10297

Рис. 26.3

Из формул (26.4) ясно, что точка Oўв исходной системе имеет координаты (- 1;2). На рисунке 26.3 отражено построение, соответствующее такому преобразованию.

26.5. Преобразование поворота системы координат. Повернём исходную систему координат xO y вокруг начала координат на угол j

(положительным считается поворот против часовой стрелки) в положение

Oxўyў (рис. 26.4).

Рис. 26.4

Пусть точка M имеет в исходной системе координаты (x; y) и координаты (xў; yў) в «новой» системе координат O xўyў. Чтобы установить

связь между исходными и новыми координатами точки M , выполним дополнительные построения. Через A и B обозначим проекции точки M на координатные оси O x и O y , а через D и C — проекции её на оси O xў и

перпендикуляра – точка Dў). Тогда из геометрических соображений получаем, что

Таким образом, формулы, выражающие исходные координаты (x; y)

произвольной точки M через её новые координаты при повороте осей на угол j , имеют вид

Исходная система xO y получается поворотом новой системы O xўyў

определяет гиперболу, вершины и фокусы которой лежат на оси Oy . Эта

гипербола называется сопряжённой по отношению к гиперболе (25.3). Они имеют одинаковые асимптоты (рис. 26.6).

Рис. 26.6

192

Для знакомого по школьной программе уравнения параболы y = x2 выполним тот же поворот на угол j = 900 (рис. 26.7) и получим в новых координатах каноническое уравнение xў= yў2 .

Рис. 26.7

Для приведения уравнения xy 3 к каноническому виду рассмотрим поворот на угол j = 450 . Подставив в формулы (26.5) cos 450 sin 450 22

(рис. 26.8).

Итак, преобразования поворота и (или) параллельного переноса осей координат используются для того, чтобы уравнение (26.2) в новой системе координат приобрело канонический вид. Проанализируем возникающие ситуации. Для этого рассмотрим коэффициенты A и C при квадратах переменных в канонических уравнениях основных линий и найдём их

параболы A 0 , C 1, т.е. AC 0 . Остальные виды канонических уравнений можно распределить по типам таким образом, чтобы для каждого из уравнений первого типа число AC было положительно, отрицательно для второго и равно нулю для уравнений третьего типа.

193

Рис. 26.8

Тогда получаем классификацию:

III. Параболический тип

6)y2 = 2 px (парабола),

7)y2 = a2 (пара параллельных прямых),

8)y2 = 0 (прямая),

9)y2 = - a2 (пустое множество).

194

Полученную классификацию можно использовать в любой задаче, связанной с уравнением второго порядка – даже если, например, в нём B 0

. Оказывается, по исходным коэффициентам уравнения (26.2), которые присутствуют в конкретной задаче, можно сразу определить, к какому типу

Итак, мы проделали необходимую работу, чтобы полностью разобраться с построением линий во всех ситуациях, к которым приводит уравнение второго порядка (26.2). Сначала определяем тип линии, задаваемой уравнением. Далее приводим его к каноническому виду, выполняя рассмотренные преобразования координат.

195

Лекция 27. Поверхности второго порядка

Переходим к изучению поверхностей в трехмерном пространстве. Будем рассматривать поверхности, задаваемые уравнениями, включающими вторые степени текущих координат x , y и z или их взаимное

произведение. Уравнение вида

Ax2 By2 Cz2 2Dxy 2Exz 2Fyz 2Gx 2Hy 2Kz L 0 , (27.1)

где коэффициенты A, B,C, D, E ,F ,G , H , K иL — любые действительные числа, но, по крайней мере, одно из чисел A, B или C отлично от нуля (т.е.

A2 B2 C2 0 ), называется общим уравнением поверхности второго

порядка.

Также как и для кривых второго порядка, для поверхностей второго порядка существует полная классификация. С помощью подходящего параллельного переноса и поворота осей координат (теперь уже выполняемых в пространстве) любое уравнение второго порядка может быть приведено к одному из семнадцати видов. Этим уравнениям в пространстве отвечают классические поверхности: эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды, конус, эллиптический и гиперболический параболоиды, а также целая группа поверхностей, называемых цилиндрическими.

27.1. Цилиндрические поверхности. Поверхность, состоящая из параллельных прямых (так называемых образующих), проходящих через каждую точку заданной линии L (направляющей), называется

цилиндрической поверхностью. Образно можно представить, что цилиндрические поверхности образуются движением прямой, которая

рассмотримрасположенную в плоскости xOy линию L , которая задаётся

цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны координатной оси Oz , то уравнение образующей, проходящей через точку M0 (x0 , y0 ,0) ,примет вид

y y0

196

Рассмотрим произвольную точку M (x0 , y0 , z0 ) этой образующей. Её координаты удовлетворяют уравнению F (x, y) 0 при любом значении переменной z . Точка M0 (x0 , y0 ,0) выбиралась произвольно, поэтому можно

утверждать, что координаты всех точек цилиндрической поверхностиудовлетворяют уравнению F (x, y) 0 .

Рис. 27.2

Если направляющей цилиндрической поверхности является кривая второго порядка, то поверхность называется цилиндрической поверхностью

197

второго порядка (или цилиндром второго порядка). В зависимости от конкретного вида уравнения получаются различные типы цилиндров второго порядка. Их названия соответствуют названиям направляющих линий L .

цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz .Его направляющей является эллипс, а поверхность, задаваемая этим уравнением, называется эллиптическим цилиндром (рис. 27.2). Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр. Его

уравнение в каноническом виде имеет вид x2 + y2 = R2 .

гиперболический цилиндр (рис. 27.3).

Рис. 27.3

27.2. Поверхности вращения образуются вращением какой-либо плоской линии L (образующей) вокруг прямой (оси поверхности вращения), расположенной в плоскости этой линии. Примером служит сфера: её можно рассмотреть как поверхность, образованную вращением полуокружности вокруг её диаметра. Покажем, как можно получить уравнение поверхности вращения, исходя из уравнения образующей (лежащей в одной из координатных плоскостей) и уравнения оси вращения (совпадающей с одной из координатных осей, расположенных в той же плоскости).

198

Будем вращать расположенный в плоскости yOz эллипс с уравнением

проходящей через фиксированную точку O (0, 0, z) (рис. 27.4).

принадлежит и плоскости сечения, и исходному эллипсу. Это означает, что

искомое уравнение поверхности вращения, называемой эллипсоидом вращения.

199