10511

6.3. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА

ТЕОРЕМА

Производная по времени от кинетического момента механической

системы относительного некоторого центра (или оси) равна главному моменту внешних сил относительно этого же центра (или оси):

141

Доказательство

1. Рассмотрим одну материальную точку.

Запишем для нее основное уравнение динамики:

= .

Помножим радиус-вектор точки на левую и правую части равенства:

( ( )) = × .

Для материальной точки теорема доказана.

2. Перейдем к механической системе.

Просуммируем полученные равенства для всех точек системы.

В левой части получим:

В правой части отделим моменты внешних сил от моментов внутренних сил:

∑=1 ( ) = ∑=1 ( ) + ∑=1 ( ).

Внутренние силы, как силы взаимодействия, попарно равны и противоположно направлены, и по этой причине

∑=1 ( ) = 0.

В результате получим равенство:

= ∑=1 ( )

Теорема доказана.

142

Вывод из теоремы:

внутренние силы не могут изменить кинетический момент

механической системы.

6.4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Предположим, что материальное тело вращается относительно оси z . По формуле (6.6) его кинетический момент будет равен Kz J z и тогда в соответствии с теоремой об изменении кинетического момента

Если тело в процессе вращения не изменяется, то Jz const и мы получаем

дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела:

Из сравнения формулы (3.8) для поступательного движения и формулы

(6.10) для вращательного движения видно, что при поступательном движении мерой инертности тела является его масса, а при вращательном − его момент инерции.

6.5. СЛУЧАИ СОХРАНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА

Из теоремы об изменении кинетического момента следуют два положения.

Следствие 1

Если главный момент внешних сил механической системы относительно некоторого центра все время равен нулю, то кинетический момент системы относительно этого центра остается неизменным.

Действительно, если ∑=1 ( ) = 0, то = 0 и = .

Следствие 2

r r0 d r за период времени dt

Рис. 7.2

Из формул (7.3) и (7.4) видно, что работа силы за некоторый промежуток времени t tB t A может быть вычислена путём интегрирования мощности по времени:

Вычисление работы при разных способах описания движения будет несколько отличаться. Рассмотрим эти отличия.

1. Закон движения задан в векторной форме

Если учесть формулу (7.2), то

146

2. Закон движения задан в аналитической форме

Если использовать аналитические выражения векторов

= + + ,

= + + .

то можно дать следующее выражение элементарной работы:

3. Закон движения задан в естественной форме

4. Рис. 7.3

Из кинематики известно, что при рассмотрении процесса движения в

«естественном» базисе , ,

где – единичный вектор касательной,

– единичный вектор нормали (см. рис. 7.3),

справедливы следующие зависимости:

= = ̇ ,= + ,

147

Когда проекция силы на касательную к траектории постоянна, то есть =, получаем, что

7.2.ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ВЫЧИСЛЕНИЯ МОЩНОСТИ И РАБОТЫ

1.Работа силы тяжести

Пусть тело массой m двигается под действием силы тяжести (рис. 7.4) по

некоторой траектории из точки А в точку В.

x

Рис. 7.4

148

Как было сказано в предыдущем параграфе, работа силы, записанная в аналитической форме равна:

A B dA B Fx dx Fy dy Fz dz

AA

Вданном случае Fx Fy 0, a Fz mg .

Выполняя интегрирование, получим:

При движении в обратном направлении получим тот же результат (рис. 7.4), но с противоположным знаком. Таким образом

(7.14)

Видим, что работа силы тяжести зависит только от начального и конечного положений точки. Силы, при действии которых работа не зависит от вида траектории, называются потенциальными силами.

2.Работа силы упругости

При растяжении (деформировании) в упругих элементах, таких как

тросы, стержни или пружины, возникает сила, препятствующая деформации.

Пусть некоторое тело закреплено на пружине, имеющей длину l , как показано на рис. 7.4. Пусть этому телу в начальном состоянии (состояние А)

соответствует координата

Рис. 7.4

В процессе деформирования пружина изменяет длину на некоторую величину x , которая изменяется от нуля до l (состояние В). Возникающая