силу выражением

. Следует отметить, что при таком определении величина и направление силы будут зависеть от скорости движущегося наблюдателя, тогда как в классической механике сила не зависела от скорости наблюдателя. Эта зависимость приводит к интересным эффектам, например, к возникновению магнитной силы в электромагнитных взаимодействиях.

Для построения 4-вектора силы, которую иногда называют силой Минковского, рассмотрим 4-вектор , где  – собственное время частицы. С помощью () легко перейти собственного времени к обычному