10316

[Введите текст]

где (a,0,0) , (0,b,0) и (0,0,c) – точки пересечения плоскости с координатными осями. Действительно, из (11.2) следует Ax By Cz D и далее,

предполагая, что D 0 (т.е. плоскость не проходит через начало координат) и разделив обе части этого уравнения на D , получим уравнение (11.3), в

z

c

b

y

x a

Рис. 11.6

Получим уравнение плоскости, проходящей через три заданные

точки M1 (x1, y1, z1 ) , M 2 (x2 , y2 , z2 ) , M 3 (x3 , y3 , z3 ) . Пусть M (x, y, z) – произ-

вольная точка плоскости П .

M2

M

M3

[Введите текст]

Раскладывая этот определитель по элементам первой строки, приведем его к линейному уравнению относительно x, y, z вида (11.2).

11.2. Взаимное расположение двух плоскостей. Пусть заданы две плоскости П1 и П2 уравнениями (см. рис. 11.8).

A1x B1 y C1z D1 0 , A2 x B2 y C2 z D2 0 .

Рис. 11.8

Найдем угол между ними в предположении, что они пересекаются. Пересекаясь, плоскости образуют две пары равных двугранных углов. Углом

В частности, условие перпендикулярности и условие параллельности двух плоскостей имеют вид

81

[Введите текст]

В последнем случае, если дополнительно выполняется равенство

то эти плоскости совпадают.

Аналогично понятию пучка прямых на плоскости существует понятие

пучка плоскостей, проходящих через линию пересечения двух задан-

ных плоскостей. В частности, им удобно пользоваться, когда нужно найти плоскость, проходящую через линию пересечения данных плоскостей и удовлетворяющую некоторому дополнительному условию. Уравнение пучка плоскостей имеет вид

ращают в ноль обе скобки в (11.5), то при любом эта плоскость проходит через линию пересечения этих плоскостей.

11.3. Расстояние от точки до плоскости. Пусть требуется вычислить расстояние от точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) до плоскости Ax By Cz D 0 .

Рис. 11.9

Пусть M1 ( x1, y1, z1 ) – проекция точки M 0 на данную плоскость (см. рис. 11.9). Искомое расстояние равно абсолютной величине проекции вектора M1M 0 на направление нормального вектора N A, B,C :

82

Отсюда следует, что M1O { x1, y1, z1} N {3, 2, 1}

83

[Введите текст]

z

Рис. 11.10

Из равенства (11.7), взятого со знаком плюс, имеем

Отсюда находим M1 ( 1.5,1,0.5) .

Лекция 12. Прямая линия в пространстве

12.1. Различные виды уравнений прямой. Пусть в трехмерном про-

странстве с декартовой прямоугольной системой координат имеем прямую L , и мы хотим получить уравнение, связывающее координаты любой её точки. Пусть M 0 (x0 , y0 , z0 ) – некоторая фиксированная точка этой прямой и

S {m, n, p} – вектор, параллельный прямой L , называемый направляю-

щим вектором этой прямой

84

[Введите текст]

Рис. 12.1

Записывая равенство (12.1) в координатах, получим так называемые пара-

метрические уравнения прямой в пространстве

Ясно, что при изменении значения параметра t в пределах от до точка M (x, y, z) «пробегает» всю прямую L . В частности, при t 0 урав-

нения (12.2) дают координаты точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) .

Выразим параметр t из каждого уравнения (12.2), приравняем друг другу полученные выражения и придем к так называемым каноническим

уравнениям прямой в пространстве

нение плоскости, параллельной оси O z . Так как координаты любой точки

прямой (12.3) удовлетворяют уравнению (12.4), то прямая L лежит в этой плоскости

Рис.12.2

Линия пересечения плоскости (12.4) с плоскостью xOy является проекцией

прямой L на эту координатную плоскость.

Рассматривая совместно пару равенств из (12.3) , например,

получим уравнение прямой L в виде линии пересечения двух плоскостей.

В общем случае уравнения прямой как линии пересечения двух непараллельных плоскостей П1 и П2 имеют вид

Приведём конкретный пример задания прямой в таком виде (см. рис. 2.3).

86

[Введите текст]

Рис. 12.3

Выше был показан переход от канонических уравнений прямой к уравнениям вида (12.5). Покажем, как из уравнений (12.5) получить канонические уравнения этой прямой. Для этого надо найти какую-нибудь одну точку прямой L и её направляющий вектор. Для нахождения координат точки решим систему двух уравнений (12.5) относительно двух переменных, коэффициенты перед которыми образуют базисный минор, фиксируя при этом третью переменную. Совместность этой системы уравнений, а значит, и наличие такого минора, гарантируется предположением о том, что плоскости П1 и П2

не параллельны. Пусть, например,

Таким образом, координаты точек прямой L , заданной уравнениями (12.5), удовлетворяют уравнениям (12.7), которые можно рассматривать как

87

[Введите текст]

канонические уравнения этой прямой. В частности, точка ( , ,0) лежит на

этой прямой, а S { , ,1} – её направляющий вектор.

Возможен и другой путь получения канонических уравнений прямой из уравнений прямой как линии пересечения двух плоскостей П1 и П2 , за-

данных уравнениями (12.5)

Рис. 12.4

Очевидно, что в качестве направляющего вектора S {m, n, p} прямой

а координаты какой-нибудь точки этой прямой получим, решая систему (12.5) при фиксированном значении переменной z (например, z 0 ).

Получим уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки M1 (x1, y1, z1 ) и M 2 (x2 , y2 , z2 ) . Очевидно, что направляющим вектором этой прямой может служить вектор

M1M2 {x2 x1, y2 y1, z2 z1}, и тогда канонические уравнения примут вид

12.2.Проекция точки на прямую и расстояние от точки до прямой

впространстве. Пусть прямая задана каноническими уравнениями

88

[Введите текст]

Обозначим через M 2 (x2 , y2 , z2 ) проекцию точки M 0 на данную пря-

мую (см. рис. 12.5). Напомним, что проекцией точки M на ось L в пространстве называется точка M1 пересечения оси L и плоскости, проходящей

через точку M 0 перпендикулярно этой оси.

Рис.12.5

Требуется найти координаты точки M 2 и расстояние от точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) до этой прямой. Искомая точка будет найдена, если мы найдем вектор M1M 2 , который коллинеарен вектору S {m, n, p} и имеет длину, равную модулю проекции вектора M1M0 {x0 x1, y0 y1, z0 z1} на вектор S . Так как

Поэтому искомое расстояние вычисляется по формуле

d | M1M0 M1M2 | | M1M0 M1M0 , S S | .

| S |2

Пример. Вычислить расстояние точки M 0 (2, 1,3) до прямой

89