10307

Из определения неопределенного интеграла непосредственно следуют формулы, подчёркивающие, что операции интегрирования и дифференцирования взаимно обратные (с точностью до постоянной)

Это аналогично тому, как операции возведения в целую степень и извлечение корня, проведённые последовательно друг за другом, оставляют без изменения число, к которому они применялись

Отметим два свойства, непосредственно вытекающие из соответствующих правил дифференцирования: постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

k f (x) dx k f (x)dx k const ,

и неопределённый интеграл суммы или разности конечного числа функций равен соответствующей сумме (разности) интегралов этих функций, т.е.

( f (x) g(x))dx f (x)dx g(x)dx .

Для нахождения производной функции, полученной из основных элементарных функций с помощью алгебраических операций или суперпозиции, применялись таблица производных основных элементарных функций и правила дифференцирования. Формально, таблица интегралов элементарных функций может быть получена, если переписать справа налево таблицу производных. Однако для практического применения целесообразнее привести таблицу интегралов в следующем виде:

cosdx2 x sindx2 x tg x ctg x C ,

где при вычислении интеграла суммы нескольких функций сумма произвольных постоянных, которая при этом получается, заменена одной постоянной.

Следует отметить, что некоторые интегралы не могут быть выражены через элементарные функции. В частности, это касается интегралов следующих функций:

29.2. Интегрирование методами подстановки и замены перемен-

ной. Еще одно важное свойство неопределенного интеграла, основанное на инвариантности формы первого дифференциала, позволяет находить интегралы функций, не входящих в таблицу.

Пусть

f (x) dx F (x) C

иформально подставим в эту формулу функцию x (t) , производная которой непрерывна. Тогда получим так называемую формулу подстановки

Таким образом, правая часть в (29.1) является первообразной подынтегрального выражения слева.

Применение этой формулы позволяет находить интегралы сложных функций, используя таблицу основных интегралов. Например, найдем

cos(3x 2)dx .

Зная, что

cosudu sin u C

иделая в этой формуле подстановку u 3x 2, получим

cos(3x 2)d (3x 2) sin(3x 2) C ,

212

откуда найдем

cos(3x 2)dx 13 sin(3x 2) C .

Этот прием, основанный на подстановке некоторой функции в готовую формулу табличного интеграла, называют методом подстановки.

Рассмотрим теперь приём интегрирования с помощью замены переменной. Предположим, что нужно найти интеграл f (x)dx . Заменяем пе-

ременную интегрирования некоторой дифференцируемой функцией x (t) , имеющей обратную функцию t (x) . Предположим также, что

(t) непрерывна. Тогда справедлива формула замены переменной в не-

определенном интеграле

f ( (t)) (t)dt F( (t)) C F(x) C

при x (t) , что подтверждает справедливость формулы (29.2).

Прием замены переменной состоит в том, чтобы после её проведения сделать такую замену, при которой для подынтегральной функции в полученном интеграле справа в (29.2) легко может быть найдена первообразная.

Например, для нахождения интеграла a2 x2 dx сделаем замену переменной x a sin t так, что

существует обратная функция t arcsin ax , поэтому

Окончательно получаем

Заметим в заключение этой темы, что в некоторых случаях замену переменной непосредственно не осуществляют, а применяют так называемую операцию «внесения под дифференциал». Заменяя выражение (x)dx диф-

ференциалом d (x) , получают

f ( (x))d (x) f ( )d .

214

Лекция 30. Методы интегрирования (продолжение)

30.1. Интегрирование простейших иррациональностей. Рассмот-

рим только простейшие случаи иррациональных подынтегральных функ-

Первый из них сводится к табличному интегралу выделением полного квадрата в подкоренном выражении. Для нахождения второго интеграла следует в числителе выделить дифференциал квадратного трехчлена d ( Ax2 Bx C) (2Ax B)dx .

В числителе дроби получим дифференциал подкоренного выражения d (3 2x x2 ) (2 2x)dx и разобьём интеграл на два интеграла

В интегралах вида

215

a2 x2 dx , a2 x2 dx , x2 a2 dx

освобождаются от иррациональности применением тригонометрических подстановок. Для первого интеграла применяется замена x a sin t (можно

30.2. Интегрирование по частям. Рассмотрим метод интегрирования, который позволит нахождение одного интеграла заменить отысканием другого, «более простого». В основу этого метода положено следующее рассуждение. Пусть u (x) и v(x) – две функции, имеющие непрерывные произ-

водные на некотором интервале. Найдем дифференциал d (u v) от произведения этих функций

и проинтегрируем обе его части. Учитывая, что d (u v) u v , получим

формулу интегрирования по частям

u(x) dv(x) u(x) v(x) v(x) du(x) .

Метод интегрирования по частям состоит в представлении интеграла

f (x)dx

ввиде u(x) dv(x) так, чтобы интеграл v(x) du(x) в правой части формулы

интегрирования по частям оказался «более простым». При нахождении функции v(x) можно произвольную постоянную C , возникающую при

Применяя формулу интегрирования по частям, получим

x e xdx x e x e xdx x e x e x C .

Формула интегрирования по частям предполагает разбиение подынтегрального выражения на два множителя u(x) и dv(x) , причем при переходе

к правой части первый дифференцируется, а второй интегрируется. Нужно стараться, во-первых, чтобы интегрирование дифференциала dv не пред-

ставляло трудностей и, во-вторых, чтобы интеграл v(x) du(x) имел более

простое подынтегральное выражение. Так, в предыдущем примере было бы «неразумно» положить u e x , а dv xdx . Действительно, в этом случае

x e xdx x2 e x 1 x2 e xdx ,

2 2

мы получили более сложный интеграл, чем первоначально данный. Заметим, что если мы имеем интегралы вида

этом интегрирование по частям проводится столько раз, какова степень многочлена Pn (x) . Если же имеем интегралы вида

Pn (x)arcsin kx dx , Pn (x)arccos kx dx , Pn (x)arctg kx dx ,

Pn (x)arcctg kx dx , Pn (x)loga kx dx ,

то выбираем в качестве функции u(x) либо обратную тригонометрическую функцию, либо логарифм.

30.3. Интегрирование выражений, содержащих тригонометриче-

ские функции. Разнообразие тригонометрических функций и особенно формул, их связывающих, приводит к большому выбору методов вычисления интегралов, содержащих тригонометрические функции. Рассмотрим некоторые из этих методов интегрирования.

Для нахождения интегралов вида sin x cos x dx , sin xsin x dx ,

217

Если и – четные неотрицательные числа, то степени синуса и косинуса понижаются посредством перехода к двойному аргументу с помощью формул: