Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

10486

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

6.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

Рис.3.19

П	[;\		O	ef		Î RÎ
	[;\		+		w		x		2 .	(4.4)
		'	Q						2 .	(4.4)
Подставляя (4.3) и (4.4) в закон сохранения энергии										П[;\ E[;\ , получим
формулу Рэлея для определения основной собственной частоты колебаний:
			O	Ú	IPw \		x-	:\		(4.5)
	O!Ú![ \ - \ :\ .

При подстановке в (4.5) точного выражения формы колебаний, получим точное значение собственной частоты. Однако, в большинстве случаев, уравнение формы колебаний заранее неизвестно и его задают приближенно. Принимаемая для решения форма собственных колебаний основного тона должна отвечать граничным условиям и не иметь узловых точек. Обобщая (4.5) на системы с распределенной массой m(x) и n сосредоточенными массами ^ , $ 1,2 … % , получим I формулу


Рэлея:		O!Ú IPw \ x-:\
		O!Ú IPw \ x-:\		,	(4.6)
	O!Ú [ \ - \ :\1∑rÛ)m		*r - \r	,

где Î^ амплитуда колебаний точки с массой ^ в соответствии с принятой формой колебаний- Î .

Уравнение формы собственных колебаний Î удобно принимать подобным уравнению прогиба системы от статической нагрузки g Î g · m x , то есть от действия сил тяжести, соответствующих массе системы. В этом случае получим

II формулу Рэлея:	Oã	ß à á à âà1∑rÛ)m			*r \r
g								.	(4.7)
	Ú !		-	m		-	\r
	O! [ \			\ :\1∑rÛ) *r

Пример 4.1.1. Определить основную собственную частоту колебаний простой балки с равномерно-распределенной массой (рис. 4.2).

Решение.

а). Зададим форму собственных колебаний точным уравнением:

Î ]'#$% Q Î.

Вычислим интегралы, входящие в (4.5):

O ef Î RÎ ]

#$%

ÎRÎ ]

Q ,

Î R Î ]'

ä #$%

ÎRÎ ]'

Тогда, согласно (4.5),

будем иметь:

Q-- IP[ ½,VH½HQ- IP[ .

Получено точное значение основной собственной частоты, так как уравнение собственной формы колебаний задано точно.

б). Зададим форму собственных колебаний в виде уравнения прогиба от

статической нагрузки å Ùg : Î CIPæ 35Î 0 23Î5 ÎC .

Вычислим интегралы, входящие в (4.7):

äQy x dx

qlM

ä l5x 0 2lx5 xC dx

24EI

24EI · 5

äQ Î RÎ ¶

Î 0 23Î5

ÎC RÎ ¶

3½ .

å · ä 35

24ef

630

Тогда, согласно (4.7), получим:

9,88

24ef · g · 630 · 3M

97,55

Ùg · 31 · 5 · 3½

Ù3C ;

BÙ .

Погрешность

решения б)

в сравнении

с решением

а)

составляет 0,105%.

Формула Рэлея всегда дает несколько завышенное значение собственной частоты.

Пример 4.1.2. Определить основную собственную частоту колебаний простой балки с двумя сосредоточенными массами (рис. 4.3).

Решение. Зададим форму собственных колебаний в виде уравнения прогиба от статической нагрузки j Ù g и для определения ' и , входящих в (4.7),

построим эпюры изгибающих моментов от нагрузки и от силы j 1 (рис. 4.3).

Используя правило перемножения эпюр Верещагина,													будем иметь:
1	2			3 2	g3			1	1	1	3 2		·	g3 1
' 2	· 9		3 · 3 · 3		·	3		· ef 2		· 9	3 · 3 · 3			3 · ef
		g3		3	3	3		1		5	g35	.
			3	· 3 · 2		· 9	· ef		162		· ef

Тогда:

g35

· 2

162ef

162 ·

5,69B

g35

5 35

;

M ±162

· 2

Получено точное значение основной собственной частоты.

Пример 4.1.3. Определить основную собственную частоту колебаний консольной балки (рис. 4.4) жесткостью EI, пролетом l с

равномерно-распределенной массой m и двумя сосредоточенными массами

' 0,5Ù3, 0,2Ù3 .

Решение.

Задаем форму собственных колебаний уравнением

Вычисляем интегралы, входящие в (4.5):

]' ¶1 0 ×# Q

RÎ

3,038

äw Îx RÎ ä ì]' ¶1 0 ×#

]' ;

+,HQ

Ù Î

+,HQ

¶1

0 ×#

·ï

;

Î RÎ ä Ù î]'

RÎ 0,536Ù3]'

0,63 ì]' ±1 0 ×#

· 0,63

³í

;

Î '

0,1698]'

3 ì]' ±1 0 ×#

³í

]' .

Подставляем полученные величины в (4.5) и определяем основную собственную

частоту:			3,038 · A'/35	3,038ef C		efC
ef			3,038 · A'/35	3,038ef C	3,701	efC	;
	0,536Ù3]'		0,5ml · 0,1698A' 0,2ml · A'	0,8209Ù3		Ù3
		ef
1,924BÙ3C .

Пример 4.1.4. Определить самостоятельно основную собственную частоту колебаний следующих систем (рис. 4.5), задаваясь формой собственных колебаний в виде уравнения прогиба от статической нагрузки å Ù g :

-в схеме «а»:

-в схеме «б»:

-в схеме «в»:

-в схемах «г» и

	86
Î	æQCIP- Î ¶1 0 2 \Q \Q--· ;
Î CVIPæQ- ¶5 \Q99 0 2 \QFF 0 3 \Q--· ;
Î C+IPHæQ- ¶Î 0 H' \Q-F· ;
«д»:	от статической нагрузки j · g .


Результаты решения:
а) 22,45		[QIPF		;	б) 15,45	[QIPF		; в) 3,59	[QIPF	;
г) 0,56	*QIP9		;		д) 0,498		*QIP9	.

4.2.Способ приведенной массы

Вэтом способе система с распределенной массой Ù\ и n сосредоточенными массами ^ (i=1,2,… n) (рис. 4.6) заменяется системой с одной степенью свободы,

пр , сосредоточенную в произвольной точке «а». Законы движения

таких систем описываются уравнением в форме Фурье [5]:
Î, & Î & ,	(4.8)
где & - функция, определяющая движение системы во времени, а сами системы

считаются динамически эквивалентными. При таком условии, системы должны

иметь одинаковые кинетические энергии E в любой момент времени [5], то есть

Î^ ô

4.9

, &

òä Ù Î

Î RÎ ó

для заданной системы и

^t'

e пр

· ;

· , &

(4.10)

для системы с одной степенью свободы.

Приравнивая (4.9) и (4.10), получаем выражение приведенной массы

RÎ

∑^t's

пр ;

4.11

и основной собственной частоты

;

87
1	,	4.12
B ;c;;	,	4.12

где õ ö – уравнение собственной формы колебаний; õ öˆ и õ÷ - ординаты формы собственных колебаний в точках, соответственно, где сосредоточена масса …ˆ и приведенная …÷ ; ø÷÷ - удельное перемещение в точке ÷, где сосредоточена приведенная масса …÷.

Пример 4.2.1. Определить основную собственную частоту колебаний простой балки с равномерно-распределенной массой (рис. 4.2).

Решение.

а) Приведем массу в середину пролета и зададим форму собственных колебаний

точным уравнением: ˜

õ ö ùÔ‡ˆ‰ ú ö.

Вычислим интеграл, входящий в (4.11):

ú		•			•	ú	‡ˆ‰	˜	•	ûú	,
ä		û ö õ	ö Œö ûùÔ			ä		ú	öŒö ùÔ	•
	•	•ú и ø÷÷:				•
а также õ÷ при ö				˜	ú				ú—
Тогда:		õ÷ ùÔ‡ˆ‰ ú			· • ùÔ ,		ø÷÷ üÓýþ .
…÷	ù•·ùÔ• ·ûúÔ•	ûú• , † Ô·•·üÓýþû·ú·ú—					,ú• Ó ýþû .

Погрешность решения 0,72% в сравнении с точным решением, приведенным в примере 4.1.1 а.

б) Приведем массу в середину пролета и зададим форму собственных колебаний

уравнением:

õ ö •üýþÑ ú—ö 0 •úö— öü .

Вычислим интеграл, входящий в (4.11):

• —Ô

•

ö Œö û ¶

• ú

—

•

Œö û

ä û ö õ

•üýþ

ä ú

ö 0 •úö

—•

•

•üýþ

а также õ÷ при ö •ú

и ø÷÷:

ú—

Ñúü

õ÷ —Óüýþ Ô

· •üýþ

, ø÷÷ üÓýþ .

Тогда:

•

—Ô

üÓýþ

ýþ

…÷

û ¶•üýþ·

· —• ú

•

•, •— ûú , † B•, •— ûúü

ú•

Bû .

•üýþ

Погрешность решения составляет 1,11% в сравнении с точным решением, приведенным в примере 4.1.1 а.

Пример 4.2.2. Определить основную собственную частоту колебаний простой балки с двумя сосредоточенными массами (рис. 4.7).

Решение.

Зададим форму собственных колебаний в виде уравнения прогиба от

статической нагрузки

j Ù g и для определения

' и

, ; и

c;;, входящих в

(4.11) и (4.12), построим эпюры изгибающих моментов от нагрузки и от сил j 1

j; 1 (рис. 4.7).

Используя правило перемножения эпюр Верещагина, будем иметь:

1 2 3 2

g3 1

1 3 2 g3

2 ·

3 ·

· 3 · ef 2

· 9

3 · 3 ·

3 · 3

· ef

g35

;

· ef

162 ·

… ú

•—… ú—

•

… ú

õ÷ •

· — · · — ·

—

· • · ýþ

•

ü³ ·

· —

· • ·

ü · Ô •ýþ .

ø÷÷

•

ú—

• ·

ü ·

•

—

ü ·

ýþ · •

üÓýþ .

Тогда:	±		·		³	•	· •

					—
…÷		Ô •		— •				Ô, Ô•— ;
		•—	• ·			³
	±ü · Ô


B	üÓýþ		—B
B	Ô, Ô•—…ú—	,	—B	ú—	.

Погрешность решения в сравнении с примером 4.1.2 составляет 1,05%.

Если привести обе сосредоточенные массы в точку «1» или «2», то погрешность

, Ô• .

будет больше и составит 3,13%, так как в этом случае ú—

Пример 4.2.3. Определить основную собственную частоту колебаний консольной балки (рис.4.4) с распределенной по длине массой m и

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20236.05 Mб010481.pdf
#
25.11.20236.07 Mб010482.pdf
#
25.11.20236.07 Mб110483.pdf
#
25.11.20236.07 Mб010484.pdf
#
25.11.20236.07 Mб010485.pdf
#
25.11.20236.07 Mб110486.pdf
#
25.11.20236.08 Mб010487.pdf
#
25.11.20236.1 Mб610488.pdf
#
25.11.20236.11 Mб010489.pdf
#
21.11.2023172.61 Кб01049.pdf
#
25.11.20236.12 Mб010490.pdf