10293

Где гарантия, что в результате будет получаться одно и то же число? Оказывается, что справедливо следующее утверждение.

Для каждой квадратной матрицы порядка n суммапроизведений

элементов какой-либо строки или столбца на соответствующие им алгебраические дополнения есть величина постоянная.

Вот это число и называется определителем, а способов его вычисления существует много и тот, который даётся введённым выше определением, просто один из них. Этот способ называется разложением по элементам строки или столбца.

Если в любой из приведенных формул вычислить алгебраические дополнения и произвести указанные действия, то получится другая формула вычисления определителя третьего порядка

( A) a11a22a33 a12a23a31 a21a32a13 a31a22a13 a21a12a33 a32a23a11 .

Заметим, что определитель равен алгебраической сумме произведений элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.

Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными

выражается через определители третьего порядка по аналогичным формулам Крамера:

системы путем замены столбца коэффициентов при соответствующей неизвестной на столбец правых частей. Если 0 и существует хотя бы

20

Лекция 3. Системы и определители матриц n -го порядка

При изучении наук примеры не менее поучительны, нежели правила.

И. Ньютон

3.1. Матричная запись системы линейных уравнений. Систему n

линейных уравненийc n неизвестными

после введения матриц

Решить систему – значит найти матрицу неизвестных X .

Оставим пока вопросы о том, существуют ли решения системы (3.1) и сколько их, и вспомним, как решалось уравнение первой степени

a x b .

Решение x ba получается умножением обеих частей уравнения на число,

обратное числу a , то есть на число 1a a 1

a 1 a x a 1 b 1 x ba .

21

Эти соображения приводят к мысли найти такую матрицу (в

дальнейшем будем её обозначать A 1 ), которая при умножении на данную матрицу A давала бы единичную матрицу. Тогда система (3.1) была бы решена следующим образом:

A 1 A X A 1 B E X A 1 B X A 1 B .

Поэтому естественным будет следующее определение.

Обратной матрицей к данной квадратной матрице A называется

матрица A 1 , которая при умножении как справа, так и слева на матрицу A , даёт единичную матрицу

A 1 A A A 1 E .

С учетом этого определения решение системы (3.1) имеет вид

Заметим, что определение обратной матрицы ещё не гарантирует её существования и не дает способа ее отыскания. Для нахождения обратной матрицы нам потребуется понятие определителя матрицы порядка n .

3.2. Определители матриц порядка n и их свойства. Теперь мы в состоянии ввести понятие определителя матрицы n -го порядка

сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения, то есть:

22

Естественно, возникает вопрос о корректности такого определения. Для n 2 легко проверяется

(разложение по элементам первой строки),или

a11a22 a21a12 a11 A11 a21 A21

(разложение по элементам первого столбца). Два оставшихся варианта проверьте самостоятельно.

Для краткости изложения доказывать или иллюстрировать формулируемые ниже свойства определителей мы будем на примере определителей второго порядка.

Свойство 1. При транспонировании матрицы величина определителя не меняется

( AT ) ( A) .

Это свойство следует из определения.

Так как при транспонировании матрицы столбцы переходят в строки и наоборот, то все свойства определителя, формулируемые в терминах столбцов, остаются справедливыми и для строк. Поэтому далее мы будем говорить только о строках (или о столбцах).

Свойство 2. Определитель изменит знак, если поменять местами две строки матрицы.

Убедимся в справедливости этого свойства для n 2

Действительно, «раскрывая» определители, имеем:

a1b2 a2b1 (a2b1 a1b2 ) .

Свойство 3. При умножении элементов строки матрицы на число ее определитель умножается на .

Это свойство в данном случае ( n 2 ) легко проверяется, а для любого n следует из разложения определителя по элементам строки, где будет общим множителем всех элементов строки и его можно вынести за знак суммы. Это свойство удобнее запомнить в «обратной» формулировке: если элементы строкиматрицы имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя. Отметим, что умножение матрицы на число происходит по-другому

Свойство 4. Если все элементы какой-то строки матрицы равны нулю, то определитель равен нулю.

Чтобы убедится в этом, достаточно разложить определитель по элементам этой строки.

Свойство 5. Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен нулю.

Действительно, поменяем местами эти одинаковые строки. По свойству 2 определитель должен сменить знак, то есть , а с другой стороны, в нём ничего не изменилось, то есть . Есть единственное число, для которого одновременно выполняются эти условия; это число равно нулю. Итак, 0 .

Свойство 6. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками равен нулю.

Вынося общий множитель элементов строки (коэффициент пропорциональности) за знак определителя, мы получаем определитель матрицы с двумя одинаковыми строками.

Свойство 7. Если каждый элемент какого-то столбца матрицы представляет собой сумму двух слагаемых, то для определителя этой матрицы верноравенство

Проверяем:

(a1 a1)b2 (a2 a2 )b1 a1b2 a1b2 a2b1 a2b1a1b2 a2b1 (a1b2 a2b1 ).

Свойство 8. Если к элементам некоторого столбца прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на одно и то же число, то величина определителя при этом не изменится

24

Этим свойством удобно пользоваться для «получения нулей» в определителе (чем больше нулей в строке или столбце, тем легче вычисляется определитель). Например, определитель четвёртого порядка матрицы так называемого треугольноговида вычисляется следующим образом:

(разложили по элементам первых столбцов).

Свойство 9. Если элементы какой-либо строки являются линейными комбинациями соответствующих элементов остальных строк, т.е. представимы в виде суммы их произведений на некоторые числа, то определитель равен нулю.

Например, определитель матрицы

Заметим, что верно и обратное утверждение: если определитель равен нулю, то любая строка является линейной комбинацией остальных строк (доказательство этого утверждения отложим до изучения векторов).

Свойство 10. Сумма произведений элементов i -й строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов j -й (i j) строки

равна нулю.

Например, для матрицы

25

где Aij – соответствующие алгебраические дополнения. Аналогичным образом получаем

Следует обратить внимание на то, что матрица в правой части (3.5) получена путем транспонирования матрицы алгебраических дополнений к элементам исходной матрицы A . Из формулы (3.5) видно, что для существования обратной матрицы необходимо, чтобы её определитель не обращался в нуль. Матрицы с определителем равным нулю называются

вырожденными.

Итак, правило нахождения обратной матрицы (обращение матрицы):

вычисляем определитель A . Если A 0 , то A 1 не существует.

27