Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

9869

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

3.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2111 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Пусть функция z f (x, y) определена в некоторой окрестности точки (х0 , у0 ) . Точка (х0 , у0 ) называется точкой максимума

(минимума) функции z f (x, y) , если существует такая - окрестность точки (х0 , у0 ) , что во всех ее точках (х, у) , отличных от (х0 , у0 ) ,

выполнятся неравенство f (x, y) f (x0 , y0 ) ( f (x, y) f (x0 , y0 ) ).

Рис. 9

На

рисунке 9: N1 – точка

максимума, а

N 2 – точка минимума

функции

z f (x, y) . Максимум и минимум

функции называются

ее

экстремумами.

Теорема (необходимые условия экстремума). Если в точке (х0 , у0 )

дифференцируемая функция

z f (x, y) имеет

экстремум,

то

ее

частные

производные в этой

точке равны

нулю:

f / (х

, у

) 0 ,

f / (х

, у

) 0 .

Геометрически равенства

f / (x

, y

) 0 и

f /

, y

) 0 означают,

что в точке экстремума функции касательная плоскость к поверхности,

изображающей функцию z f (x, y) , параллельна плоскости Оху , так

как уравнение касательной плоскости есть z z0 .

Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы

одна из частных производных не существует. Например, функция

100


z 1	х2 у 2 имеет максимум в точке	х 0,	у 0 (см. рис. 10), но
не имеет в этой точке частных производных.

Рис. 10

Точки, в которой частные производные первого порядка функции

z f (x, y) равны нулю, то есть	f /	0 и	f /	0 , и точки, в которых
	x		y

хотя бы одна частная производная не существует, называются

критическими точками.

В критических точках функция z f (x, y) может иметь экстремум,

а может и не иметь. Условия f /	0 и	f /	0 являются необходимыми,
x		y

но не достаточными условиями существования экстремума. Так, например, для функции z x2 y2 точка (0,0) является критической (в ней zx/ 2x

и z y/ 2 y обращаются в ноль), однако, очевидно, никакого экстремума в этой точке нет (см. рис. 11).

Рис. 11

101

Теорема (достаточные условия экстремума). Пусть в некоторой окрестности стационарной точки (х0 , у0 ) функция z f (x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно

причем

f //

, y

) A,

f //

, y

) B ,

f //

, y

) C .

Обозначим

, y

)

A B

AC B2 .

B C

Тогда:

1)если (x0 , y0 ) 0 , то функция z f (x, y) в точке (х0 , у0 )

имеет экстремум: максимум, если A 0 , и минимум, если A 0 ;

2)если (x0 , y0 ) 0 , то функция z f (x, y) в точке (х0 , у0 ) экстремума не имеет;

3)если (x0 , y0 ) 0 , то экстремум в точке (х0 , у0 ) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

	Пример. Найти точки экстремума функции z 3x2 y x3						y4 .
	Решение.	1)	Найдем	частные	производные	первого	порядка:
f /	6xy 3х2	,	f / 3x2	4 y3 .	Точки, в	которых	частные
x			y

производные не определены отсутствуют.

2) Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:

6ху 3х2 0,

3х2 4 у3 0.

Отсюда получаем две точки: М1 (6,3) и М 2 (0,0) .

3) Находим частные производные второго порядка данной функции:

f // 6y 6х ,	f //	6х ,	f //	12 y2 .
xх	xy		yy
				102

4) В точке М1 (6,3)

имеем: A 6 3 6 6 18,

B 6 6 36,

C 12 32

108, отсюда (6,3) 18 ( 108) 362

648 0,

то

есть М1 (6,3)

– точка экстремума. Так как

A 18 0,

то М1 (6,3) –

точка максимума.

В точке

М 2 (0,0) :

A 0 , B 0 ,

C 0,

отсюда (0,0) 0 .

Проведем

дополнительное

исследование.

Значение

функции

z 3x2 y x3

в точке М

(0,0) равно нулю. Рассмотрим точки из

окрестности

точки

М 2 (0,0)

такие,

что

х 0,

тогда

z(х 0, у) y4 0,

теперь

рассмотрим

точки

из

той

же

окрестности, но с условием

у 0,

х 0 :

z(х 0, у 0) x3 0 .

Таким образом, в

любой

окрестности

точки

М 2 (0,0)

функция

z 3x2 y x3

принимает как отрицательные, так и положительные

значения. Следовательно, в точке М 2 (0,0) функция экстремума не имеет.

M x, y

Рис. 12

103

Наибольшее и наименьшее значение функции
	в замкнутой области
Пусть функция	z f (x, y) определена и непрерывна	в
ограниченной области	D . Тогда она достигает в некоторых точках	D

своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области D , или в точках,

лежащих на границе области.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области D функции z f (x, y) :

1)Найти все критические точки функции, принадлежащие D , и

вычислить значения функции в них;

2)Найти наибольшее и наименьшее значения функции z f (x, y)

на границах области;

3) Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них

наибольшее и наименьшее.
Пример.	Найти наибольшее			и	наименьшее	значение функции
z x2 y ху2	ху в замкнутой области, ограниченной линиями:						x 1,
x 2, у 1,5, у		1	.
x 2, у 1,5, у			.
		х
Решение. Здесь		z / 2xy y 2		y ,	z / 2xy x2	x .
			х		y

1)Находим все критические точки:

2xy y 2	y 0,	y(2x y 1) 0,
	x 0,		1) 0.
2xy x2	x 0,	x(x 2 y	1) 0.
Решением системы являются точки (0,0) , ( 1,0)			, (0, 1) ,	(	1	,	1	). Ни
Решением системы являются точки (0,0) , ( 1,0)			, (0, 1) ,	(		,		). Ни
					3		3

одна из найденных точек не принадлежит области D .

104

Рис. 13

2)Исследуем функцию z x2 y ху2 ху на границе области,

состоящей из участков АВ ,

а)

В плоскости x 1

ВС , СЕ и ЕА (см. рис. 13).

0		B
-1	1	y

-1

Рис.14

105

Участок AB –отрезок вертикальной прямой x 1 при	3	y 1
	2

(см. рис. 13). При x 1 функция z y y2 2y является функцией одного

переменного

y .

Находим

производную

z y2

2 y 2 y 2 .

Приравнивая

ее к

нулю

2 y 2 0 ,

находим

стационарную

точку

y 1

. Значение функции

z y y2

при

y 1

равно:

z 1 1 2

2 1 1 2 1,

а значение функции

z y на концах

отрезка

3 2

z 1 12 2 1 1 2 3 .

Следовательно, наименьшее значение функции z на отрезке AB равно 1, а наибольшее 3 , то есть zнаим. 1, zнаиб. 3 . (см. рис. 14).

б)

z	2;0,5;3,5
	1;1;3

		1		1	B
		1

		2					C
							C
		0		1	2		x
					Рис. 15
	Участок BC – дуга гиперболы y					1	при 1 x 2 (см. рис. 13). При
	Участок BC – дуга гиперболы y					x	при 1 x 2 (см. рис. 13). При
						x
y	1	функция z x x	1	1	является функцией одного переменного x .
y	x	функция z x x	x	1	является функцией одного переменного x .
	x		x

106

											1				1
				z							1				1
Находим производную							x					1		1		. Приравнивая ее к нулю
Находим производную							x					1		1	x2	. Приравнивая ее к нулю
											x				x2
1	1	0 , находим	x	1,				x		1,			из	которых только одна точка			x			1
1		0 , находим	x	1,				x		1,			из	которых только одна точка			x		2	1
	x2		1						2										2
принадлежит отрезку 1;2					(см. рис. 15). Значение функции z x x													1		1
принадлежит отрезку 1;2					(см. рис. 15). Значение функции z x x															1
																			x
при x 1 равно: z 1 1						1		1 3,					а	значение z x на правом			конце
при x 1 равно: z 1 1								1 3,					а	значение z x на правом			конце
					1
отрезка 1;2 равно z 2 2								1	1 3,5 .
отрезка 1;2 равно z 2 2							2		1 3,5 .
							2
	Следовательно, наименьшее значение функции z на участке BC
равно 3 , а наибольшее 3,5 ,						то есть zнаим. 3,									zнаиб. 3,5 .

в)	z	В плоскости
в)

	3,5	x 2
	3,5

E 0 C

3	1	y

2	2

4,5

Рис. 16

107

		Участок			CE – отрезок вертикальной прямой x 2																							при					3		y	1
		Участок			CE – отрезок вертикальной прямой x 2																							при				2			y	2
																																2				2
(см. рис. 13). При x 2								функция z y 2y2											6y является функцией одного
переменного					y .		Находим производную																	z 2 y2										4 y 6 .
переменного					y .		Находим производную																	z 2 y2					6 y					4 y 6 .
Приравнивая ее к нулю: 4y 6 0 ,															находим						точку y						3		, совпадающую
Приравнивая ее к нулю: 4y 6 0 ,															находим						точку y								, совпадающую
																										2
										3			1
с	левым		концом				отрезка					;				(см.				рис.			16).		Значение								функции
с	левым		концом				отрезка					;				(см.				рис.			16).		Значение								функции
										2 2
z y 2y2 6y								3										3					3 2							3
					при y				равно:						z						2					6						4,5 ,				а
								2										2						2						2
значение z x					на правом конце отрезка														3	;	1	,	то есть при							y				1	равно:
значение z x					на правом конце отрезка															;		,	то есть при							y					равно:
																			2													2
																			2		2											2
	1		1 2			1
z		2		6			3,5.
z		2		6			3,5.
	2		2			2
		Следовательно, на отрезке CE наименьшее значение равно 4,5, а
наибольшее 3,5 , то есть zнаим.											4,5 ,					zнаиб. 3,5 .
		г)																		В плоскости									y		3
		г)
																															2
										z
																A							E
												0					1						2			x
																										x
										3
										4
										4
									4,5
										Рис. 17
														108

Участок AE – отрезок горизонтальной прямой y							3		при 1 x 2
Участок AE – отрезок горизонтальной прямой y							2		при 1 x 2
							2
(см. рис. 13). При y	3	функция z x	3x2	3x		является функцией
(см. рис. 13). При y		функция z x				является функцией
2		2			4
одного переменного x . Находим производную z						3x2		3x			3
										3x		.
										3x		.
						2	4				4

Приравнивая ее к нулю:									3x					3	0			находим точку					x	1	, которая не
Приравнивая ее к нулю:									3x						0			находим точку					x		, которая не
													4										4
принадлежит отрезку 1; 2 (см. рис. 17). Значения функции z x на концах
отрезка 1; 2 равны:
z 1	3 12				3 1				3		3					3	;
z 1																	;
2						4			2		4		4
z 2		3 22					3 2	6				3		4,5.
z 2								6						4,5.
2						4					2
Следовательно, наименьшее значение z																				на отрезке AE равно 4,5,
а наибольшее			3	,		то есть z							4,5					, z			3	.
а наибольшее				,		то есть z				наим.			4,5					, z	наиб.			.
4										наим.									наиб.	4
4																				4

3)Сравнивая полученные результаты в пунктах а), б), в), г),

имеем: z		z(2;				1	) 3,5	z		z(2;		3	) 4,5 .
имеем: z	наиб	z(2;					) 3,5	z	наим	z(2;			) 4,5 .
	наиб				2				наим		2
					2						2
				z					1,1,3						1
														2;		;3,5
														2;		;3,5
								y							2
								y
		1									B
3		1											C

2							A
2

			3		3			E								x
		1;		;			1; 1; 1
		1;	2	;			1; 1; 1
			2		4

	3
2;		; 4,5
2;		; 4,5
	2

Рис. 18

109

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2111 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20233.37 Mб09864.pdf
#
25.11.20233.37 Mб09865.pdf
#
25.11.20233.37 Mб09866.pdf
#
25.11.20233.37 Mб09867.pdf
#
25.11.20233.37 Mб09868.pdf
#
25.11.20233.38 Mб09869.pdf
#
21.11.2023167.3 Кб0987.pdf
#
25.11.20233.38 Mб09870.pdf
#
25.11.20233.38 Mб09871.pdf
#
25.11.20233.38 Mб19872.pdf
#
25.11.20233.39 Mб09873.pdf