10308

координат, получить овальную замкнутую кривую, изображённую на рисунке 25.1. Отметим, что при этом все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми x a , x a , y b , y b .

Введём ещё одну величину, характеризующую форму эллипса. Отношение расстояния между фокусами эллипса к длине его большой оси

называется эксцентриситетом эллипса: ac . Величина эксцентриситета

0 1, так как a c 0. Поскольку

Видим, что эксцентриситет определяется соотношением осей эллипса. В случае 0 (если a b ) эллипс превращается в окружность с уравнением

x2 y2 a2 . Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше отношение

b и тем больше эллипс вытянут. a

25.2. Гипербола. Множество всех точек M плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек F1 и F2 есть величина постоянная,

называется гиперболой. Указанная разность берётся по абсолютному значению и обозначается 2a . Точки F1 и F2 называются фокусами гиперболы.

Как и ранее, 2c F1F2 - расстояние между фокусами. Таким образом, если точка M гиперболы находится ближе к фокусу F2 (рис. 25.2), выполняется

Для получения уравнения вводим систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox , а начало координат совпадало с серединой

отрезка F1F2 (рис. 25.2). В этой системе координаты произвольной точки M обозначим x и y , а координаты фокусов будут соответственно: F1 c;0 , F2 c;0 . Заменив расстояние MF1 и MF2 между точками их выражениями через координаты, получим

x c 2 y2 x c 2 y2 2a .

180

После преобразований, аналогичных тем, которые были проделаны для уравнения эллипса, соотношение приобретает вид

Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.

Так как уравнение (25.3) содержит x и y только в чётных степенях, то гипербола симметрична относительно осей Ox и Oy , а также относительно

начала координат. Оси симметрии гиперболы называются её осями, а точка пересечения осей – центром гиперболы. Положив y 0 в уравнении (25.3),

найдём две точки пересечения гиперболы с осью Ox : A1 a;0 , A2 a;0 , которые называются вершинами гиперболы. Если взять x 0 в уравнении

перболы (а ОA1 a – действительной полуосью); отрезок B1B2 2b , со-

единяющий точки B1 0; b и B2 0;b , называется мнимой осью (ОB1 b

– мнимой полуосью). Прямоугольник со сторонами 2a и 2b называется

основным прямоугольником гиперболы (рис. 25.3).

Из уравнения (25.3) следует, что если x a , то y не имеет действительных значений, то есть, нет точек гиперболы с абсциссами a x a .

состоит из двух частей: её точки расположены справа от прямой x a , образуя правую ветвь, и слева от прямой x a , образуя левую ветвь. Наконец, из уравнения (25.3) видно, что с возрастанием x возрастает и y , так

к заключению: если y 0 , то точка M x, y при возрастании x , начиная от x a , движется всё время «вправо» и «вверх»; если y 0 , то M x, y движется «вправо» и «вниз». Так образуется неограниченная правая ветвь. При

181

Следовательно, прямые y ba x являются наклонными асимптотами пра-

вой ветви гиперболы при x . Для левой ветви из соображений симметрии при x получаются те же асимптоты.

Итак, построение гиперболы по каноническому уравнению (25.3) следует начинать с изображения основного прямоугольника, продолжая диагонали которого мы получим асимптоты. Обе бесконечные ветви рисуем неограниченно приближающимися к ним (рис. 25.2). Фокусы находятся на

расстоянии c a2 b2 от начала координат.

Гипербола с равными полуосями a b называется равносторонней, её каноническое уравнение имеет вид x2 y2 a2 . Основной прямоугольник равносторонней гиперболы становится квадратом; прямые y x и y x являются асимптотами, перпендикулярными друг к другу.

Отношение расстояния между фокусами к расстоянию между вершинами гиперболы называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается

Следовательно, как и для эллипса, эксцентриситет гиперболы определяется отношением её осей. Он характеризует форму основного прямоугольника гиперболы. Чем меньше эксцентриситет, тем меньше отношение

ba , то есть основной прямоугольник более вытянут в направлении действи-

тельной оси. Для равносторонней гиперболы 2 .

183

Лекция 26. Парабола. Приведение кривых к каноническому виду

26.1. Парабола. Множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки F (фокуса) и данной прямой L (директрисы), называется параболой. Расстояние от фокуса до директрисы параболы принято обозначать через p (рис. 26.1). Величину p называют фокальным параметром

параболы.

Для получения уравнения параболы необходимо ввести систему координат на плоскости. Проведём ось абсцисс через фокус параболы перпендикулярно директрисе, будем считать её направленной от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и дирек-

Рис. 26.1

Координаты произвольной точки M параболы обозначим x и y , запи-

трисы равно MQ , где Q – основание перпендикуляра, опущенного из M

184

Возведя обе части равенства в квадрат получим каноническое уравнение

параболы

Как для эллипса и гиперболы, уравнение параболы тоже является част-

ным случаем уравнения второго порядка. Оно получается из (25.1) при

A B D F 0.

Уравнение (26.1) содержит переменную y только в чётной степени, что доказывает симметрию параболы относительно оси Ox . Так как p 0 , то

переменная x должна быть неотрицательной. Это означает, что парабола расположена справа от оси Oy . Если x 0 , получаем y 0 . При возраста-

нии x возрастает и y (причём, если x , то y ). Построив в первой четверти график функции y 2 px и отразив его симметрично отно-

сительно оси Ox , получим геометрическое изображение параболы (рис. 26.1). Ось симметрии параболы (в данном случае совпадающая с осью Ox ) называется её осью. Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется её вершиной (в нашем случае вершина совпадает с началом координат). Для описания геометрического смысла фокального параметра p

можно взять какое-либо значение абсциссы, например, x 1. Из уравнения (26.1) найдём соответствующие ему значения ординаты: y 2 p . Это

даёт на параболе две точки M1 1; 2 p и M2 1; 2 p , расстояние между

которыми равно 22 p . Тем самым, чем больше p , тем больше расстояние M1M 2 . Следовательно, параметр p характеризует «ширину» области, огра-

ниченной параболой.

Кроме рассмотренных классических кривых, уравнение линии второго порядка может привести ещё к нескольким геометрическим случаям, называемым вырожденными.

26.2. Вырожденные случаи. Если в уравнении линии второго порядка

Ax2 Cy2 0 . При одинаковых знаках A и C уравнению соответствует на плоскости одна точка – начало координат. При разных знаках A и C – пара

пересекающихся прямых y CA x .

Если в уравнении (26.2) остаются ненулевыми два других слагаемых, например, оно имеет вид Cy2 F 0 , то возможны две ситуации: при оди-

наковых знаках коэффициентов C и F решений нет, а при разных знаках C и F получаются две параллельные прямые.

185

Если из уравнения (26.2) остаётся одно слагаемое Cy2 0 или Ax2 0, то на плоскости получается одна прямая. Если B D E 0 и в уравнении Ax2 Cy2 F 0 коэффициенты A 0,С 0, F 0, то опять ему не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости.

26.3. Приведение уравнения линии второго порядка к канониче-

скому виду. Мы рассмотрели все геометрические ситуации, к которым может привести общее уравнение линии второго порядка (п. 26.2). В задачах аналитической геометрии обычно задаётся вид уравнения второго порядка с конкретными числовыми коэффициентами. В нём могут присутствовать произведение координат x и y (т.е. B 0 ) или переменные x и y без квад-

ратов ( D 0 или Е 0 ). Это будет означать, что в исходной системе координат уравнение не является каноническим. Нужно перейти к другой системе координат, в которой уравнение будет иметь канонический вид. Это даст возможность определить, к какому из рассмотренных случаев относится заданное уравнение. После этого легко будет построить график заданной кривой.

Для приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду используются только те преобразования системы координат, которые не изменяют расстояния между точками, то есть не деформируют кривую. К таким преобразованиям, в частности, относятся параллельный перенос и поворот осей координат. Этих преобразований достаточно для решения поставленных в этой лекции задач. Разберём далее, что происходит с уравнениями при том или ином преобразовании координат.

26.4. Параллельный перенос осей координат. Рассмотрим на плос-

кости прямоугольную декартову систему координат xO y

осям O x и O y , одинаково с ними направив. Масштаб сохраняем. Такой переход от системы xO y к системе Oўxўyў называется параллельным пе-

реносом осей координат.

Для произвольной точки M координаты относительно исходных осей обозначим через (x; y), а координаты по отношению к «новым» осям обо-

Формулы (26.3) позволяют находить исходные координаты (x; y) по известным (xў; yў) при параллельном переносе. «Новые» координаты выражаются через исходные следующим образом:

Видим, что в новых координатах получилось каноническое уравнение эл-

187

Рис. 26.3

Из формул (26.4) ясно, что точка Oўв исходной системе имеет координаты (- 1;2). На рисунке 26.3 отражено построение, соответствующее такому преобразованию.

26.5. Преобразование поворота системы координат. Повернём ис-

ходную систему координат xO y вокруг начала координат на угол j (положительным считается поворот против часовой стрелки) в положение Oxўyў

(рис. 26.4).

Рис. 26.4

Пусть точка M имеет в исходной системе координаты (x; y) и координаты (xў; yў) в «новой» системе координат O xўyў. Чтобы установить связь

между исходными и новыми координатами точки M , выполним дополнительные построения. Через A и B обозначим проекции точки M на координатные оси O x и O y , а через D и C — проекции её на оси O xў и O yў (рис.

26.4). Из точки D опустим перпендикуляры на отрезок AM (основание перпендикуляра — точка F ) и ось O x (основание перпендикуляра – точка Dў ). Тогда из геометрических соображений получаем, что

188

Таким образом, формулы, выражающие исходные координаты (x; y)

произвольной точки M через её новые координаты при повороте осей на угол j , имеют вид

Исходная система xO y получается поворотом новой системы O xўyў

ется каноническим, поскольку в нём a b . Чтобы поменять оси местами,

189