10191
.pdf
1.4.3 Законы Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа
Алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю:
Ik = 0, I1+I2-I3-I4+I5 = 0,
или - сумма токов, направленных к узлу равна сумме токов, направленных от него.
I1+I2+ I5 = I3+ I4.
Правило: если ток направлен в узел, то перед ним в уравнении ставится «+» , если ток направлен от узла , то «-» .
Второй закон Кирхгофа.
Алгебраическая сумма падений напряжений в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС внутри этого контура.
11
Ek = Ii Ri
E1-E2+E3 = I1 R1+ I2 R2+ I3 R3+ I4 R4
Правило: если направление тока и Е совпадает с направлением обхода то в уравнении берётся со знаком «+», если не совпадает, то «-».
1.4.4 Последовательное соединение сопротивлений.
Второй закон Кирхгофа для этой схемы имеет вид U = U1 + U2 + U3 . Поделим почленно это уравне6ние на ток I. U/I = U1 /I + U2 /I + U3 /I, получим
R = R1+ R2+ R3 .
Таким образом, при последовательном соединении сопротивлений эквивалентное сопротивление равно сумме последовательно соединенных R.
1.4.5 Параллельное соединение сопротивлений.
Для преобразования этой схемы используется первый закон Кирхгофа и закон Ома. I1 = U/R1 , I2 = U/R2 , I3 = U/R3 , I = I1+ I2 + I3 ,
U/RЭ = U/R1+U/R2+U/R3, тогда 1/RЭ = 1/R1+1/R2+1/R3 , GЭ = G1+G2+G3.
1.4.6 Смешанное соединение сопротивлений
Иногда нельзя определить параллельно или последовательно соединены сопротивления. Например, как показано на нижеприведенной схеме (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Смешанное соединение сопротивлений.
В этом случае заменим треугольник abc звездой abc (рис. 3.2). с соблюдением условия эквивалентности - так чтобы параметры (токи ветвей и межузловые напряжения) схемы вне преобразуемой цепи остались без изменения.
Рис. 3.2. Преобразование треугольника в звезду.
Ia=0 |
Rb+Rc=Rbc (Rab+Rca)/(Rab+Rbc+Rca) |
(1) |
Ib=0 |
Ra+Rc=Rca (Rab+Rbc)/(Rca+Rab+Rbc) |
(2) |
Ic=0 |
Ra+Rb=Rab (Rbc+Rca)/(Rab+Rbc+Rca) |
(3) |
Решая систему относительно Ra, Rb, Rc . Находим их:
Ra=Rab Rca/( Rab+Rbc+Rca) |
(4) |
Rb=Rbc Rab/( Rca+Rab+Rbc) |
(5) |
Rc=Rca Rbc/( Rab+Rbc+Rca) |
(6) |
13
Аналогично определяем Rab, Rbc и Rсa.
Для замены звезды треугольником надо решить систему уравнений 4,5,6 относительно Rab, Rbc и Rсa:
Rab=Ra+Rb+RaRb/Rc |
(7) |
Rdc=Rb+Rc+RbRc/Ra |
(8) |
Rca =Ra+Rc+RaRc/Ra |
(9) |
1.4.7 Режимы работы источника ЭДС
Для исследования режимов работы источника ЭДС используется схема замещения, показанная на рис. 1.6.
I |
RB |
|
|
S |
1 |
PA |
|
2 |
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
U |
3 |
|
|
|
PV |
|
|
|
|
|
|
|
RH 
Рис. 1.6
Схема состоит из источника ЭДС Е, с внутренним сопротивлением RB, двух приборов: PA (амперметра), предназначенного для измерения тока I (А) и PV (вольтметра), предназначенного для измерения напряжения U (В), переключателя S на три положения и сопротивления нагрузки RН.
Режимы работы источника исследуются при трех положениях переключателя S.
При первом положении 1 цепь разомкнута, поэтому ток равен нулю (I=0), а напряжение на выходе U, равняется ЭДС (Е).
Такой режим работы источника ЭДС называется режимом холостого
хода
Uxx = E, I = 0.
При втором положении (2) переключателя цепь замкнута на перемычку
RH 0 , при |
этом |
по цепи пойдет |
ток |
I |
E |
, а так |
как внутреннее |
|
RB |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
сопротивление |
RB |
очень мало, то |
ток |
будет |
достигать |
максимального |
||
значения I I КЗ .
Такой режим работы источника называется режимом короткого
замыкания, и он характеризуется I КЗ |
, U КЗ RH I КЗ 0 . Это аварийный |
|||||||
режим работы источника ЭДС. |
|
|
|
|
|
|
||
При третьем (3) положении переключателя к источнику ЭДС подключено |
||||||||
сопротивление нагрузки RН. По цепи идет ток IН. |
|
|||||||
I Н |
|
E |
|
(А), |
(1.6) |
|||
|
|
|
|
|
||||
RН |
RB |
|||||||
|
|
|
|
|||||
Показания вольтметра (UН) согласно закону Ома будет |
|
|||||||
U Н I Н RН |
|
(В), |
(1.7) |
|||||
Подставляя (1.6) в (1.7) получаем |
|
|
|
|||||
U Н E |
|
RН |
|
(В), |
(1.8) |
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
RН RB |
|
||||
Под внешней характеристикой источника ЭДС понимается зависимость напряжения U от тока нагрузки I: U f ( I ) . Внешняя характеристика показана на рис.1.7.
U(В) а |
|
|
|
внешняя |
||
|
|
|
|
|
|
характеристика |
|
|
|
|
с |
|
|
Uxx UН |
|
|
||||
|
b |
I (A) |
||||
|
|
|
|
|||
|
|
IН |
|
IКЗ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.7
На рис 1.7 точка «а» соответствует режиму холостого хода, точка «b» – режиму короткого замыкания, точка «с» – нагрузочному режиму, когда задан ток нагрузки IН.
15
2. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
2.1. Получение синусоидальной ЭДС
Модель источника синусоидальной ЭДС представлена на рис. 2.1. Рассмотрим механизм возникновения синусоидальной ЭДС. Для этого
удобно использовать простейшую модель – рамку, вращающуюся с постоянной угловой скоростью в равномерном магнитном поле (N-S).
Проводники рамки, перемещаясь в магнитном поле, пересекают его и в них, на основании закона электромагнитной индукции, возникает электродвижущая сила (e). Величина ЭДС (e) пропорциональна амплитуде магнитной индукции Bm, длине проводника l, и скорости перемещения относительно поля vt.
e Bmlvt (В)
Выразив скорость vt через окружную скорость v и угол α, получим e Bmlv sin (В)
N
t
~ e |
S |
Рис. 2.1 |
|
Выражение Bm lv представляет собой наибольшее значение ЭДС Em,
которая возникает в рамке при α = 90º.
Угол α равен произведению угловой скорости вращения рамки ω на время t.
t
Таким образом, ЭДС, возникающая в рамке, будет равна
e Em sin Em sin t (В) |
(2.1) |
2.2. Способы изображения синусоидальных величин
Под переменной ЭДС понимается ЭДС, изменяющаяся по синусоидальному закону (рис. 2.2).
e(B)
Em
φE |
0 |
ωt |
|
||
|
|
Рис. 2.2
Закон изменения синусоидальной ЭДС записывается в следующем виде: e Em sin t E (В), (2.2)
где e – мгновенное значение ЭДС (В), это значение ЭДС в каждой точке синусоиды;
t E – фаза синусоидальных колебаний;
E – это начальная фаза для t 0 ;
– угловая частота синусоидальных колебаний (1/с). Частотой f называется число периодов в секунду:
17
f |
1 |
|
(Гц), |
|
|
|
|
|
|
||||
|
T |
|
|
|
||
где T – период, это время одного цикла колебаний (с). |
|
|||||
Угловая частота и частота f связаны соотношением: |
|
|||||
|
2 |
2 f . |
|
|
||
|
|
|
||||
|
|
T |
|
|
|
|
Для источника переменного напряжения закон изменения записывается в |
||||||
следующем виде: |
|
|
|
|||
u Um sin t U |
(В) |
(2.3) |
||||
Для синусоидального тока закон изменения записывается аналогичным |
||||||
образом: |
|
|
|
|||
i Im sin t I |
(А) |
(2.4) |
||||
При сравнении выражений (2.2), (2.3), (2.4) видно, что форма записи одинакова, разница лишь в угле начальной фазы .
Частота переменного тока f = 50 Гц в Европе и 60 Гц в США и Японии. Для того, чтобы сравнить характеристики цепей постоянного и
переменного |
токов, |
вводится |
|
|
понятие |
действующего |
значения |
|||||||||||||||||||||||||
синусоидальной величины: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 T |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Im |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
тока I |
|
|
|
|
|
Im sin |
|
t dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 T |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
U m |
|
|
|
|||
|
|
напряжения U |
|
|
|
U m sin |
|
|
t dt |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
T |
|
|
2 |
; |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 T |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Em |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ЭДС E |
|
|
|
|
|
|
Em sin |
|
t dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Электроприборы в цепях переменного тока измеряют действующее значение тока, напряжения, ЭДС и мощности.
Тригонометрическая форма записи синусоидальных величин неудобна при расчёте электрических цепей переменного тока, поэтому в электротехнике синусоидальные функции изображают в виде комплексных чисел, согласно следующему положению.
Любая синусоидальная функция может быть изображена в виде вектора на комплексной плоскости, величина которого равняется синусоидальной функции, а угол, образованный с осью действительных чисел, равняется углу начальной фазы синусоидального колебания.
Комплексная плоскость – это плоскость, образованная с осью действительных чисел (+ 1) и осью мнимых чисел (+ j), где j 2 1.
На рис. 2.3 показано изображение амплитуды тока I m на комплексной плоскости
Im
Рис. 2.3
Из рис. 2.3 следует, что I m – комплекс I m (точка показывает комплексную величину); I mд – проекция комплекса на ось действительных чисел; I mм – проекция комплекса на ось мнимых чисел; – угол начальной фазы.
Существуют следующие способы изображения комплексных чисел: алгебраическое
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
I m Imд jI mм ; |
(3.5) |
|||||
|
|
тригонометрическое |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
I m |
Im |
cos j sin ; |
(3.6) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Imм |
. |
|
||
где |
|
Im |
|
|
Im2д Im2м , arctg |
|
|||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
показательное |
Imд |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
19
|
e j ; |
|
|
I m |
Im |
(3.7) |
|
где e – основание натуральных логарифмов. |
|
||
|
|
|
|
Аналогично изображаются и комплексы напряжений U и ЭДС E .
Рассмотрим пример, когда требуется определить сумму двух токов I 1 и
I 2 , изображённых на комплексной плоскости (рис. 2.4)
|
|
|
I3 |
I1 |
|
|
|
|
I 2 |
|
Рис. 2.4 |
Взаимное расположение векторов на комплексной плоскости называется
векторной диаграммой. Для определения суммы двух токов I 3 I1 I 2 достаточно сложить их по правилу параллелограмма.
Применение комплексных чисел при расчёте электрических цепей переменного тока позволяет перейти от дифференциальных и интегральных уравнений к алгебраическим.
2.3. Резистор в цепи однофазного переменного тока
Пусть в цепь переменного тока i Im sin t |
включен резистор R (рис. |
||||
2.5). |
|
|
|
|
|
a) |
i |
|
б) |
I |
|
u ~ |
R |
uR |
U |
~ R |
U R |
|
|
|
|||