10313

[Введите текст]

Лекция 24. Кривизна. Приближённое решение уравнений

24.1. Понятие кривизны. Одна и та же кривая в разных точках искривлена по-разному. Например, синусоида в точках пересечения с осью абсцисс почти прямая, а в вершинах дуг наиболее искривлена. Более того, на различных участках она искривлена в разном направлении. Нельзя ли както определить кривизну в данной точке кривой? Оказывается можно. Для этого определим сначала среднюю кривизну некоторого участка кривой.

Пусть при перемещении точки по кривой из положения M1 в положение M 2 касательный вектор повернётся на угол . Обозначим пройденное расстояние через s . Ясно, что есть функция s (см. рис. 24.1).

Рис. 24.1

Отношение

k

s cp

назовём средней кривизной участка кривой s .

Рассмотрим некоторые примеры. Перемещение точки вдоль прямой на расстояние s не меняет направления касательного вектора, т.е. 0 . Таким образом, средняя кривизна любого участка прямой линии равна нулю, что не противоречит здравому смыслу.

Пусть теперь точка «прошла» некоторую дугу s окружности радиуса R . Поскольку длина дуги окружности с центральным углом равна

s R , то средняя кривизна любой части окружности равна

1 kcp s R s R

170

[Введите текст]

Рис. 24.2

Естественно теперь ввести понятие кривизны в данной точке как предел средней кривизны, когда длина участка s стремится к нулю

т.е. кривизна равна производной угла поворота касательного вектора по длине кривой.

24.2. Вычисление кривизны плоской кривой. Для вывода формулы кривизны кривой y f (x) продифференцируем по переменной s равен-

ство, выражающее геометрический смысл ее производной

(s) arctg yx .

Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, получим

Как показывает эта формула, для существования кривизны необходимо, чтобы функция y f (x) была дважды дифференцируема. Кроме того, эта

формула показывает, что кривая имеет положительную кривизну для выпуклых функций.

Пример. Найдем кривизну параболы y x2

171

Из этой формулы видно, что при больших значениях x кривизна параболы близка к нулю, т.е. парабола «выпрямляется», а наибольшая кривизна будет в начале координат и равна 2 .

24.3. Геометрический смысл кривизны. Назовем радиусом кри-

визны для кривой в заданной точке величину R 1k . Используя формулу

кривизны k R1 для окружности радиуса R , дадим следующую геометри-

ческую интерпретацию радиуса кривизны произвольной кривой. Пусть кривизна в данной точке равна k . Через эту точку проведем окружность той же кривизны с центром на нормали к кривой в этой точке. Радиус этой окруж-

На следующем рисунке приведён график функции y cos x и соответствующая окружность. Кривизна в любой точке вычисляется по формуле

Рис. 24.3

В начале координат k(0) 1. Кривизна отрицательна, так как кривая вы-

сти расположен в начале координат.

Свойство кривизны изменять своё значение вдоль кривой используется, например, при сопряжении прямолинейных участков железнодорожных путей с закруглениями. Допустим, что прямолинейный участок примыкает к участку, имеющему вид дуги окружности. Причем они в точке соединения

172

[Введите текст]

имеют общую касательную, т. е. соединение гладкое. Но при движении поезда в этой точке мгновенно возникнет центробежная сила, создавая резкий толчок, что нежелательно. Поэтому такие участки соединяют с помощью некоторой переходной кривой. Вдоль неё кривизна постепенно нарастает от нулевого значения до величины обратной радиусу закругления. Аналогичная ситуация наблюдается при конструировании различного рода зубчатых зацеплений.

Например, написав для уравнения x2 2 0 формулу для одного из его корней x1 2 , мы только указали математическую операцию, с помощью

которой этот корень можно вычислить. Поэтому возникает необходимость приближённого вычисления корня данной функции. Обычно задают допустимую погрешность , с которой этот корень нужно вычислить. Это значит нужно найти такой промежуток [a,b] , содержащий корень ( f ( ) 0 ),

что его длина b a . Предполагается, что вычисление значений функции f (x) проблемы не составляет.

Рассмотрим несколько методов поиска корней на примере уравнения

f (x) x3 x 1 0 .

нашего уравнения. Покажем, что других корней в этом промежутке нет.

функции один раз пересечёт ось Ox , переходя от отрицательного значения к положительному значению. Иногда эту процедуру «отделения» корня про-

изводят графически. Построим графики функций y1 x3 и y2 1 x . Абс-

цисса точки их пересечения и есть искомый корень (см. рис. 24.4). В нашем случае из рисунка видно, что корень расположен в промежутке 0,6 0,8, т. е. мы ещё сузили промежуток, где находится корень. Далее применим так называемый метод деления отрезка. Вычисляем значение

тельно, корень находится в промежутке 0,6 0,7 , т. е. корень вычислен с точностью до 0,1. Ясно, что эту процедуру уточнения значения корня можно продолжить, но она требует слишком большого количества вычислений.

173

Рис. 24.4

Познакомимся с методами, которые быстрее ведут к цели. Но для их применения нужна дополнительная информация о поведении функции в промежутке, на котором изолирован корень. Заметим, что вторая производная функции f (x) 6x 0 положительна, следовательно, график функции

в промежутке 0,6 x 0,7 имеет вид (см. рис. 24.5)

Рис. 24.5

Если провести хорду АВ , то точка a1 пересечения хорды с осью Ox даст

очередное приближение к искомому корню слева. Приближение справа можно получить, найдя точку пересечения b1 касательной (проходящей

через точку В ) с осью Ox . Запишем уравнение хорды АВ как уравнение прямой, проходящей через две точки

Значения функции на концах промежутка [0,681; 0,683] оказались разных знаков. Значит, мы вычислили корень с точностью 0,002 . Если же в качестве приближённого значения корня взять среднее арифметическое

(a1 b1) / 2 0,682 , то корень будет вычислен с точностью 0,001.

Рис. 24.6

175

[Введите текст]

Эту процедуру уточнения корня методом хорд и касательных можно продолжить, однако с методом касательных нужно быть внимательнее. Построив касательную не в той точке промежутка, можно не приблизиться к корню, а удалиться от него (см. рис 24.6). На рисунке хорды проведены пунктирной линией. Анализ возможных ситуаций показывает, что касательную нужно проводить из той точки кривой y f (x) , в которой знак

функции совпадает со знаком второй производной.

176

[Введите текст]

Раздел 5. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка

Лекция 25. Линии второго порядка

До сих пор в аналитической геометрии мы изучали прямые и плоскости, в уравнения которых переменные x , y и z входят в первой степени.

Сейчас переходим к рассмотрению кривых на плоскости, задаваемых более сложными алгебраическими уравнениями, включающими вторые степени текущих координат x и y или их взаимное произведение.

Уравнение вида

называется общим уравнением линии (кривой) второго порядка. В нём коэффициенты A , B , C , D , E и F — любые действительные числа, для

которых A2 B2 C2 0 , т.е. по крайней мере, одно из чисел A , B или C отлично от нуля. Например, уравнение x2 + xy + y2 - y - 5 = 0 относится

к классу уравнений второго порядка и получается из общего вида (25.1) при конкретном значении коэффициентов.

Простейшим примером кривой, задаваемой уравнением (25.1), является окружность. Окружность определяется как множество точек плоскости, равноудалённых от заданной точки (центра). Вводим на плоскости прямоугольную декартову систему координат, совместив её начало с центром окружности. Координаты произвольной точки M , лежащей на окружности, обозначим x и y . Эти координаты связаны между собой равенством

x2 + y2 = R2 , которое и представляет собой уравнение окружности. Ему

удовлетворяют координаты каждой точки окружности и не удовлетворяют координаты любой другой точки плоскости, не лежащей на ней. Видим, что это уравнение является уравнением второго порядка.

К другим линиям, задаваемым уравнением (25.1), относятся эллипс, гипербола и парабола. В некоторых случаях получаются пара пересекающихся или параллельных прямых, одна прямая или точка. Изучение этих классических линий мы, как и для окружности, будем начинать с их определения. Дальше будем ставить задачу вывести уравнение, которому удовлетворяют координаты точек в том и только том случае, когда точки лежат на рассматриваемой линии. Для получения уравнения будем вводить систему координат, располагая её по отношению к линии так, чтобы уравнение в этой системе имело простейший вид, называемый каноническим уравнением ли-

нии.

177

[Введите текст]

25.1. Эллипс. Эллипсом называется множество всех точек M плоскости, сумма расстояний каждой из которых до двух данных точек F1 и F2 есть

величина постоянная (её принято обозначать 2a ). В этих обозначениях можно коротко записать определение эллипса в виде равенства MF1 MF2 2a . Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса. Расстояние

F1F2 между фокусами обозначают 2c .

Из определения непосредственно вытекает способ построения: если концы нерастяжимой нити длины 2a закрепить в точках F1 и F2 , затем натя-

нуть нить остриём карандаша, то при движении острия оно будет вычерчивать выпуклую замкнутую линию (овал). Сумма расстояний от произвольной точки M до двух фиксированных точек F1 и F2 не может быть меньше

расстояния между точками F1 и F2 : MF1 MF2 F1F2 . Будем предполагать,

что это неравенство строгое, т.е. 2a 2c или a c .

Выведем теперь уравнение эллипса. Для этого введём прямоугольную декартову систему координат. В качестве оси абсцисс мы возьмём прямую, проходящую через F1 и F2 , считая её направленной от F1 к F2 , начало си-

стемы координат поместим в середине отрезка F1F2 (рис. 25.1).

Рис. 25.1

В этой системе координат для произвольной точки M координаты обозначим через x и y . Фокусы, оказавшись теперь на оси Ox симметрично

относительно начала, будут иметь координаты F1 c;0 и F2 c;0 . Расстояния MF1 и MF2 между точками заменим их выражениями через координаты. Получим

x c 2 y2 x c 2 y2 2a .

178

[Введите текст]

По существу, это соотношение представляет собой уравнение эллипса. Ему удовлетворяют координаты точек в том и только том случае, когда точки лежат на эллипсе. Проведём алгебраические преобразования, упрощающие эту запись. Для этого уединим в уравнении первый радикал, возведём в квадрат обе части полученного равенства

и приведём его к виду a x c 2 y2 a2 cx . Возведя в квадрат обе части последнего равенства, найдём

a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2 .

Мы отмечали, что a c , значит a2 c2 0 , и можно ввести в рассмотрение

новую величину b a2 c2 (при этом b a ). Тогда уравнению можно при-

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса. Осо-

бенностью уравнения является то, что оно содержит x и y только в чётных степенях, поэтому если точка x, y принадлежит эллипсу, то ему принадлежат и точки x; y , x; y , x, y . Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей Ox и Oy , также относительно начала координат.

Оси симметрии эллипса называются его осями, а точка пересечения осей – центром эллипса. Точки, в которых эллипс пересекает свои оси, называются его вершинами. Положив y 0 в уравнении (25.2), найдём две вер-

шины A1 a;0 и A2 a;0 на оси Ox . Положив x 0 , найдём две точки пересечения эллипса с осью Oy : B1 0; b и B2 0;b (рис. 25.1). Итак, эллипс имеет четыре вершины A1, A2 , B1, B2 , которые ограничивают на осях отрезки A1 A2 2a и B1B2 2b (эти отрезки тоже принято называть осями эллипса), а ОA1 a и ОB1 b называются соответственно большой и малой полу-

осями эллипса.

Исследовав форму эллипса путём анализа его канонического уравнения, можно теперь непосредственно построить в первой четверти график