Статистика учебное пособие 2012 иностр
.pdf
11
6. Составляем рабочую таблицу для построения гистограммы частот:
№ |
Границы |
Середина |
Число попаданий |
Частота событий в |
Мат. Ожидание |
Среднее |
||
инт |
интервала |
интервала |
в интервал m |
интервале рi=mi/n; |
n |
арифметическое |
||
. |
|
Xi |
|
где n общее число |
M xi pi |
|
|
|
|
|
|
X |
|||||
|
|
|
|
событий |
i 1 |
|
|
|
1 |
50-60 |
55 |
1 |
1/50=0,02 |
|
|
|
|
2 |
60-70 |
65 |
14 |
14/50=0,28 |
|
|
|
|
3 |
70-80 |
75 |
21 |
21/50=0,42 |
|
|
|
|
4 |
80-90 |
85 |
12 |
12/50=0,24 |
75 |
74,68 |
||
5 |
90-100 |
95 |
2 |
2/50=0,04 |
|
|
|
|
|
|
|
∑ = 50 |
∑ = 1 |
|
|
|
|
7. Проверяем правило «трѐх сигм» по полученным данным M и σ: для этого определим границы доверительных интервалов и число случайных величин, попадающих в интервал - mi.
|
|
Число |
|
Доверительная вероятность |
|||
Доверительный |
случайных |
Общее |
|
mi/n |
|
||
|
|
величин, |
число |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
интервал |
попадающи |
измерени |
Экспериментально |
|
|||
|
|
х |
й n |
|
|
|
По |
|
|
в.интервал |
|
|
|
|
правилу |
|
|
|
в относительных. |
|
в % |
||
|
|
mi |
|
|
трех сигм |
||
|
|
|
единицах |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
M±σ |
|
|
|
|
|
|
|
75±8,7 |
66,3-83,7 |
34 |
50 |
0,68 |
|
68% |
68% |
|
|
|
|
|
|
|
|
M±2σ |
|
|
|
|
|
|
|
75±17,4 |
57,6-92,4 |
48 |
50 |
0,96 |
|
96% |
95% |
M±3σ |
|
|
|
|
|
|
|
75±26,1 |
48,9-101,1 |
50 |
50 |
1 |
|
100% |
100% |
Убедились в полном соответствии
экспериментальных данных и правила 3х
«σ »
8. Составляем таблицу для построения кривой Гаусса:
№ |
Значение |
дисперсия |
|
Среднеквадратиче |
плотность вероятности |
Максимальное |
||
инт. |
(хi-M)2 |
n |
2 |
ское |
для середины каждого |
значение P** |
||
|
|
D= (xi M ) |
pi |
отклонение. |
интервала P(Xi)* |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
D |
|
|
||
1 |
400 |
|
|
|
|
|
0,034 |
|
2 |
100 |
|
|
|
|
|
0,23 |
|
3 |
0 |
76 |
|
8,7 |
|
0,46 |
0,46 |
|
4 |
100 |
|
|
|
|
|
0,23 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
400 |
|
|
0,034 |
|
|
|
|
|
∑=0,988 = 1, |
|
|
|
|
|
это соответствует |
|
|
|
|
|
условию |
|
|
|
|
|
нормировки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( xi M ) |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
* P( xi ) |
|
|
|
|
|
|
|
exp |
|
|
|
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
интервала = 10 удар/мин |
|
|
|
|
||||||||||
** P max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
=0,46 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||
9. На основании проведенных расчетов строим гистограмму частот:
- ширина
кривую Гаусса и
13
Выводы:
Сумма всех плотностей вероятностей в интервалах равна единице, следовательно, выполняется условие нормировки.
Математическое ожидание приблизительно равно среднему арифметическому.
Из 7) пункта отчѐта следует, что выполняется правило «трех сигм».
Сумма распределений вероятности для середины каждого интервала равна единице.
Гистограмма имеет практически симметричный вид, следовательно, выполняется нормальный закон распределения.
Кривая Гаусса симметрична относительно М(ЧСС), максимум кривой соответствует математическому ожиданию.
Экспериментально получено подтверждение выполнения нормального закона распределения для случайных величин при исследовании антропометрических данных.
Вопросы для самопроверки:
1.Что называется дискретными и непрерывными случайными величинами?
2.Что называется условием нормировки?
3.Как вычислить математическое ожидание для дискретных и непрерывных случайных величин?
4.Как вы понимаете термин "плотность вероятности"?
5.Как определить дисперсию для дискретных и непрерывных случайных величин?
6.Как вычислить среднеквадратическое отклонение?
7.Как построить гистограмму и кривую Гаусса?
8.Какие особенности гистограммы и кривой Гаусса вам известны?
9.Что определяет нормальный закон распределения?
10.Что показывает правило "3-х сигм"?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ДЛЯ ОБРАБОТКИ МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКИХ ДАННЫХ ИССЛЕДОВАНИЯ ЧАСТОТЫ СЕРДЕЧНЫХ СОКРАЩЕНИЙ (ЧСС)
Цель работы: зная статистические методы обработки медицинских и биологических данных, исследовать предложенные значения
14
результатов эксперимента по измерению ЧСС и проверить соответствие данного распределения нормальному закону распределения.
Приборы и оборудование:
Табличные данные, представленные преподавателем, либо результаты самостоятельных измерений ЧСС с использованием секундомера или цифрового тонометра.
Рабочие формулы:
|
|
|
∆ЧСС |
exp |
|
[ЧССі |
_ М(ЧСС)]2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
; __ плотность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. ƒ(ЧСС ) = |
σ√2π |
|
|
2σ2 |
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
||
вероятности - функция кривой Гаусса для расчета значений по отношению к серединам интервалов.
2.fmax ЧСС максимальное значение кривой Гаусса
2
( для математического ожидания)
ЧСС1 + ЧСС2 + … ЧСС100
3. ЧСС = |
|
|
|
|
|
100 |
среднее арифметическое |
|
|
|
значение частоты сердечных |
|
|
сокращений |
4. M(ЧСС) = ЧСС1·p1 + ЧСС2·р2 + ЧСС3·р3 + ЧСС4·р4 + ЧСС5·р5 + ЧСС6·р6 + + ЧСС7·р7
М(ЧСС) __ математическое ожидание, |
) |
|||
7 |
|
|
__ M (ЧСС) ] 2 · pi |
|
|
|
|
||
5. D = Σ [ ЧССi |
|
- дисперсия |
||
i = 1 |
|
|
|
|
6. σ = √D |
- среднеквадратическое значение |
|||
15
ХОД РАБОТЫ
Получите у преподавателя задачу исследования, подготовьте таблицы для записи результатов измерений. Запишите статистический ряд по исследованию частоты сердечных сокращений 100 студентов.
61 |
86 |
79 |
81 |
78 |
78 |
94 |
86 |
113 |
87 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
82 |
75 |
74 |
99 |
61 |
82 |
92 |
66 |
78 |
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
73 |
100 |
52 |
80 |
83 |
81 |
97 |
80 |
88 |
77 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
94 |
73 |
85 |
82 |
61 |
82 |
96 |
75 |
86 |
104 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
82 |
83 |
83 |
76 |
82 |
79 |
66 |
81 |
102 |
78 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
93 |
83 |
92 |
82 |
91 |
105 |
83 |
95 |
63 |
81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62 |
85 |
85 |
76 |
81 |
80 |
85 |
74 |
64 |
91 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63 |
82 |
68 |
72 |
92 |
76 |
89 |
77 |
68 |
72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80 |
82 |
58 |
75 |
81 |
81 |
81 |
63 |
78 |
79 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
86 |
81 |
73 |
88 |
76 |
86 |
62 |
72 |
92 |
77 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выделите min и max значения: ЧСС min =……….
ЧСС max =……….
В данной обработке статистических значений рекомендуется взять 7
хmax – xmin
интервалов с шириной интервала (∆ЧСС), ∆ЧСС = |
|
= 10 |
7 |
1.Подсчитайте число значений, попавших в каждый интервал.
2.Вычислите частоты, соответствующие каждому интервалу.
3.Постройте гистограмму частот.
4.Запишите в таблицу значения середины каждого интервала.
5.Вычислите среднее арифметическое значение, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.
16
6.Вычислите функцию распределения вероятностей для точек, соответствующих серединам интервалам.
7.Определите максимальное значение кривой Гаусса. По полученным данным функции распределения вероятностей для математического ожидания (максимум-вершина кривой Гаусса) и для середины каждого интервала постройте кривую Гаусса.
8.Результат измерений запишите в доверительном интервале M ± 2σ укажите доверительную вероятность α = 0,95
9.Проверьте выполнение правила ― трѐх сигм ‖ ( рассчитайте число значений в интервалах М ± 3σ)
10.Напишите выводы.
РАБОЧАЯ ТАБЛИЦА ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ГИСТОГРАММЫ ЧАСТОТ
№ |
границы |
середина |
число |
частота |
|
мат. |
среднее |
интервала |
интервала |
интервала |
попаданий |
событий в |
|
ожидание |
арифметическое |
|
|
хi |
в интервал |
интервале |
__ |
M i n xi pi |
значение |
|
|
|
m |
р= m/n; где n |
|
i 1 |
x |
|
|
|
|
общее число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
событий |
|
|
|
Ι
ΙΙ
ΙΙ Ι
ΙV
V
V Ι
V Ι Ι
∑ = |
∑ = |
17
РАБОЧАЯ ТАБЛИЦА ДЛЯ ПРОВЕРКИ ПРАВИЛА ― ТРЁХ СИГМ ‖ ПО
|
ПОЛУЧЕННЫМ ДАННЫМ М(х) |
и σ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Доверительный |
Число |
Общее |
Доверительная |
|||
интервал |
случайных |
число |
вероятность mi/ n |
|||
|
|
величин |
измерений |
экспериментально |
по |
|
|
|
попадающих в |
n |
в относ. |
в % |
правилу |
|
|
доверительный |
|
единицах |
|
трех |
|
|
интервал |
|
|
|
сигм |
|
|
mi |
|
|
|
|
М±σ |
|
|
|
|
|
68% |
|
|
|
|
|
|
|
М±2σ |
|
|
|
|
|
95% |
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М±3σ |
|
|
|
|
|
100% |
|
|
|
|
|
|
|
РАБОЧАЯ ТАБЛИЦА ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ КРИВОЙ ГАУССА. |
|
||||||||||
№ |
Значение |
|
Дисперсия |
|
Средне |
Плотность |
Макс. |
||||
интерв |
( хi – М)2 |
|
n |
|
|
|
квадрат. |
вероятности для |
значение |
||
ала |
|
|
|
D = Σ (хi – М)2 рi |
|
значение |
середины каждого |
Рmax |
|||
|
|
|
|
|
i = 1 |
|
|
|
σ = √D__ интервала Р(хi) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I I I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VII |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ = |
|
|
|
|
|
|
( xi M ) |
2 |
; |
- |
ширина интервала = 10 удар/ми |
||
P( xi ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
exp |
2 2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
18
КРИВАЯ ГАУССА и ГИСТОГРАММА ЧАСТОТ
19
Запишите результат исследования в интервале (М ± 2σ):
ЧСС = ( |
± |
) удар/мин ; α = 95% |
Выводы:
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_____________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
Работу выполнил студент
………………………………………………………………
группа __№___
Дата……………………
Подпись преподавателя ______________________
ВНИМАНИЕ!
На следующем занятии проводится общий контроль знаний студентов по темам теории вероятностей, статистики и теории погрешностей.
20
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ТЕСТИРОВАНИЮ
ВЕРОЯТНОСТЬ
СТАТИСТИКА
1. |
Формула классического определения вероятности |
||||
|
1. Р m n |
2. Р 1 |
3. Р |
m |
|
|
n |
||||
|
|
|
|
||
2. |
Известно, что вероятность рождения девочки равна 0,49. Вероятность |
||||
того, что в семье с пятью детьми все пятеро девочки равна (выберите правильные ответы)
1- 0,49
2- 0,495
3- 5 0,49
4- 2,45
5- 0,028
3.
Вероятность для дискретной случайной величины, которая задаѐтся цифрой на грани при бросании игральной кости равна
1- М(х) =1/6
2- М(х) =1
3- М(х) =7/2
4.
Математическое ожидание для дискретной случайной величины, которая задаѐтся цифрой на грани при бросании игральной кости равно
1-
|
(х) =1/6 |
2- |
М |
|
(х) =1 |
3- |
М(х) =7/2 |
5. В урне находится 40 шаров: 10 чѐрных и 30 белых. Вероятность того, что вынутый наугад один шар будет чѐрным (выберите правильные ответы)
1- Р = 1/3
2- Р = 1/4
3- Р = 25%
4- Р = 10%
6.Из 982 больных, поступивших в хирургическую больницу за месяц, 275 человек имели травмы. Относительная частота поступления больных с этим видом заболевания равна