10797

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный архитектурностроительный университет»

Л.А. Протасова, А.А. Бутысин

ОТ ГЕОМЕТРИИ – К ДИЗАЙН-ПРОЕКТУ или

КАК Я ПОЛЮБИЛ МАТЕМАТИКУ

Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям

по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 54.03.01 Дизайн, профиль Промышленный дизайн

Нижний Новгород ННГАСУ

2016

1

ББК 85.15 П 83 Б 93

Протасова Л.А. От геометрии – к дизайн-проекту, или Как я полюбил математику. [Электронный ресурс]: учеб.-

метод. пос. / Л.А. Протасова, А.А. Бутысин; Нижегор. гос. архитектур. - строит. ун - т – Н. Новгород: ННГАСУ, 2016. – 137 с.– 1 электрон. опт. диск (CD-

RW)

Изложены вопросы аналитической геометрии и математического анализа, необходимые для решения практических вопросов точного формообразования в дизайнерском проектировании с применением к конкретным задачам. Рассмотрены способы вычисления площади криволинейной трапеции и объема тела вращения с помощью определенного интеграла. Подробно изложена теория кривых и поверхностей второго порядка, вопросы построения плоскостей. Разобраны примеры построения тел, ограниченных заданными поверхностями. Приведены геометрические иллюстрации и рисунки, облегчающие восприятие материала.

Предназначено обучающимся в ННГАСУ по направлению подготовки 54.03.01 Дизайн, профиль Промышленный дизайн для подготовки к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика».

© Л.А. Протасова, А.А. Бутысин, 2016 © НГАСУ, 2016

2

ВВЕДЕНИЕ

Данное учебное пособие основано на цикле лекций, читаемых студентам направления «дизайн» Нижегородского государственного архитектурностроительного университета. В нём изложены фрагменты аналитической геометрии и математического анализа, необходимые для решения практических задач точного формообразования в дизайнерском проектировании.

Специфика гуманитарно-художественного склада мышления аудитории, которой предназначается пособие, определила стиль изложения, сочетающий детальное рассмотрение требуемых математических вопросов с наглядным представлением их в виде многочисленных геометрических иллюстраций.

Кроме того, авторы решили объединить содержание общим «сюжетом», внутри которого «литературный герой» ставит вопросы, раскрывая всё новые грани математического мира.

Итак, особенностью книги является нацеленность рассматриваемого математического аппарата на выполнение конкретного дизайнерского проекта. Вместе с тем разбираемые подходы могут работать в разработке поверхностей при проектировании транспортных средств - летательных аппаратов, автомобилей.

При разработке таких сложных объектов как, например, самолёты – необходимо понимать, что аэродинамическое качество летательного аппарата напрямую зависит от точности изготовления формы агрегатов.

3

В настоящее время проектирование осуществляется с помощью средств CAD (Computer Aided Design), то есть с помощью компьютера. Так как любое производство транспортных объектов начинается с создания математической модели теоретической поверхности в электронном виде, то для создания сложной и правильной гладкой поверхности (например, фюзеляж самолёта) необходимо понимать специфику алгоритмов задания поверхностей. А эти алгоритмы базируются на аппарате аналитической и дифференциальной геометрии. Соответственно, для успешного решения задачи создания электронной модели изделия необходимо знать и понимать математические законы, по которым строятся и стыкуются поверхности.

Благодаря наглядности изложения учебное пособие может быть полезно студентам любого технического или гуманитарного направления для освоения базовых математических вопросов.

4

ГЛАВА 1

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ или

ВСЁ НАЧИНАЛОСЬ С БУТЫЛКИ

Написанию этой книги способствовало вполне практическое обстоятельство. Как-то раз я помогал своему отцу в разработке дизайнерского оформления бутылки. Для создания этого проекта мне потребовалось рассчитать её объём.

Я учусь на кафедре промышленного дизайна архитектурно-строительного университета. Благодаря тому, что помимо факультатива по математике, прослушанного на первом курсе, я интересовался дополнительно математическими лекциями для технических специальностей, возникла идея применить определенный интеграл к нахождению объёма бутылки.

1.1. Введение понятия определенного интеграла во многих учебных курсах начинается с геометрической задачи. Она касается вычисления площади так называемой криволинейной трапеции.

трапецией (рис. 1.1). Для обозначения площади используем букву Q . То есть площадь криволинейной

трапеции D запишется как Q(D) .

5

Для определения этой площади разделим сначала её основание – отрезок [a,b] - произвольно расположенными, следующими друг за другом точками

x0 = a , x1 , xn = b . Диаметром разбиения dn назовём длину наибольшего из получившихся отрезков. Проведём из точек деления прямые, перпендикулярные основанию, до пересечения их с графиком функции. В результате криволинейная трапеция разобьётся на n полосок (рис. 1.2).

В каждом из полученных отрезков (внутри или в одном из его концов) выберем точку. Для обозначения этих промежуточных точек принято использовать греческую букву ξ . Для первого отрезка [x0 , x1 ]

рассмотрим точку x = ξ1 ; далее аналогично ξ2 [x1, x2 ] ,

…, ξn [xn−1, xn ] .

Заменим теперь каждую полоску произвольного номераi (i = 1, 2, ..., n) прямоугольником, основание которого xi такое же, что и у полоски: xi = xi − xi−1 , а высота совпадает со значением функции f (ξi ) в произвольно выбранной нами промежуточной точке ξi .

Таким образом, криволинейная фигура D заменится ступенчатой фигурой, составленной из отдельных прямоугольников (рис. 1.3).

Площадь Qn этой ступенчатой фигуры равна сумме площадей маленьких прямоугольников

Qn = f (ξ1 ) x1 + f (ξ2 ) x2 + ... + f (ξn ) xn .

6

Рис. 1.1

Рис. 1.2

Рис. 1.3

7

Значение Qn даёт определённое приближение площади криволинейной трапеции D . Чем мельче мы будем разбивать отрезок [a,b] , тем лучше будет это приближение. Точное значение площади Q(D) можно

последовательности площадей Qn ступенчатых фигур при n , стремящемся к бесконечности, и диаметре разбиения dn , стремящемся к нулю.

С удовольствием для себя я осознал, что не зря уделил в своё время внимание изучению аппарата пределов последовательностей и функций – мне было понятно дальнейшее изложение.

1.2. Процесс введения понятия определенного интеграла функции y = f (x) в промежутке [a,b]

повторяет, по сути, этапы вычисления площади криволинейной трапеции. При этом числовые значения площадей Qn ступенчатых фигур обозначаются Sn и

называются интегральными суммами функции

n

y = f (x) : Sn = ∑ f (ξi ) xi .

i =1

Рассмотрим предел последовательности этих интегральных сумм при диаметре разбиения, стремящемся к нулю (число отрезков n в разбиении при этом, естественно, стремится к бесконечности). Если этот предел существует, имеет конечное значение и не зависит ни от способа разбиения отрезка, ни от выбора промежуточных точек, то он называется определённым интегралом функции y = f (x) на отрезке [a,b] . Для

b

него вводится обозначение ∫ f (x) dx.

a

8

Теперь получается, что точное значение площади криволинейной трапеции равно определённому интегралу. Это даёт возможность вычисления площадей. Есть и другие приложения определённого интеграла – к геометрическим задачам и задачам механики, но мне важно было в первую очередь овладеть способом вычисления объёма геометрических тел.

1.3. Я начал знакомиться с методикой решения известной задачи о вычислении объёма тела вращения. От криволинейной трапеции D , изображённой на рисунке 1.1, переходим к пространственному телу V , которое получается при её вращении вокруг оси Ox (рис.1.4). Для обозначения объёма будем использовать букву υ . То есть объём тела вращения V запишется как υ(V ) .

Вычисление объёма тела вращения повторяет основные шаги процесса вычисления площади. Отрезок [a,b] на оси абсцисс разбивается на n частей точками

x0 = a , x1 , x2 , …, xn = b . Каждой точке xi соответствует плоскость, параллельная координатной плоскости yOz ,

которая рассекает тело вращения на пространственные слои (рис.1.5). Снова выбираются промежуточные точки ξi на каждом из отрезков [xi−1, xi ]. С высотой, равной

значению функции f (ξi ) в промежуточной точке, строится прямоугольник, основанием которого служит отрезок [xi−1, xi ] на оси Ox . При вращении этого прямоугольника вокруг оси Ox получается цилиндр Vi (рис.1.6). Его объём υ(Vi ) равен произведению площади основания, представляющего собой круг радиуса f (ξi ) , на высоту xi : υ(Vi ) = π f 2 (ξi ) xi .

9