9904
.pdf30
6. ОСНОВНЫЕ ГАЗОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
Основными термодинамическими процессами являются:
1) процесс сообщения или отнятия теплоты при постоянном объеме газа
(v = const) – изохорный процесс;
2) процесс сообщения или отнятия теплоты при постоянном давлении
(р =const) – изобарный процесс;
3) процесс сообщения или отнятия теплоты при постоянной температуре
(t = const) – изотермический процессе:
4) процесс без сообщения или отнятия теплоты извне (dq = 0) – адиабат-
ный процесс;
5) процесс, в котором изменение параметров подчиняется уравнению
pvm const,
где m – величина, постоянная для данного процесса, – политропный процесс.
6.1Изохорный процесс
Вдиаграмме p-v этот процесс изображается прямой 1-2, параллельной оси ординат. Уравнение прямой 1-2 (рис. 4), называемой изохорой,
vconst.
Рис. 4
31
Зависимость между начальными и конечными параметрами процесса
|
|
|
|
p1 |
|
|
T1 |
. |
|
|
|
|
(70) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
p2 |
|
|
T2 |
|
|
|
|
|
||
Изменение внутренней энергии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
uv qv cv/n (t2 |
t1). |
|
|
|
(71) |
|||||||
Если в процессе участвует М кг или Vн м3 газа, то количество теплоты или |
||||||||||||||
изменение внутренней энергии газа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Q |
U |
v |
Mc (t |
2 |
t ) V c |
(t |
2 |
t ), |
(72) |
|||||
v |
|
vm |
|
1 |
н vm |
|
1 |
|
где Vн – количество газа в м3 при нормальных условиях.
Если количество теплоты необходимо подсчитать, пользуясь нелинейной зависимостью теплоемкости от температуры, то следует пользоваться форму-
лой (41) или (43).
В изохорном процессе газ работы не совершает (L = 0).
Задача
В закрытом сосуде емкостью V = 0,6 м3 содержится воздух при давлении
р1 = 0,5 МПа и температуре t1 = 20° С. В результате охлаждения сосуда воздух,
содержащийся в нем, теряет 105 кДж.
Принимая теплоемкость воздуха постоянной, определить, какое давление и какая температура устанавливаются после этого в сосуде.
Решение
Пользуясь уравнением состояния, находим массу воздуха в сосуде:
M |
pV |
|
0,5 106 0,6 |
3,57 кг. |
||
RT |
287 |
293 |
||||
|
|
|
Количество теплоты, отводимой от воздуха в процессе, определяется уравнением (72):
Q Mcvm (t2 t1),
откуда
|
|
|
|
|
|
|
32 |
t |
|
|
Q |
t |
|
105 |
20 40,7 20 20,7 C. |
2 |
|
|
|||||
|
|
Mcvm |
1 |
|
3,57 0,723 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Значение сvт = 0,723 получено из выражения cvm μcμvm 28,9620,93 (для
двухатомных газов).
Из соотношения параметров в изохорном процессе имеем
p |
p |
T2 |
0,5 |
273 20,7 |
0, 43 МПа. |
|
|
||||
2 |
1 T |
|
293 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
6.2Изобарный процесс
Вдиаграмме p-v этот процесс изображается прямой 1-2, параллельной оси
абсцисс. Уравнение прямой 1-2 (рис. 3), называемой изобарой, p const.
Зависимость между начальными и конечными параметрами процесса
|
v1 |
|
T1 |
. |
|
|
|
|
|
||
|
v 2 |
T2 |
(73) |
||
Работа 1 кг газа |
|
|
|
||
l p(v2 |
v1) |
(74) |
|||
или |
|
|
|
||
l R(T2 |
T1). |
(75) |
Рис. 3
33
Для М кг газа
L Mp(v2 |
v1) p(V2 V1) |
(76) |
или |
|
|
L MR(t2 t1). |
(77) |
|
Если в процессе р = const участвует М кг или Vн м3 газа, то количество |
||
теплоты |
|
|
Qp Mcpm (t2 |
t1) Vнсpm (t2 t1), |
(78) |
где Vн – количество газа в м3 при нормальных условиях.
Если количество теплоты необходимо подсчитать, пользуясь нелинейной зависимостью теплоемкости от температуры, то следует пользоваться форму-
лой (42) или (44).
Изменение внутренней энергии газа определяют по формуле (71) или (41).
Задача
Какое количество теплоты необходимо затратить, чтобы нагреть 2 м3 воз-
духа при постоянном избыточном давлении р = 0,2 МПа от t1 = 100 °С до t2 = 500 °С? Какую работу при этом совершит воздух? Давление атмосферы при-
нять равным 101325 Па.
Решение
Согласно уравнению (42):
qp cpm2t2 cpm1t1.
Определяем теплоемкости воздуха по справочным данным cpm1 1,0061 кДж/ (кг К); cpm2 1,0387 кДж/ (кг К).
Следовательно,
qp 1,0387 500 1,0061 100 418,7 кДж/ кг.
Массу воздуха определяем из характеристического уравнения
|
|
|
34 |
|
|
M |
pV |
|
(0, 2 0,1013) 106 2 |
5,63 кг. |
|
RT |
287 373 |
||||
|
|
|
Таким образом,
Qp Mqp 5,63 418,7 2357 кДж.
Количество теплоты можно получить не только по массе воздуха, но и по его объему. В этом случае уравнение (42) следует написать так:
qp cpm2t2 cpm1t1.
Пользуясь справочными данными, получаем
c |
(c |
)100 |
1,3004 |
кДж/ (м3 К); |
|
pm1 |
pm1 |
|
0 |
|
|
c |
(c |
|
)500 |
1,3427 |
кДж/ (м3 К). |
pm2 |
pm2 |
0 |
|
|
Тогда
qp 1,3427 500 1,3004 100 541,4 кДж/ м3 .
Объем воздуха должен быть приведен к нормальным условиям. Согласно уравнению (22)
V |
pVTн |
|
0,3013 2 273 |
4,35 м3 . |
|
|
|||
н |
Tpн |
373 0,1013 |
||
|
Таким образом,
Qp qpVн 541,4 4,35 2356 кДж.
Работа газа по уравнению (77)
L MR(t2 t1) 5,63 287 400 646,3 кДж.
6.3 Изотермический процесс
Кривая изотермического процесса, называемая изотермой, в диаграм-
ме p-v изображается равнобокой гиперболой (рис. 5). Уравнение изотермы в координатах p-v
pv const.
35
Рис. 5
Зависимость между начальными и конечными параметрами определя-
ется формулами:
|
p1 |
|
v2 |
; |
|
|
|
(79) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
p2 |
|
|
v1 |
|
||||||||||
|
p1 |
|
|
V2 |
. |
|
|
|
(80) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
p2 |
|
|
V1 |
|
||||||||||
Работу 1 кг идеального газа находят из уравнений: |
|||||||||||||||
l RT ln |
v2 |
; |
|||||||||||||
v1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(81) |
|||||||
l RT ln |
|
|
|
p1 |
; |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p2 |
(82) |
||||||||
l p v ln |
v2 |
|
|
; |
|||||||||||
|
|||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
v1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(83) |
|||||||
l p v ln |
p1 |
. |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
p2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(84) |
Если в процессе участвуют М кг газа, то полученные из формул (81) -
(84) значения нужно увеличить в М раз. Можно также для этого случая в формулах (83) и (84) заменить удельный объем v полным объемом V. Тогда получим
36
L p V ln |
v2 |
; |
(85) |
|||
|
||||||
1 |
1 |
|
v1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L p V ln |
p1 |
. |
(86) |
|||
|
||||||
1 |
1 |
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как в изотермическом процессе t = const, то для идеального газа
u cvm (t2 t1) 0. |
|
Количество теплоты, сообщаемой газу или отнимаемой от него, |
|
qt l |
(87) |
или для М кг газа |
|
Qt L. |
(88) |
Натуральный логарифм, входящий в формулы, может быть заменен деся-
тичным по соотношению
ln N 2,303lg N.
Задача
1 кг воздуха при температуре t1 = 30 °С и начальном давлении р1 = 0,1 МПа сжимается изотермически до конечного давления р2 = 1 МПа.
Определить конечный объем, затрачиваемую работу и количество тепло-
ты, отводимой от газа.
Решение
Найдем начальный объем воздуха из уравнения состояния:
v |
RT1 |
|
287 303 |
0,87 м3 / кг. |
|
|
|||
1 |
p |
|
0,1 106 |
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
Так как в изотермическом процессе p1v1 p2v2 ,
то конечный объем
v |
v |
p1 |
0,87 |
1 |
0,087 м3 / кг. |
|
|
|
|
||||
2 |
1 p |
|
10 |
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
Работа, затрачиваемая на сжатие 1 кг воздуха, получается из уравнения
|
|
|
|
37 |
|
(82): |
|
|
|
|
|
l RT ln |
p1 |
2,303RT lg |
p1 |
2,303 287 303 lg10 200 кДж/ кг. |
|
p2 |
p2 |
||||
|
|
|
Количество теплоты, отводимой от газа, равно работе, затраченной на сжатие. Следовательно,
q 200 кДж/ кг.
6.4 Адиабатный процесс
Уравнение адиабаты в системе координат p-v (рис. 6) при постоянной теплоемкости (сv = const) для идеального газа
pvk const,
где k cp – показатель адиабаты. cv
Рис. 6
Зависимости между начальными и конечными параметрами процесса:
между p и v
p |
2 |
v |
k |
|
||
|
|
1 |
|
, |
(89) |
|
|
|
|
||||
p1 |
v2 |
|
|
|
38
между T и v
k 1
TT2 vv1 ,
1 2
между p и T
|
|
|
|
|
k 1 |
|
T |
|
p |
|
k |
|
|
|
2 |
|
2 |
. |
||
|
T1 |
p1 |
||||
|
|
|
|
|
Работу 1 кг газа находят по следующим формулам:
l |
|
1 |
|
|
( p v |
p v ); |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
k 1 |
1 |
1 |
|
|
2 |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
p v |
|
|
|
v |
1 |
k 1 |
|
||||||||||||
l |
|
1 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
k 1 |
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
R |
|
(T |
T ); |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
k 1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
p v |
|
|
|
|
p |
|
k |
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
l |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
k 1 |
|
p |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(90)
(91)
(92)
(93)
(94)
(95)
Для определения работы M кг газа нужно в формулах (92), (93) и (95)
заменить удельный объем v общим объемом V газа. Тогда получим
L |
1 |
|
( p V p V ); |
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
k 1 |
1 |
1 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
p V |
1 |
|
|
|
V |
1 |
k 1 |
|
|||||
L |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
k 1 |
|
|
V2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
p V |
|
|
|
|
p |
|
k |
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
L |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
k |
1 |
p |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула (94) для M кг газа примет следующий вид:
L kMR1(T1 T2 ).
Уравнение первого закона для адиабатного процесса имеет вид
(96)
(97)
(98)
(99)
39
0 du dl,
следовательно,
du dl |
|
или |
|
u l, |
(100) |
т. е. изменение внутренней энергии газа и работа адиабатного процесса равны по величине и противоположны по знаку.
Изменение внутренней энергии идеального газа в адиабатном процессе
может быть также выражено уравнением |
|
u cvm (t2 t1). |
(101) |
Задача
1 кг воздуха при начальной температуре t1 = 30 °С и давлении р1 = 0,1 МПа сжимается адиабатно до конечного давления р2 = 1 МПа.
Определить конечный объем, конечную температуру и затрачиваемую работу.
Решение
Из соотношения параметров в адиабатном процессе по уравнению (91)
находим
|
|
|
|
|
k 1 |
|
T |
|
p |
|
|
|
|
k |
||||||
|
2 |
|
2 |
. |
||
|
T1 |
p1 |
||||
|
|
|
|
|
Откуда
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
p |
|
k |
|
T2 |
T1 |
|
2 |
. |
||
p1 |
||||||
|
|
|
|
|
Принимая k = 1,4, получаем
0,4
T2 303 101,4 303 100,286 303N;
lg N lg100,286 0, 286 lg10 0, 286;