vasyliev_phys_optica_manual
.pdfЗанятие 3.
Тема занятия: Поляризация света.
Рекомендуемые задания на дом : №№
Задача 3.1 (№ 5.159/5.170)
Линейно поляризованный световой пучок падает на поляризатор, вращаю- щийся вокруг оси пучка с угловой скоростью ω = 21 рад/с. Найти световую энергию, проходящую через поляризатор за один оборот, если поток энергии в падающем пучке Ф0 = 4.0 мВт.
РЕШЕНИЕ
Световая энергия, проходящая через вращающийся поляризатор, будет зави- сеть от времени, поскольку по закону Малюса идеальный поляризатор пропус- кает лишь часть линейно-поляризованного света в соответствии с формулой I = I0 cos2 ϕ , где I0 и I - интенсивности, соответственно, падающего и прошед- шего света, а ϕ - угол между плоскостью поляризации падающего пучка и оп- тической осью поляризатора, который, cогласно условию задачи, меняется во времени по гармоническому закону ϕ (t) = ωt (начальный угол ϕ0 удобно вы- брать равным нулю).
Аналогичным образом зависит от времени прошедшая через поляризатор за время dt энергия : dΦ = Φ0 cos2 ω t dt . Энергия, прошедшая через поляризатор за
период T = 2ωπ , равна
T |
π |
|
Φ(T) = òΦ0 cos2 ω t dt = |
Φ0 = 0.6 мДж. |
|
0 |
ω |
|
|
|
Задача 3.2 (№ 5.160/5.172)
Пучок естественного света падает на систему из N=6 николей, плоскость пропускания каждого из которых повернута на угол ϕ=30° относительно плоскости пропускания предыдущего николя. Какая часть светового потока проходит через эту систему ?
РЕШЕНИЕ
Естественный свет, представляющий собой набор электромагнитных волн, в котором колебания вектора E (и, соответственно, и вектора H ) могут происхо- дить в любых направлениях в плоскости, перпендикулярной световому пучку, обычно рассматривают как сумму двух некогерентных линейно- поляризованных волн с взаимно перпендикулярными плоскостями поляриза- ции, каждая из которых несет ровно половину энергии пучка. При таком под- ходе ясно, что через поляризатор проходит лишь половина светового потока - та волна, плоскость поляризации которой параллельна оптической оси поляри- затора. Поэтому, интенсивность света на выходе первого поляризатора равна I1=I0/2, где I0 - интенсивность падающего естественного света.
Далее уже линейно-поляризованный свет проходит через поляризаторы в соот- ветствии с законом Малюса :
I 2 = I1 cos2 ϕ , I3 = I2 cos2 ϕ , ... I6 = I5 cos2 ϕ .
В результате через систему пройдет
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
æ |
3ö |
5 |
|
I 6 |
= |
|
I 0 |
cos2( N −1) ϕ = |
|
I 0 |
cos10 ϕ = |
|
ç |
|
÷ |
I 0 = 012. I 0 . |
2 |
2 |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
è |
4ø |
|
4
Задача 3.3 (№ 5.162/5.174)
Степень поляризации частично поляризованного P=0.25. Найти отношение
интенсивности поляризованной составляющей этого света к интенсивности естественной составляющей.
|
РЕШЕНИЕ |
|
|
I max − I min |
|
||
Степень поляризации света определяется формулой P = |
. Если свет со- |
||||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
I max + I min |
||
стоит из естественной составляющей и линейно-поляризованной части, то |
|||||||
Imax = |
Iест |
+ Iлин , Imax = |
Iест |
, |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
поскольку, как уже обсуждалось в задаче 3.2, естественный свет принято рас- сматривать как сумму двух некогерентных линейно-поляризованных волн с взаимно перпендикулярными плоскостями поляризации, энергия каждой из ко- торых равна половине энергии пучка. Тогда, согласно определению степени
поляризации, |
P = |
I лин |
, откуда следует (1− P)I лин = I ест P . |
||||||||
I ест + I лин |
|||||||||||
Таким образом, окончательно : |
I лин |
= |
|
P |
= |
1 |
. |
||||
I ест |
1 |
− P |
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3.4 (№ 5.163/5.176)
На пути частично поляризованного пучка поместили николь. При повороте николя на угол ϕ=60° из положения, соответствующего максимуму пропус- кания света, интенсивность прошедшего света уменьшилась в η=3.0 раза. Найти степень поляризации падающего света.
РЕШЕНИЕ
Формулу для степени поляризации частично поляризованного света, использо-
ванную в задаче 3.3, можно записать в следующем виде: |
P = |
Imax |
Imin − 1 |
. Таким |
|
Imax |
Imin + 1 |
|
образом, надо найти отношение максимальной интенсивности прошедшего света к минимальной. Для этого, используя закон Малюса, запишем интенсив- ность света, прошедшего через николь, оптическая ось которого повернута на угол ϕ относительно угла максимального прохождения, как сумму двух неко- герентных волн c взаимно-перпендикулярной поляризацией:
|
|
|
|
|
I max |
|
= I max |
cos2 ϕ + I min cos2 (π |
− ϕ) . |
||
|
|
|
|
|
η |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
В результате |
I |
max |
= |
η sin2 ϕ |
, откуда для степени поляризации получается |
||||||
|
|
1− η cos2 ϕ |
|||||||||
|
I min |
|
|
η − 1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
P = |
|
|
= 0.8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− η cos 2ϕ |
|
Задача 3.3 (№ 5.162/5.174)
Степень поляризации частично поляризованного P=0.25. Найти отношение
интенсивности поляризованной составляющей этого света к интенсивности естественной составляющей.
|
РЕШЕНИЕ |
|
|
I max − I min |
|
||
Степень поляризации света определяется формулой P = |
. Если свет со- |
||||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
I max + I min |
||
стоит из естественной составляющей и линейно-поляризованной части, то |
|||||||
Imax = |
Iест |
+ Iлин , Imax = |
Iест |
, |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
поскольку, как уже обсуждалось в задаче 3.2, естественный свет принято рас- сматривать как сумму двух некогерентных линейно-поляризованных волн с взаимно перпендикулярными плоскостями поляризации, энергия каждой из ко- торых равна половине энергии пучка. Тогда, согласно определению степени
поляризации, |
P = |
I лин |
, откуда следует (1− P)I лин = I ест P . |
||||||||
I ест + I лин |
|||||||||||
Таким образом, окончательно : |
I лин |
= |
|
P |
= |
1 |
. |
||||
I ест |
1 |
− P |
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3.5 (№ 5.169/5.182)
На поверхность воды под углом Брюстера падает пучок плоскополяризован- ного света. Плоскость колебаний светового пучка составляет угол ϕ=45° с плоскостью падения. Найти коэффициент отражения.
РЕШЕНИЕ
По определению коэффициентом отражения называется величина равная от- ношению интенсивности пучка отраженного к интенсивности падающего пуч- ка I0. В данном случае удобно представить падающий пучок в виде суммы двух пучков: пучка, линейно поляризованного в плоскости падения и пучка с плос- костью поляризации, перпендикулярной плоскости падения, интенсивности которых будем в дальнейшем соответственно обозначать как I|| и IБ. Тогда ко- эффициент отражения может быть записан следующим образом :
|
I ¢ + I ¢ |
E¢2 |
+ E¢ |
2 |
|
|||
T = |
|| |
|
= |
|| |
|
|
|
, |
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
I0 |
E0 |
|
|
|
где I′|| и I′Б - интенсивности света в отраженных пучках с плоскостями поляри- зации параллельной и перпендикулярной плоскости падения, а E′||, E′Б и E0 - на- пряженности электрического поля соответствующих световых волн. При этом интенсивности падающих пучков связаны соотношениями: I|| = I 0 cos2 ϕ ,
I = I0 sin2 ϕ .
По условию задачи световой поток падает на границу раздела двух сред с пока- зателями преломления n1 (показатель преломления воздуха n1=1) и n2 (показа- тель преломления воды n2=n=1.33) под углом Брюстера θБ, для которого
tgθБ |
= |
n2 |
= n . Этот угол определяется как угол, при котором отраженный свет |
|
n1 |
||||
|
|
|
оказывается полностью поляризованным в плоскости, перпендикулярной плос-
кости падения, и выполняется соотношение θпад +θпрел |
= π . Таким образом, в от- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
раженном пучке будет отсутствовать составляющая I′||, а компонента I′Б, со- |
||||||||||||||||||||||||||
гласно формулам Френеля, будет иметь вид : |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
I ¢ |
= I |
0 |
sin2 ϕ sin2 (2θ |
Б |
- π 2) = I |
0 |
sin2 ϕ cos2 2θ |
Б |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При этом cos2θБ |
может быть выражен через показатели преломления воздуха и |
|||||||||||||||||||||||||
воды : cos2θ |
|
|
= cos2 θ |
|
- sin2 θ |
|
= |
|
1 |
|
|
- |
n2 |
|
= - |
n2 -1 |
, |
откуда коэффициент от- |
||||||||
Б |
Б |
Б |
n2 |
+1 |
n2 +1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 +1 |
|
|
|
|||||||||||
æ |
n |
2 |
ö 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ражения T = ç |
|
- 1 |
÷ sin2 |
ϕ = 0.038. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
è n2 |
+ 1ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3.6 (№ 5.180/5.194)
Кварцевую пластинку, вырезанную параллельно оптической оси, поместили между двумя скрещенными николями. Угол между главными направлениями николей и пластинки равен 45°. Толщина пластинки d = 0.50 мм. При каких длинах волн в интервале 0.50-0.60 мкм интенсивность света, прошедшего через эту систему, не будет зависеть от поворота заднего николя ? Разность
показателей преломления обыкновенных и необыкновенных лучей в этом интервале длин волн считать n=0.009.
РЕШЕНИЕ
После прохождения первого николя свет оказывается плоскополяризованным под углом 45° к главному направлению двулучепреломляющего кристалла кварца, т.е. может быть представлен в виде суммы обыкновенного и необыкно- венного лучей одинаковой интенсивности. Для того, чтобы интенсивность све- та, прошедшего через систему, не зависела от угла поворота второго николя, нужно на выходе кристалла получить циркулярно поляризованный свет, т.е. разность хода обыкновенного и необыкновенного лучей φ = k π/2 + πm, где m - целое число :
φ = k d n = |
2π |
d n = |
π |
(1+ 2m) , |
|
2 |
|||
|
λ |
|
где k=2π/λ - волновой вектор волны падающего света, d n- разность оптиче- ских длин пути для обыкновенного и необыкновенного лучей. Из последнего равенства окончательно следует :
λ= 24md +n1 .
Взаданный интервал длин волн 0.50-0.60 мкм попадают λ=0.51, 0.55 и 0.58 со-
ответствующие m = 17, 16 и 15.
8
Занятие 4.
Тема занятия: Дисперсия и поглощение света.
Рекомендуемые задания на дом : №№ 5.200/5.215, 5.209/5.224, 5.212/5.227, 5.213/5.228, 5.223/5.238
Задача 4.1 (№ 5.201/5.214)
Электромагнитная волна с частотой ω распространяется в разреженной плазме. Концентрация свободных электронов в плазме равна n0. Пренебрегая взаимодействием волны с ионами плазмы найти зависимость:
a)диэлектрической проницаемости плазмы то частоты;
b)фазовой скорости электромагнитной волны от ее длины волны λ в плазме.
РЕШЕНИЕ
Уравнения движения свободных электронов и ионов идеальной плазмы (без потерь энергии) под действием периодической силы (электрической компонен- ты монохроматической электромагнитной волны с амплитудой Em и частотой ω) можно записать, приняв за ось OX направление вектора напряженности электрического поля E(t) = Em cosω t в момент времени t=0, в виде:
m |
|
d 2 x |
|
= −eE |
|
|
cosω t |
|
|
dt 2 |
|
|
|
||||
|
e |
|
|
|
m |
|
||
M |
|
d 2 X |
|
= −eE |
|
cosω t , |
||
i |
|
dt 2 |
|
m |
||||
|
|
|
|
|
|
где e - заряд электрона, me и Mi - массы, соответственно, электронов и ионов, x(t) и X(t) - их смещения относительно положения равновесия в невозмущенной плазме,. Решениями записанных уравнений являются периодическими функ-
циями x(t) = |
|
eEm |
|
cosω t и X (t) = |
eEm |
cosω t . Поскольку M |
|
>> m |
, то амплитуда |
|
|
m ω |
|
M |
ω 2 |
|
|||||
|
|
2 |
|
|
i |
e |
|
|||
|
|
e |
|
|
i |
|
|
|
|
|
смещения |
электронов x также много больше амплитуды смещения ионов X, и |
движением ионов можно пренебречь.
В этом случае для поляризованности P (дипольного момента единицы объема, содержащего n0 свободных электронов) плазмы и вектора индукции D можно записать : P = pn0 , где p = -ex;
D = ε0E+P = εε0E.
Из последних соотношений, в свою очередь может быть выражена диэлектри- ческая проницаемость ε:
ε = 1+ |
P |
= 1 |
− |
n0 e2 |
= 1− |
ω 2 0 |
, |
|||
ε |
E |
ε |
m ω 2 |
ω 2 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
|
0 |
e |
|
|
|
|
n0 e2 |
|||
где ω0 = |
|
|
|
- частота собственных плазменных колебаний. |
ε |
m |
|
||
|
0 |
|
e |
Фазовая скорость vф электромагнитной волны в среде с показателем преломле- ния n = ε (ω ) (считая магнитную восприимчивость плазмы равной единице)
равна vф = cε , где c - скорость света в вакууме, ω = 2πλ c . Подставляя получен-
ное выражение для диэлектрической проницаемости, окончательно получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
ф |
= |
|
c |
|
|
≈ c 1+ |
ω02 |
= c 1+ |
n0 e2 |
λ2 . |
|||
|
|
|
|
ω 2 |
4π ε0 me c2 |
|||||||||
|
|
1− |
ω 2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ω 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
Задача 4.2 (№ 5.208/5.223)
Найти зависимость между групповой u и фазовой v скоростями для следую- щих законов дисперсии:
a)v ~ 1λ ;
b)v ~ k ;
c)v ~ 1ω 2 .
РЕШЕНИЕ
Согласно формуле Рэлея, групповая и фазовая скорости волнового пакета свя-
заны соотношением u = |
dω |
= v - λ |
dv |
, где k = 2π λ , λ = 2π v ω . |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d k |
|
|
dλ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a) Знак пропорциональности «~» означает, что v = A |
|
|
, где A - некоторая кон- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
λ |
|||||||||||||||||||||||||||||
станта, не |
зависящая от |
λ. |
Таким |
образом, |
|
|
d v |
|
= - |
A |
|
, |
откуда следует |
|||||||||||||||||
|
|
dλ |
|
2λ3 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
dv |
|
A |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
, и, окончательно, |
|
|
|
|
3 |
v . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
λ |
|
= -λ |
|
= - |
|
u = v + v 2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
dλ |
2λ32 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
b) Аналогично п.(a), |
v = A k = |
2π A |
, откуда |
d v |
= - |
2π A |
и u = v + λ |
2π A |
= 2v . |
|||||||||||||||||||||
λ |
|
dλ |
|
λ2 |
|
λ2 |
c) Поскольку частота ω связана с волновым вектор и фазовой скоростью соот-
ношением |
ω = v k , |
заданный |
закон |
дисперсии |
|
можно переписать в виде |
|||||||||||||||||
v = |
A |
= |
A |
|
|
, откуда следует v = |
A′ |
|
, где A¢ = A 13 |
- также некоторая констан- |
|||||||||||||
|
v 2 k 2 |
|
k 23 |
||||||||||||||||||||
|
ω 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
та, не зависящая от λ. Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dv dk |
|
|
dv |
|
|
æ |
|
2 |
5 |
|
ö |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
u = v - λ |
|
|
|
= v + k |
|
|
|
= v + kç |
- |
|
A¢k − |
3 |
÷ = v - |
|
v = v 3 |
|||
|
|
|
|
|
dk dλ |
|
dk |
3 |
3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
Задача 4.3 (№ 5.211/5.226)
Плоский световой импульс распространяется в среде, где фазовая скорость v линейно зависит от длины волны λ по закону v = a + bλ , где a и b - некоторые положительные постоянные. Показать, что в такой среде форма произволь- ного светового импульса будет восстанавливаться через промежуток време- ни τ = 1b .
РЕШЕНИЕ
Световой импульс может выть представлен в виде суперпозиции гармониче- ских составляющих (плоских волн), и для огибающей импульса можно запи-
сать
u(t) = åuk (t) = åuk e−i (ω t −k x) ,
k |
k |
2π v |
|
2π a |
|
|
где, согласно заданному закону дисперсии, ω = k v = |
= |
+ 2π b . Таким об- |
||||
λ |
λ |
разом, для k-й компоненты uk (t) = uk e−i (ka t −k x)e−i 2π b t . В этом случае зависимость
от времени результирующей огибающей принимает вид
æ |
|
ö |
æ |
|
ö |
− |
i 2π t |
|
|
|
τ , |
||||||
u(t) = ç |
åuk e−i (ka t − k x) ÷ e−i 2π b t |
= ç |
åuk e−i (ka t − k x) ÷ e |
|
||||
è |
k |
ø |
è |
k |
ø |
|
|
|
т.е. является периодической функцией с периодом τ = 1b .
6