10482
.pdf80
81
Рис.3.19
П |
|
|
|
O |
|
82 |
|
|
|
|
|
[;\ |
|
ef |
Î RÎ |
|
|||||||
|
|
+ |
|
w |
|
x |
2 . |
(4.4) |
|||
|
|
|
' |
Q |
|
|
|
|
|
||
Подставляя (4.3) и (4.4) в закон сохранения энергии |
П[;\ E[;\ , получим |
||||||||||
формулу Рэлея для определения основной собственной частоты колебаний: |
|||||||||||
|
|
|
|
O |
Ú |
IPw \ |
x- |
:\ |
(4.5) |
||
|
O!Ú![ \ - \ :\ . |
|
При подстановке в (4.5) точного выражения формы колебаний, получим точное значение собственной частоты. Однако, в большинстве случаев, уравнение формы колебаний заранее неизвестно и его задают приближенно. Принимаемая для решения форма собственных колебаний основного тона должна отвечать граничным условиям и не иметь узловых точек. Обобщая (4.5) на системы с распределенной массой m(x) и n сосредоточенными массами ^ , $ 1,2 … % , получим I формулу
Рэлея: |
|
|
O!Ú IPw \ x-:\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(4.6) |
||
|
O!Ú [ \ - \ :\1∑rÛ)m |
*r - \r |
|
где Î^ амплитуда колебаний точки с массой ^ в соответствии с принятой формой колебаний- Î .
Уравнение формы собственных колебаний Î удобно принимать подобным уравнению прогиба системы от статической нагрузки g Î g · m x , то есть от действия сил тяжести, соответствующих массе системы. В этом случае получим
II формулу Рэлея: |
Oã |
ß à á à âà1∑rÛ)m |
*r \r |
|
|
||||
g |
. |
(4.7) |
|||||||
Ú ! |
|
- |
m |
|
- |
\r |
|
||
|
O! [ \ |
|
\ :\1∑rÛ) *r |
|
|
|
Пример 4.1.1. Определить основную собственную частоту колебаний простой балки с равномерно-распределенной массой (рис. 4.2).
Решение.
а). Зададим форму собственных колебаний точным уравнением:
Î ]'#$% Q Î.
Вычислим интегралы, входящие в (4.5):
O+Q efw Îx RÎ ]' QFF O+Q #$% Q ÎRÎ ]' · QFF · Q ,
83
Q |
|
|
Q |
|
|
· |
3 |
. |
ä |
Î R Î ]' |
ä #$% |
3 |
ÎRÎ ]' |
2 |
|||
+ |
|
|
+ |
|
|
|
||
Тогда, согласно (4.5), |
будем иметь: |
Q-- IP[ ½,VH½HQ- IP[ . |
Получено точное значение основной собственной частоты, так как уравнение собственной формы колебаний задано точно.
б). Зададим форму собственных колебаний в виде уравнения прогиба от |
||||||||||||||||||
статической нагрузки å Ùg : Î CIPæ 35Î 0 23Î5 ÎC . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Вычислим интегралы, входящие в (4.7): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
äQy x dx |
å |
|
Q |
|
|
|
|
qlM |
, |
|
|
|
|
|
||||
|
ä l5x 0 2lx5 xC dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
+ |
|
|
|
|
24EI |
+ |
Q |
|
|
24EI · 5 |
|
å |
|
|
31 |
|
||
äQ Î RÎ ¶ |
|
|
Î 0 23Î5 |
ÎC RÎ ¶ |
|
· |
3½ . |
|||||||||||
|
å · ä 35 |
|
||||||||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
24ef |
+ |
|
|
|
|
|
24ef |
|
630 |
|
||
Тогда, согласно (4.7), получим: |
|
ef |
|
|
9,88 |
|
ef |
|
||||||||||
|
|
|
24ef · g · 630 · 3M |
97,55 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Ùg · 31 · 5 · 3½ |
Ù3C ; |
|
3 |
BÙ . |
|
|||||||||||
Погрешность |
решения б) |
в сравнении |
с решением |
|
а) |
составляет 0,105%. |
Формула Рэлея всегда дает несколько завышенное значение собственной частоты.
Пример 4.1.2. Определить основную собственную частоту колебаний простой балки с двумя сосредоточенными массами (рис. 4.3).
Решение. Зададим форму собственных колебаний в виде уравнения прогиба от статической нагрузки j Ù g и для определения ' и , входящих в (4.7), построим эпюры изгибающих моментов от нагрузки и от силы j 1 (рис. 4.3).
Используя правило перемножения эпюр Верещагина, |
|
будем иметь: |
||||||||||||
1 |
2 |
|
3 2 |
· |
g3 |
1 |
1 |
1 |
3 2 |
· |
g3 1 |
|||
' 2 |
· 9 |
3 · 3 · 3 |
|
3 |
|
· ef 2 |
· 9 |
3 · 3 · 3 |
3 · ef |
|||||
|
g3 |
3 |
3 |
3 |
|
1 |
|
5 |
g35 |
. |
|
|||
Тогда: |
|
3 |
· 3 · 2 |
· 9 |
· ef |
162 |
· ef |
|
84
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
g35 |
· 2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
162ef |
|
|
ef |
||||||
|
|
162 · |
ef |
|
|
|
5,69B |
||||||||
|
|
g |
5 |
· |
g35 |
³ |
|
|
5 35 |
; |
35 |
. |
|||
|
|
|
M ±162 |
|
ef |
· 2 |
|
|
|
|
|
|
Получено точное значение основной собственной частоты.
Пример 4.1.3. Определить основную собственную частоту колебаний консольной балки (рис. 4.4) жесткостью EI, пролетом l с
равномерно-распределенной массой m и двумя сосредоточенными массами
' 0,5Ù3, 0,2Ù3 .
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
· |
|
|
Задаем форму собственных колебаний уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||
Вычисляем интегралы, входящие в (4.5): |
Î |
|
'' |
|
|
|
]' ¶1 0 ×# Q |
|
|
|||||||||||||||||
Q |
|
|
|
|
|
Q |
|
RÎ |
3,038 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
äw Îx RÎ ä ì]' ¶1 0 ×# |
23 |
|
· |
|
í |
|
|
3 |
5 |
]' ; |
|
|
|
|
||||||||||||
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+,HQ |
Ù Î |
|
|
|
+,HQ |
¶1 |
|
|
0 ×# |
·ï |
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||
ä |
|
|
Î RÎ ä Ù î]' |
|
|
23 |
|
RÎ 0,536Ù3]' |
||||||||||||||||||
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0,63 ì]' ±1 0 ×# |
· 0,63 |
³í |
|
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||||
' |
Î ' |
|
|
23 |
|
|
|
0,1698]' |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 ì]' ±1 0 ×# |
3 |
³í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Î |
23 |
|
]' . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляем полученные величины в (4.5) и определяем основную собственную
частоту: |
|
|
|
3,038 · A'/35 |
|
3,038ef C |
|
efC |
|
ef |
|
|
3,701 |
; |
|||||
|
0,536Ù3]' |
0,5ml · 0,1698A' 0,2ml · A' |
0,8209Ù3 |
|
Ù3 |
|
|||
|
|
ef |
|
|
|
|
|
|
|
1,924BÙ3C . |
|
|
|
|
|
|
Пример 4.1.4. Определить самостоятельно основную собственную частоту колебаний следующих систем (рис. 4.5), задаваясь формой собственных колебаний в виде уравнения прогиба от статической нагрузки å Ù g :
-в схеме «а»:
-в схеме «б»:
-в схеме «в»:
-в схемах «г» и
Î |
86 |
æQCIP- Î ¶1 0 2 \Q \Q--· ; |
|
Î CVIPæQ- ¶5 \Q99 0 2 \QFF 0 3 \Q--· ; |
|
Î C+IPHæQ- ¶Î 0 H' \Q-F· ; |
|
«д»: |
от статической нагрузки j · g . |
Результаты решения: |
|
|
|
|
|
|
||||
а) 22,45 |
[QIPF |
; |
б) 15,45 |
[QIPF |
; в) 3,59 |
[QIPF |
; |
|||
г) 0,56 |
*QIP9 |
; |
д) 0,498 |
*QIP9 |
. |
4.2.Способ приведенной массы
Вэтом способе система с распределенной массой Ù\ и n сосредоточенными массами ^ (i=1,2,… n) (рис. 4.6) заменяется системой с одной степенью свободы,
пр , сосредоточенную в произвольной точке «а». Законы движения
таких систем описываются уравнением в форме Фурье [5]: |
|
Î, & Î & , |
(4.8) |
где & - функция, определяющая движение системы во времени, а сами системы |
считаются динамически эквивалентными. При таком условии, системы должны |
|||||||||||||||||||||||
иметь одинаковые кинетические энергии E в любой момент времени [5], то есть |
|||||||||||||||||||||||
e |
1 |
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
^ |
|
Î^ ô |
4.9 |
2 |
, & |
òä Ù Î |
|
Î RÎ ó |
|
||||||||||||||||||
для заданной системы и |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^t' |
|
|
|
|
|||
|
e пр |
· ; |
|
· , & |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.10) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
для системы с одной степенью свободы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Приравнивая (4.9) и (4.10), получаем выражение приведенной массы |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
O |
Ù |
|
Î |
|
|
|
Î |
|
RÎ |
∑^t's |
|
|
Î |
|
|
|
|||||
пр ; |
+Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
^ |
|
|
4.11 |
||||||||
и основной собственной частоты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.12 |
|
|
|
B ;c;; , |
|
|
|
|
|
|
|
|
87
88
где õ ö – уравнение собственной формы колебаний; õ öˆ и õ÷ - ординаты формы собственных колебаний в точках, соответственно, где сосредоточена масса …ˆ и приведенная …÷ ; ø÷÷ - удельное перемещение в точке ÷, где сосредоточена приведенная масса …÷.
Пример 4.2.1. Определить основную собственную частоту колебаний простой балки с равномерно-распределенной массой (рис. 4.2).
Решение.
а) Приведем массу в середину пролета и зададим форму собственных колебаний
точным уравнением: ˜
õ ö ùÔ‡ˆ‰ ú ö.
Вычислим интеграл, входящий в (4.11):
ú |
• |
|
|
• |
ú |
‡ˆ‰ |
˜ |
• |
ûú |
, |
|
ä |
û ö õ |
ö Œö ûùÔ |
ä |
ú |
öŒö ùÔ |
• |
|||||
|
• |
•ú и ø÷÷: |
|
|
• |
|
|
|
|||
а также õ÷ при ö |
˜ |
ú |
|
|
|
ú— |
|
|
|||
Тогда: |
õ÷ ùÔ‡ˆ‰ ú |
· • ùÔ , |
ø÷÷ üÓýþ . |
|
|
||||||
…÷ |
ù•·ùÔ• ·ûúÔ• |
ûú• , † Ô·•·üÓýþû·ú·ú— |
,ú• Ó ýþû . |
|
|
Погрешность решения 0,72% в сравнении с точным решением, приведенным в примере 4.1.1 а.
б) Приведем массу в середину пролета и зададим форму собственных колебаний |
|||||||||||||||||||
уравнением: |
õ ö •üýþÑ ú—ö 0 •úö— öü . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вычислим интеграл, входящий в (4.11): |
|
|
|
|
Ñ |
|
• —Ô |
|
|
|
|||||||||
ú |
• |
ö Œö û ¶ |
Ñ |
· |
• ú |
— |
|
— |
ü |
• |
Œö û |
¶ |
· |
ú |
|
, |
|||
ä û ö õ |
|
•üýþ |
ä ú |
|
ö 0 •úö |
ö |
|
|
—• |
|
|||||||||
• |
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
•üýþ |
|
|
|
|||
а также õ÷ при ö •ú |
и ø÷÷: |
|
|
|
|
Ñ |
|
|
ú— |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Ñúü |
|
|
ú |
ü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
õ÷ —Óüýþ Ô |
|
· •üýþ |
, ø÷÷ üÓýþ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
89 |
|
|
|
|
Тогда: |
|
|
Ñ |
|
|
• |
—Ô |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
üÓýþ |
, |
ýþ |
||||||
…÷ |
û ¶•üýþ· |
|
· —• ú |
|
|
|||||||||||
¶ |
Ñ |
· |
• |
· |
¶ |
|
ü |
· |
• |
•, •— ûú , † B•, •— ûúü |
ú• |
Bû . |
||||
|
|
|
Ô |
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
•üýþ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Погрешность решения составляет 1,11% в сравнении с точным решением, приведенным в примере 4.1.1 а.
Пример 4.2.2. Определить основную собственную частоту колебаний простой балки с двумя сосредоточенными массами (рис. 4.7).
Решение.
Зададим форму собственных колебаний в виде уравнения прогиба от |
||||||||||||||||||||||||||||
статической нагрузки |
|
j Ù g и для определения |
' и |
, ; и |
c;;, входящих в |
|||||||||||||||||||||||
(4.11) и (4.12), построим эпюры изгибающих моментов от нагрузки и от сил j 1 |
и |
|||||||||||||||||||||||||||
j; 1 (рис. 4.7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Используя правило перемножения эпюр Верещагина, будем иметь: |
|
|||||||||||||||||||||||||||
' |
1 2 3 2 |
g3 1 |
|
1 |
1 3 2 g3 |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 · |
9 |
3 · |
3 |
· |
3 |
· 3 · ef 2 |
· 9 |
3 · 3 · |
3 · 3 |
|
· ef |
|
|
|||||||||||||||
|
|
g3 |
· |
3 |
· |
3 |
· |
3 |
1 |
|
5 |
|
|
g35 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ô |
|
3 |
3 |
2 |
9 |
· ef |
162 · |
|
|
ef |
|
ú |
… ú |
|
Ô |
|
•—… ú— |
|
||||||||||
ú |
|
ú |
• |
… ú |
|
Ô |
|
Ô |
ú |
|
|
ú |
|
|
|
|
||||||||||||
õ÷ • |
· — · · — · |
— |
|
· • · ýþ |
|
• |
± |
|
|
ü³ · |
|
· — |
· • · |
|
|
ü · Ô •ýþ . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
ø÷÷ |
Ô |
|
ú |
ú |
· |
• |
· |
ú |
|
|
Ô |
|
|
ú— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• · |
ü · |
• |
— |
ü · |
ýþ · • |
üÓýþ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда: |
± |
|
· |
|
³ |
• |
· • |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
— |
|
|
||
…÷ |
|
Ô • |
|
— • |
Ô, Ô•— ; |
|||
|
|
•— |
• · |
|
³ |
|
||
|
±ü · Ô |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
üÓýþ |
|
|
|
—B |
|
|
|
Ô, Ô•—…ú— |
|
, |
|
ú— |
. |
Погрешность решения в сравнении с примером 4.1.2 составляет 1,05%.
Если привести обе сосредоточенные массы в точку «1» или «2», то погрешность
, Ô• .
будет больше и составит 3,13%, так как в этом случае ú—
Пример 4.2.3. Определить основную собственную частоту колебаний консольной балки (рис.4.4) с распределенной по длине массой m и